4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Teori Antrian
Antrian merupakan kejadian yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada antrian nasabah di bank, pembelian karcis di bioskop, loket kereta api, pengambilan karcis di jalan tol, pengisian bahan bakar minyak di SPBU dan masih banyak lagi. Prawirosentono (2005:148) mengemukakan bahwa: “Teori “Teori antrian dikenal dalam dunia ilmiah sebagai queueing theory theory atau waiting line theory, yaitu teori yang membahas tentang seluk-beluk antrian yang dilakukan oleh orang atau benda atas kehendak manusia.Disadari atau tidak tampaknya masalah antrian merupakan bagian yang tidak dapat dihindarkan dari kehidupan manusia masa kini. Mendengar kata antrian, berarti akan terbayang seorang berdiri berderet dalam satu barisan. Atau mobil berderet dalam satu barisan dan memanjang. Lalu kita berpikir alangkah lelah atau kesalnya menunggu. Dikarenakan faktor kelelahan menunggu itulah maka para pakar mencoba mengutak-atik masalah antrian dengan matematika. Untuk U ntuk “kesejahteraan” kita semua, dalam arti bagaimana caranya agar faktor kelelahan menunggu dapat dikurangi .” .” Analisis antrian pertama kali diperkenalkan oleh A.K. Erlang (1913) yang mempelajari
fluktuasi
permintaan
fasilitas
telepon
dan
keterlambatan
pelayanannya. Saat ini analisis antrian diterapkan di bidang bisnis (bank, supermarket), industri (pelayanan mesin otomatis), transportasi (pelabuhan udara, pelabuhan laut) dan lain-lain. Seperti halnya analisis Markov, analisis antrian memberikan informasi probabilitas yang dinamakan operating characteristics, characteristics, yang dapat membantu mengambil keputusan dalam merancang fasilitas pelayanan antrian untuk mengatasi permintaan pelayanan yang fluktuatif secara random dan menjaga keseimbangan antara biaya pelayanan dan biaya menunggu. Terjadinya antrian disebabkan kurangnya fasilitas yang tersedia, misalnya antri untuk membeli bensin, bayar di kassa suatu swalayan, bayar karcis di jalan bebas hambatan (tol), atau membeli karcis bioskop dan lain-lain. Sebagai ilustrasi,
5
betapa kesalnya jika kita harus antri lama sekali untuk membayar di kassa swalayan. Bisa saja terjadi, para calon konsumen mengurungkan niatnya membeli suatu barang. Bahkan tidak akan kembali ke swalayan tersebut karena antri di kassa terlalu lama dan melelahkan. Dalam hal ini, manajemen swalayan harus cepat mengambil keputusan dengan cara menambah jumlah kassa. Berapa jumlah kassa yang harus ditambah? Inilah perlunya kita menghitung agar penambahan kassa tepat jumlahnya. Demikian pula di suatu rumah sakit yang terjadi antrian pasien yang panjang. Tentunya pihak manajemen rumah sakit harus menambah tenaga medis, bahkan dokter dan fasilitas kesehatan yang lainnya. Oleh karena itu, para pakar memandang pentingnya antrian dan perlu membahasnya secara ilmiah(Mulyono, 2002:285). Beberapa contoh yang merupakan sebagian kemungkinan penggunaan teori antrian menurut situasi, antrian dan fasilitas pelayanannya diperlihatkan dalam tabel 2.1. Tabel 2.1. Penggunaan Teori Antrian
Situasi Rumah makan
Antrian atau baris tunggu Langganan yang menunggu
Fasilitas pelayanan Pelayanan
makanan Pompa bensin
Dokter gigi
Pengendara mobil/motor yang
Pelayanan pompa
menunggu pelayanan menunggu pelayanan
bensin
Pasien yang menunggu untuk
Dokter gigi
diperiksa giginya Gudang penyimpanan
Karyawan yang akan mengambil
