SOAL-SOAL HIPERBOLA
Diketahui persamaan hiperbola 4x2 – 9y2= 36. Tentukanlah :
Koordinat pusat e. Persamaan garis asimtot
Koordinat titik puncak f. Panjang latus rectum
Koordinat titik focus g. eksentrisitas
Persamaan garis direktriks h. sketsa grafiknya
Penyelesaian:
4x2 – 9y2= 36 x29-y24=1
a2=9 a=3
b2=4 b=2
a. koordinat titik pusatnya adalah ( 0,0 )
b. koordinat titik puncaknya (a,0) dan (-a,0) adalah (3,0) dan (-3,0)
c. c=a2+b2=9+4=13
koordinat titik fokusnya F1 ( -c,0) dan F2 (c,0) adalah F1 (13, 0) dan F2 (13, 0)
d. Persamaan garis direktriksnya adalah
x=a2c=913=91313 dan x=-a2c=-91313
persamaan garis asimtotnya adalah
y=bax=23x dan y=-bax=-23x
panjang latus rectum :
L=2b2a=2.43=83
nilai eksentrisitas : e=ca=133
h. sketsa grafiknya adalah : y
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
Tentukan persamaan hiperbola yang titik-titik apinya terletak pada sumbu Y,simetris terhadap O dan yang memenuhi syarat jarak kedua titik apinya 2c=43 dan eksentrisitasnya e=3
Penyelesaian:
Persamaan hiperbola (x)2a2-(y)2b2=1
2c=4 3 c=2 3
e=cb
3=2 3b b=2
a2+b2=c2
a2+22=(2 3)2
a2=12-4
a2=8
Jadi persamaan Hiperbola nya adalah:
(x)28-(y)24=-1
Tentukan garis singgung dengan gradient m melalui titik (-1 , 1) pada hiperbola 4x2-8y2=32
Pembahasan:
Hiperbola 4x2-8y2=32 x28-y24=1
Persamaan garis dengan gradient m melalui titik (-1 , 1) adalah
y-1=mx+1 atau y=mx+m+1
Persamaan garis singgung dengan gradient m pada hiperbola x28-y24=1 adalah
y=mx±8m2-4
mx+m+1=mx±8m2-4
m2+2m+1=8m2-4
7m2-2m-5=0
7m+5m-1=0
m1=-57,m2=1
Persamaan garis singgungnya: y=-57x+27 dan y=x+2
Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola x264-y236=1 yang tegak lurus garis x-2y+3=0.
Penyelesaian :
Garis x-2y+3=0 maka gradiennya m1=12
Persamaan garis singgung hiperbola x264-y236=1 dengan gradien m = -2 adalah
y=m x ±a2 m2-b2
y=-2 x ±64-(-2)2-36
by=-2 x ±55 atau
2x+y- 55 =0 dan 2x+y+ 55 =0
Dari titik T (2,-5) ditarik garis-garis singgung pada hiperbola x28-y24=1. Tentukan jarak T ke garis yang menghubungkan titik-titik singgung.
Penyelesaian :
Persamaan tali busur dari T (2,-5) terhadap hiperbola x28-y24=1 adalah :
x1xa2-y1yb2=1
2x8-(-5)y4=1
x4+(5y)4=1
x+5y-4=0
Jarak T (2,-5) ke tali busur singgung adalah:
d="ax1+by1+c"a2+b2="1.2+5.-5-4"12+52="-27"26=2726;d= 272626
Diketahui hiperbola dengan persamaan
(x-2)216-y+129=1
Tentukanlah :
Koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor, dan koordinat focus.
Persamaan sumbu utama, persamaan sumbu sekawan, panjang sumbu mayor, dan panjang sumbu minor.
Persamaan garis asimtot, nilai eksentrisitas, dan persamaan garis direktris.
Panjang latus rectum.
Gambarkansketsa hiperbola tersebut.
Penyelesaian :
(x-2)216-y+129=1 merupakan hiperbola horizontal
p = 2, q = -1, a2 = 16 a = 4 dan b2 = 9 b=3.
c2 = a2 + b2, didapat:
c2 = 16 + 9 = 25 c = 5
Koordinat titik pusatnya di M( 2, -1 )
Koordinat titik puncak di ( 2 ± 4, -1 ) A (6, -1 ) dan A' ( -2, -1 ).
Koordinat titik ujung sumbu minor ( 2, -1 3 ) B(2, -4 ) dan B' ( 2, 2 ).
Koordinat fokus ( 2 5, -1 ) F1 ( -3, -1 ) dan F2( 7, -1 )
Persamaan sumbu utama atau sumbu nyata adalah y = -1 dan persamaan sumbu sekawan atau sumbu imajiner adalah x = 2. Panjang sumbu mayor = 2a = 2 (4) = 8 dan panjang sumbu minor = 2b = 2(3) = 6.