berbagai komponen
komponen yang diperlukan
Pabrik tekstil
Perkakas tenun
(loom)
yang Tukang memperbaiki
akan diperbaiki Baris perakitan
Karyawan
yang
untuk perakitan selesai
Attendant
loom (teropong tenun) menunggu Karyawan yang yang belum
sedang mengerjakan perakitan
(Husnan, 2002:7)
6
2.2. Sistem Antrian
Kakiay (2004:10) menyebutkan bahwa: “Sebuah “Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayanan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pada pelanggan dan pemrosesan masalahnya. Pelanggan yang tiba dapat bersifat tetap atau tidak dapat untuk memperoleh pelayanan. Apabila pelanggan yang tiba dapat langsung masuk ke dalam sistem pelayanan maka pelayanan tersebut langsung dilayani, sebaliknya jika harus menunggu maka mereka harus membentuk antrian hingga tiba waktu pelanggan” pelanggan ”. Ada tiga tipe dasar sistem antrian, yaitu: 1. Sistem Manusia ( Human Human System) System) Sistem manusia menyatakan bahwa pelanggan dan pelayan adalah manusia yang memiliki sifat kemanusiaan (human ( human beeing ). ). 2. Sistem Semiotomatis (Semi (Semi Automatic) Automatic) Sistem Semiotomatis menyatakan bahwa hanya pelanggan saja yang diakui sebagai human beeing , sedangkan pelayannya tidak. Ini berarti pada pelayannya ada suatu sistem terpadu antara manusia sebagaimana ahli mekanik yang bertindak sebagai pelayan (server) untuk mesin-mesin. 3. Sistem Otomatis ( Automatic System) System) Sistem Otomatis menyatakan bahwa komponen antrian, yaitu pelanggan dan pelayan, tidak bertindak sebagai human beeing . Contohnya dapat dilihat pada proses pelaksanaan di komputer (Time ( Time Sharing Computer ), ), di mana program-program diciptakan sebagai pelanggan, sedangkan komputer bertindak sebagai pelayan (server).
Ketiga tipe sistem antrian ini merupakan komponen dasar untuk menguraikan berbagai sistem antrian. Tujuan dari pengklasifikasian sistem antrian ini untuk memahami penggunaan model dari sistem antrian untuk memecahkan problema-problema dalam kehidupan nyata. nyata.
(Kakiay, 2004:258)
7
2.3. Disiplin Antrian
Menurut Taylor III (2001:427), disiplin antrian adalah urutan dimana para pelanggan menunggu menunggu dilayani. Aturan pelayanan menurut urutan kedatangan pelanggan dapat didasarkan pada : 1. Pertama datang pertama dilayani atau First Come First Served ( FCFS FCFS ) merupakan suatu peraturan pelanggan yang pertama datang itulah yang pertama dilayani. Contohnya dapat dilihat pada antrian di loket penjualan karcis kereta api. 2.
Terakhir datang pertama dilayani atau Last Come First Served ( LCFS LCFS ) merupakan antrian yang datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal. Contohnya pada sistem bongkar muat mobil di dalam kapal.
3. Pelayanan dalam urutan acak atau Service In Random Order (SIRO) SIRO) merupakan pelayanan dilakukan secara acak, tidak dipersoalkan siapa yang lebih dulu tiba. Contohnya pada arisan, di mana pelayanan dilakukan berdasarkan undian (random (random). ). 4. Pelayanan berdasarkan prioritas atau Priority atau Priority Service ( PR) PR) yaitu pelayanan didasarkan pada prioritas khusus. Contohnya dalam suatu pesta di mana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan dilayani lebih awal.
2.4. Komponen Dasar Proses Antrian
Menurut Mulyono (2002:286), komponen dasar proses antrian adalah kedatangan, pelayan dan antri. Komponen-komponen ini disajikan pada Gambar 2.1.
Sumber kedatangan
Fasilitas pelayanan
Gambar 2.1. Komponen Dasar Proses Antrian
Keluar
8
Komponen dasar proses antrian terbagi menjadi 4 bagian, yaitu: a. Sumber Kedatangan (Calling (Calling Population) Population ) Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, atau panggilan telepon untuk dilayani. Unsur ini sering dinamakan proses input . Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan
calling
population population
(populasi
pelanggan
yang
membutuhkan). Calling Population adalah sumber atau alasan bagi pelanggan datang ke sistem antrian. Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling (calling population) population ) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas ( finite ( finite), ), bisa juga tidak terbatas (infinite). infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya ( finite), finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tidak terbatas (infinite (infinite). ). Pola kedatangan bisa tidak teratur, bisa juga acak (random ( random). ). Kedatangan
yang
teratur
sering
dijumpaipada
proses
pembuatan/pengemasan produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30 detik. Sedangkan pola kedatangan yang sifatnya acak (random ( random)) banyak dijumpai misalnya kedatangan nasabah di bank. b. Antrian Inti dari analisis antrian adalah antrian itu sendiri. Timbulnya antrian tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Penentu antrian lain yang penting adalah disiplin antrian. Disiplin antrian merupakan aturan yang menjelaskan cara melayani pengantri, datang awal dila yani dulu, yang lebih dikenal dengan singkatan FCFS, datang terakhir dilayani dulu LCFS, berdasar prioritas, berdasar abjad, berdasar janji,
9
dan lain-lain. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang nganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan. c. Disiplin Antrian Disiplin antrian adalah urutan dimana para pelanggan menunggu dilayani. Contohnya, yang pertama datang adalah yang pertama dilayani, pelayanan dalam urutan acak, pelayanan berdasarkan prioritas, dan yang terakhir datang adalah yang pertama dilayani. Yang pertama datang pertama dilayani adalah disiplin antrian yang pada umumnya digunakan pada model-model antrian. d. Mekanisme Pelayanan Mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Contohnya, pada sebuah check out counter dari suatu supermarket terkadang hanya ada seorang pelayan, tetapi bisa juga diisi seorang kasir dengan pembantunya untuk memasukkan barang-barang ke kantong plastik. Sebuah bank dapat mempekerjakan seorang atau banyak teller. Di samping itu, cara pelayanan dirampungkan, yang kadang-kadang merupakan proses random. (Liberman, 2005:767)
2.5. Struktur-struktur Antrian Dasar
Proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanan, yaitu: 1. Satu saluran satu tahap (Single ( Single channel single phase) phase )
kedatangan pelanggan antrian
pelayanan
Gambar 2.2. Single channel single phase
10
2. Satu saluran banyak tahap (Single ( Single channel multiple phase) phase )
kedatangan pelanggan antrian
pelayanan
Gambar 2.3. Single channel multiple phase
3. Banyak saluran satu tahap ( Multiple channel single phase) phase)
kedatangan pelanggan antrian
pelayanan Gambar 2.4. Multiple 2.4. Multiple channel single phase
4. Banyak saluran banyak tahap ( Multiple channel multiple phase) phase)
kedatangan pelanggan antrian pelayanan Gambar 2.5. Multiple 2.5. Multiple channel multiple phase
(Khairani, 2012:134)
11
2.6. Tujuan Model Antrian dan Tingkah Laku Biaya
Model antrian adalah model probabilistik ( stochastic) stochastic) karena unsur-unsur tertentu proses antrian yang dimasukkan dalam model adalah variabel random. Variabel random ini sering digambarkan dengan distribusi probabilitas. Pada model antrian, hubungan antara tingkat pelayanan dengan biaya waktu menunggu adalah jika tingkat pelayanan naik maka biaya waktu menunggu akan berkurang. Kemudian jika tingkat pelayanan meningkat maka biaya pengadaan pelayanan juga meningkat. Biaya waktu yang dibutuhkan untuk menunggu akan ditambahkan pada biaya pengadaan pelayanan sehingga membentuk total biaya yang diharapkan untuk operasi fasilitas yang bersangkutan. Tujuannya adalah meminimumkan total biaya pengadaan fasilitas dan waktu tunggu pelayanan tersebut. meskipun secara konseptual nampak sederhana, kemungkinan pola kedatangan dan pelayanan ternyata begitu banyak sehingga sebenarnya persoalan ini cukup rumit. Misalkan diketahui biaya tunggu (waiting ( waiting cost ) yang melekat pada seorang individu menganggur dalam sistem pelayanan sebesar
yang menunggu dalam sistem sebesar
dan rata-rata individu
, maka total biaya tunggu yang
diharapkan per periode waktu adalah:
Walaupun biaya menunggu bisa dikurangi dengan menambahkan fasilitas pelayanan, tetapi di sisi lain biaya penyediaan pelayanan akan ak an naik juga. Dengan asumsi biaya penambahan fasilitas pelayanan adalah linier (
) dan jumlah
fasilitas pelayanan adalah “ ” maka dapat dihitung total biaya pelayanan yang diharapkan per periode adalah:
Jadi kedua biaya di atas digabungkan maka akan diperoleh total biaya yang diharapkan per periode waktu:
(Aminudin, 2002:170)
12
2.7. Elemen Dasar Model Antrian 2.7.1. Sifat Pemanggilan Populasi
Bagian dari sistem antrian mempunyai tiga sifat yaitu: 1. Besar kecilnya pemanggilan populasi Pemanggilan populasi bisa terbatas bisa pula tidak terbatas. Bila populasi relatif besar sering dianggap bahwa hal itu merupakan besaran yang tak terbatas. Contoh sehari-hari antara lain adalah mobil yang tiba di gerbang tol, pasien yang datang ke unit gawat darurat, 20.000 siswa yang berderet pada hari pendaftaran. Bila pemanggilan populasi tidak terbatas, teknik kuantitatif
jauh
lebih
sederhana
untuk
analisisnya,
sebaliknya
pemanggilan populasi yang terbatas contohnya adalah tiga mesin tenun dalam pabrik pabrik pemintalan yang memerlukan pelayanan pelayanan operator secara terus-menerus atau empat mobil dari sebuah perusahaan kecil secara berkala
mengunjungi
fasilitas
reparasi.