Persamaan asimtotnya : y-q=±ba x-h y+1=±34(x-2)
l1 y+1=-34x-2 dan l2 y+1=34(x-2)
l1 4y+4=-3x+6 dan l2 4y+4=3x-6
l1 3x+4-2=0 dan l2 3x-4y-10=0
Nilai eksentrisitas e=ca=54=114
Persamaan direktriksnya : x = p ±ae
x=2+454=2+165=465 dan x=2-165=-65
d. Panjang latus rectum =2b2a=2(9)4=92
Dengan menggunakan hasil-hasil di atas, sketsa hiperbola (x-2)216-y+129=1
Diperlihatkan pada gambar berikut :
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
F1 A' -1 P A F2
Tentukan nilai a, supaya garis 4x + y + a = 0 menyinggung hiperbola x212-y248=1 !
b) Tentukan pula koordinat titik singgungnya !
Penyelesaian :
4x + y + a = 0 y = -4x - a,Subtitusikan y = -4x - a ke persamaan hiperbola,didapat:
x212--4x-a248=1
= 4x2 - (16x2 + 8ax + a2 ) = 48
= 12x2 + 8ax + ( a2 + 48 ) = 0
Nilai diskriminan :
D = (8a)2 – 4(12) (a2 + 48 )
D = 64a2 – 48a2 - 2304
D = 16a2 –2304
Supaya garis menyinggung hiperbola, maka nilai diskriminan D = 0
16a2 - 2304 = 0
a2 -144 = 0
(a + 12 ) ( a – 12 ) = 0
a = -12 atau a = 12
Jadi,supaya garis 4x + y +a = 0 menyinggung hiperbola x212-y248=1 untuk nilai a = -12 atau a = 12.
Untuk a = -12, substitusi ke 12x2 + 8ax +(a2+48)=0, didapat
12x2 - 96x + (144 + 48) =0
x2 – 8x + 16 = 0
(x-4)2 = 0
x = 4
Subtitusi a = -12 dan x = 4 ke garis y = -4x – a, didapat y = -4 (4) – ( -12) = -4 titik singgung (4,-4)
Untuk a = 12, subtitusi ke 12x2 + 8ax + (a2 + 48 ) = 0, di dapat
12x2 +96x +(144 + 48 ) = 0
x2 + 8x + 16 = 0
( x + 4 )2 = 0
x = -4
Subtitusi a = 12 dan x = -4 ke garis y = -4x-4, di dapat
y = -4(-4) – 12 = 4 titik singgung (-4, 4 )
Jadi, koordinat titik-titik singgungnya adalah ( 4,-4 ) dan (-4, 4 )
Titik P(1,4) terletak di luar hiperbola x212-y23=1
Tentukan persamaan-persamaan garis singgung yang dapat ditarik melalui titik P(1,4) ke hiperbola x212-y23=1 !
Jawab:
Misalkan garis yang melalui titik P(1,4) mempunyai gradien m, persamaannya adalah
y - 4 = m (x – 1) y = mx – m + 4
Subtitusi y = mx – m + 4 ke persamaan hiperbola x212-y23=1, didapat
x212-mx-m+423=1
x2-4m2x2+m2+16-2m2x+8mx-8m-12=0
(1-4m2)x2-4-2m2+8mx-4(m2-8m+19)
Nilai diskriminan :
D=-4-2m2+8mx-4m2-8m+19
D=-176m2-128m+304
Karena garis menyinggung hiperbola haruslah D = 0, didapat:
-176m2-128m+304=0
11m+19m-1=0
m=-1911 atau m=1
Subtitusi nilai-nilai m ke persamaan y = mx – m + 4
Untuk m = -1911, didapat
y=-1911x+1911+4
11y=-19x+63
19x+11y-63=0
untuk m = 1 , didapat
y=x-1+4
y=x+3
x-y+3=0
Jadi, persamaan-persamaan garis singgung yang ditarik melalui titik P(1,4) ke hiperbola x212-y23=1 adalah
19x + 11y – 63 = 0 dan x – y + 3 = 0.
Lintasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di bawah dapat dimodelkan oleh persamaan 2.116x2 – 400y2 = 846.400, seberapa dekatkah komet tersebut dengan matahari? Anggap satuannya dalam jutaan mil.
Pembahasan:
Pada dasarnya, dalam permasalahan ini kita diminta untuk menentukan jarak antara fokus dengan titik puncak hiperbola. Dengan menuliskan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk standar,
2.116 x2-400y2=846.400
x2400-y22.116=1
x2202-y2462=1
Sehingga, kita peroleh p = 20 (p2 = 400) dan q = 46 (q2 = 2.116). Dengan menggunakan persamaan fokus untuk menentukan f dan f2, kita mendapatkan,
f2=p2+q2
f2=400+2.116
f2=2.516
f -50 atau f 50
Karena p = 20 dan "f" = 50, jarak komet tersebut dengan matahari adalah 50 – 20 = 30 juta mil atau sekitar 4,83 × 107 kilometer.