Apa
perbedaan
antara
pemanggilan populasi terbatas dan tidak terbatas? Secara umum, bila probabilitas kedatangan berubah secara drastis drasti s ketika ada populasi tengah menerima pelayanan, maka itu dikategorikan sebagai pemanggilan populasi terbatas. Jadi jika salah satu dari empat mobil yang tengah diperbaiki, kemungkinan ada mobil lain yang datang dan segera dilayani akan sangat berkurang. 2. Tingkah laku pemanggilan populasi Ada
tiga
istilah
yang
biasa
digunakan
dalam
antrian
untuk
menggambarkan tingkah laku pemanggilan populasi:
Tidak mengikuti (renege ( renege), ), yakni apabila seseorang bergabung dalam antrian kemudian meninggalkannya.
Menolak (balking (balking ), ), berarti serta-merta tidak mau bergabung. Merebut (bulk (bulk ), ), menunjukkan kondisi di mana kedatangan terjadi secara bersama-sama ketika memasuki sistem sehingga seseorang berebut menyerobot ke depan.
13
3. Sifat kedatangan dari pemanggilan populasi Subjek kedatangan populasi bisa tiba pada fasilitas pelayanan dalam beberapa pola tertentu, bisa juga secara acak. Bila kedatangan secara acak, harus diketahui probabilitas melalui waktu antar kedatangan. Analisis riset operasi telah mendapati bahwa kedatangan acak paling cocok diuraikan menurut distribusi Poisson. Tentu saja tidak semua kedatangan memiliki distribusi ini dan perlu dipastikan terlebih dahulu sebelum menggunakannya. Berikut ini syarat-syarat kedatangan berdistribusi Poisson: a. Pastikan bahwa proses kedatangan bersifat acak, jika hal ini terpenuhi maka kemungkinan besar pola kedatangan mengikuti distribusi Poisson. b. Rata-rata jumlah kedatangan per interval waktu sudah diketahui dari pengamatan sebelumnya. c. Bila interval waktu dibagi ke interval yang lebih kecil, maka pernyataan-pernyataan ini harus dipenuhi:
Probabilitas tepat satu kedatangan adalah sangat kecil dan konstan.
Probabilitas dua kedatangan atau lebih selama interval waktu tersebut angkanya sangat kecil sekali, sehingga bisa dikatakan sama dengan nol.
Jumlah kedatangan pada interval waktu tersebut tidak bergantung pada kedatangan di interval waktu sebelum dan sesudahnya. (Levin, dkk, 1995:515)
14
Menurut Mulyono (2002:290), rumus umum distribusi Poisson adalah:
keterangan :
λ
: peluang bahwa ada x kedatangan : banyaknya kedatangan per satuan waktu : rata-rata kedatangan per satuan waktu
: dasar logaritma natural ( = 2,71828)
Jika pola pemanggilan mengikuti distribusi Poisson maka waktu antar
kedatangan atau interarrival time adalah acak dan mengikuti distribusi eksponensial negatif.
2.7.2. Sifat Fasilitas Pelayanan
Dalam membahas sifat dari fasilitas pelayanan, berfokus pada tiga hal, yaitu: 1. Tatanan fisik sistem antrian Tatanan fisik sistem antrian diukur berdasarkan jumlah saluran atau sumber pelayanan. Bila terdapat satu saluran pelayanan maka dikatakan sistem saluran tunggal. Sistem saluran majemuk mempunyai sumber pelayanan lebih dari satu yang beroperasi secara bersamaan. 2. Disiplin antrian Di sini yang dikaitkan adalah subjek pemanggilan populasi yang menerima pelayanan. Klasifikasi pokoknya ada dua, yakni prioritas dan yang pertama datang itulah yang pertama dilayani ( first ( first come first served ) atau FCFS. Walau bagaimanapun ada tipe lain dari disiplin antrian yaitu bersifat acak ( service service in random order ) atau SIRO dan yang terakhir datang yang pertama dilayani (last (last come first served ) atau LCFS.
15
3. Distribusi probabilitas yang sesuai menggambarkan waktu pelayanan Waktu pelayanan bisa bisa konstan, bisa pula acak. Apabila waktu pelayanan didistribusikan secara acak, harus didapatkan distribusi probabilitas yang paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Biasanya jika waktu pelayanannya acak, analisis antrian menggunakan distibusi eksponensial negatif. Ini bisa dilakukan dengan membandingkan sampel waktu pelayanan yang sebenarnya dengan waktu pelayananan yang diharapkan. (Levin, dkk, 1995:517)
Menurut Mulyono (2002:291), rumus umum density function probabilitas eksponensial negatif adalah:
keterangan :
: probabilitas waktu antar kedatangan yang berurutan : waktu lamanya pelayanan per satuan waktu : rata-rata tingkat pelayanan per satuan waktu
Penelitian empiris menunjukkan bahwa asumsi distribusi eksponensial negatif maupun Poisson sering kali tidak absah. Karena itu asumsi harus diperiksa sebelum
mencoba
menggunakan
menggunakan distribusi chi-square.
suatu
model.
Pemeriksaan
dilakukan
16
2.8. Uji Kesesuaian
Uji kesesuaian atau kecocokan dari distribusi empirik terhadap distribusi teoritis dilakukan dengan uji Chi Square. Uji ini membandingkan kelompok frekuensi yang diamati dengan kelompok frekuensi yang diharapkan. Frekuensi yang diharapkan ternyata timbul dari suatu dugaan atau hipotesis. Hipotesis yang digunakan dalam pengujian ini adalah :
: Ada hubungan antara distribusi teoritis dengan distribusi aktual : Tidak ada hubungan antara distribusi teoritis dengan dengan distribusi aktual
Terima nyata
jika
dan dalam hal lain
dan nilai Degree of Freedom
diperoleh dari Table Chi Square. Nilai statistik uji (
) digunakan rumus:
Dengan,
: banyaknya banyaknya pasien yang yang diamati pada baris i kolom j : banyaknya pasien yang diharapkan pada baris i kolom j : jumlah baris : jumlah kolom
Nilai
dapat dicari dengan rumus :
Dengan,
: jumlah baris ke-i : jumlah kolom ke-j
ditolak, dengan taraf yang dapat
17
Demikian misalnya didapat :
; ;
dan seterusnya. Jelas bahwa
(Djarwanto dan Subagio, 1998:230)
2.9. Model-model Sistem Antrian 2.9.1. Notasi Model Antrian
Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk notasi. Notasi standar yang digunakan adalah sebagai berikut: (a/b/c/d/e) dimana simbol a, b, c, d, dan e merupakan elemen dasar dari model antrian: a
= distribusi kedatangan
b
= distribusi waktu pelayanan
c
= jumlah fasilitas pelayanan ( s = 1, 2, ...,
d
= jumlah konsumen maksimum dalam sistem
e
= ukuran pemanggilan populasi atau sumber
)
Notasi standar untuk simbol a dan b sebagai distribusi kedatangan dan waktu pelayanan mempunyai kode sebagai berikut: M
= Poisson (Markovian) untuk distribusi kedatangan atau waktu pelayanan
D
= interarrival atau service atau service time konstan time konstan (deterministik)
= interarrival atau service atau service time berdistribusi time berdistribusi Erlang atau Gamma
Sebagai ilustrasi, perhatikan notasi berikut: (M/D/5/N/
)
Notasi tersebut berarti kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan konstan, dan terdapat 5 buah fasilitas pelayanan. Jumlah konsumen dibatasi sebanyak N dan sumber populasi tak terbatas.
18
2.9.2. Model 1: ( M/ M/ 1/
/
)
Model antrian yang disajikan akan berguna bila kondisi-kondisi berikut dipenuhi: 1. Jumlah kedatangan tiap satuan waktu mengikuti distribusi Poisson. 2. Waktu pelayanan berdistribusi eksponensial. 3. Disiplin antrian yang pertama datang pertama dilayani. 4. Sumber populasi tak terbatas. 5. Ada jalur tunggal. 6. Tingkat rata-rata kedatangan lebih kecil daripada tingkat rata-rata pelayanan. 7. Panjang antrian tidak terbatas.
Bila syarat-syarat tersebut dipenuhi, maka sistem antrian dapat dianalisis melalui rangkaian persamaan yang telah diderivasikan. Persamaan-persamaan ini menggunakan notasi-notasi berikut:
= tingkat rata-rata kedatangan per satuan waktu (unit/waktu) = tingkat rata-rata pelayanan per satuan waktu (unit/waktu) = rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit) = rata-rata jumlah individu dalam sistem (unit) = rata-rata waktu dalam antrian (jam) = rata-rata waktu dalam sistem (jam) = probabilitas terdapat n individu dalam sistem (frekuensi relatif) = probabilitas tidak ada individu dalam sistem (frekuensi relatif) = probabilitas menunggu dalam sistem (frekuensi relatif) = tingkat kegunaan fasilitas sistem (rasio)
19
Persamaan model model ( M/ M/ 1/
/
) adalah:
1. Rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit)
2. Rata-rata jumlah individu dalam sistem (unit)
3. Probabilitas terdapat n individu dalam sistem (frekuensi relatif)
4. Rata-rata waktu dalam sistem (jam)
5. Rata-rata waktu dalam antrian (jam)
6. Probabilitas menunggu dalam sistem (frekuensi relatif)
2.9.3. Model 2: ( M/ M/ s/
/
)
Pada model antrian fasilitas pelayanan ( server server ) ganda yang akan dibahas di sini, rata-rata tingkat kedatangan lebih kecil daripada tingkat pelayanan keseluruhan (agregat (agregat ) atau penjumlahan segenap rata-rata tingkat pelayanan di tiap jalur. Syarat atau kondisi yang lain sama dengan model server tunggal. Persamaan-persamaan untuk model ini tergantung pada
yakni probabilitas
tidak ada individu dalam sistem (frekuensi relatif) atau probabilitas semua fasilitas pelayanan menganggur.
20
Persamaan yang digunakan untuk model (M/ M/ s/
/
) adalah:
1. Probabilitas bahwa tidak ada konsumen dalam sistem (semua server menganggur) adalah:
[∑ ]
2. Probabilitas bahwa seorang konsumen memasuki sistem dan harus menunggu untuk dilayani (semua server sibuk) adalah:
3. Rata-rata jumlah konsumen dalam sistem dan antrian masing-masing adalah:
4. Rata-rata waktu dalam sistem dan rata-rata waktu antrian masing-masing adalah:
5. Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan
21
2.9.4. Model 3: ( M/ M/ 1/
/
)
Model ini merupakan variasi dari model antrian pertama, di mana panjang antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani. Bila individu mencapai N atau lebih, individu yang datang berikutnya akan meninggalkan antrian dan tidak kembali. Jenis model ini sering merupakan perkiraan logis untuk memecahkan persoalan antrian dalam sektor industri jasa. Sebagai contoh adalah rumah makan dengan kapasitas parkir yang terbatas. Bila pelanggan tiba dan tidak mendapatkan tempat parkir, dia pasti langsung pergi ke tempat lain. Kecuali batas jumlah dalam sistem, asumsi yang mendasari model ini, sama dengan yang mendasari model pertama. Persamaan yang digunakan untuk model ( M/ M/ 1/
/
) adalah:
1. Probabilitas terdapat n individu dalam sistem (frekuensi relatif)
2. Probabilitas bahwa tidak ada konsumen dalam sistem (semua server menganggur)
( )
3. Rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit)
4. Rata-rata jumlah individu dalam sistem (unit)
5. Rata-rata waktu dalam sistem (jam)
6. Rata-rata waktu dalam antrian (jam)
Dengan
dan = 0, 1, 2, ... , N
22
2.9.5. Model 4: ( M/ M/ 1/
/
)
Model ini identik dengan model pertama, hanya saja sumber populasi dibatasi N. Model ini banyak dijumpai dalam sistem antrian pada perbaikan mesin di suatu pabrik. Persamaan yang digunakan dalam menentukan karakteristik model sistem antrian ini adalah: 1. Probabilitas bahwa tidak ada konsumen dalam sistem (semua server menganggur)
2. Probabilitas terdapat n individu dalam sistem (frekuensi relatif)
3. Rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit)
4. Rata-rata jumlah individu dalam sistem (unit)
5. Rata-rata waktu dalam antrian (jam)
6. Rata-rata waktu dalam sistem (jam)
Di mana n = 1, 2, ... , N (N = ukuran populasi)
Pada model ini 1 merupakan tingkat kedatangan rata-rata setiap anggota populasi. Persamaan program aplikasi.
dan
relatif kompleks jika diselesaikan dengan bantuan
(Aminudin, 2002:177)