Dua orang ahli meteorologi melihat badai dari tempat mereka tinggal. Tempat tinggal dua orang ahli meteorologi tersebut berjarak 4 km (4.000 m). Ahli meteorologi pertama, yang jaraknya lebih jauh dari badai, mendengar suara petir 9 detik setelah ahli meteorologi kedua. Jika kecepatan suara 340 m/s, tentukan persamaan yang dapat memodelkan lokasi dari badai tersebut.
Pembahasan:
Misalkan M1 merupakan ahli meteorologi pertama dan M2 merupakan ahli meteorologi kedua. Karena M1 mendengar petir 9 detik setelah M2, maka lokasi M1, 9 340 = 3.060 m lebih jauh dari M1 terhadap lokasi badai. Atau apabila disimbolkan, "M1S" – "M2S" = 3.060. Himpunan semua titik S yang sesuai dengan persamaan ini akan membentuk suatu grafik hiperbola, dan kita akan menggunakan fakta ini untuk membangun suatu persamaan yang memodelkan semua kemungkinan dari lokasi badai tersebut. Selanjutnya, mari kita gambar informasi-informasi di atas pada koordinat Cartesius sehingga M1 dan M2 terletak pada sumbu-x dan titik asal (0, 0) kita buat sebagai pusatnya.
Dengan selisih konstannya 3.060, kita mendapatkan 2p = 3.060 sehingga p = 1.530. Karena jarak antara M1 dan M2 adalah 4.000, maka jarak antara pusat dengan M1 atau M2 adalah f = 1/2 4.000 = 2.000. Dengan menggunakan persamaan fokus, kita mendapatkan:
f2=p2+q2
2.0002=1.5302+q2
q2=2.0002-1.5302
q2=1.659.100
q2 1.2882
Sehingga, persamaan lokasi dari badai tersebut adalah
x21.5302-y21.2882=1
Untuk menguji kemampuannya sebagai pilot, semua anggota dari klub penerbangan diminta untuk menjatuhkan karung pasir pada suatu target di lahan yang terbuka, dengan menerbangkan pesawat yang lintasannya berbentuk hiperbola dengan fokusnya berada tepat di atas target. Jika lintasan yang digunakan oleh ketua klub untuk menerbangkan pesawatnya dapat dimodelkan oleh persamaan 9y2 – 16x2 = 14.400 (satuan dalam meter), tentukan ketinggian minimum dari pesawat tersebut ketika lewat di atas target.
Pembahasan:
Lintasan yang digunakan oleh ketua klub dapat dimodelkan dengan persamaan 9y2 – 16x2 = 14.400. Selanjutnya, kita ubah persamaan tersebut menjadi bentuk standar.
9y2-16x2=14.400
9y214.400-16x214.400=14.400
y21.600-x2900=14.40014.400
y2402-x2302=1
Dari persamaan bentuk standar tersebut, kita dapat mengetahui bahwa p = 30, yaitu jarak antara titik puncak dengan titik pusat hiperbola (target). Sehingga ketinggian minimum pesawat ketua klub adalah 30 meter di atas target.
Menara pendingin pada pembangkit tenaga nuklir disebut sebagai hyperboloids of one sheet. Jika kita membelah menara ini tegak lurus lurus dengan tanah, maka kita akan menghasilkan dua cabang dari hiperbola. Andaikan hiperbola pada menara ini dapat dimodelkan oleh persamaan 1.600x2 – 400(y – 50)2 = 640.000 (satuan dalam kaki), tentukan jarak minimum antara kedua sisi menara.
Pembahasan:
Diketahui persamaan suatu hiperbola adalah 1.600x2 – 400(y – 50)2 = 640.000. Jarak minimum kedua sisi menara sama dengan jarak antara kedua titik puncak hiperbola. Untuk itu, kita perlu mengubah persamaan hiperbola tersebut ke dalam bentuk standar.
1.600x2-400(y-50)2=640.000
1.600x2640.000-400(y-50)2640.000=640.000640.000
x2400-(y-50)21.600=1
x2202-(y-50)2402
Dari persamaan bentuk standar di atas kita dapat mengetahui bahwa p = 20. Sehingga, jarak kedua puncak hiperbola tersebut adalah 2p = 2(20) = 40. Jadi, jarak minimum kedua sisi menara tersebut adalah 40 kaki atau sekitar 12,2 meter.
Dalam kondisi tertentu, sifat-sifat dari hiperbola dapat digunakan untuk menentukan lokasi dari kapal laut yang sedang berlayar. Misalkan dua pusat radio berjarak 100 km satu dengan yang lainnya, dan keduanya dihubungkan oleh garis pantai yang berupa garis lurus. Suatu kapal laut yang sedang berlayar sejajar dengan garis pantai memiliki jarak 60 km dari garis pantai. Kapal laut tersebut mengirimkan pesan kepada kedua pusat radio tersebut, dan pesan tersebut dapat diterima setelah 0,4 milidetik (milidetik—seperseribu detik) oleh pusat radio pertama dan 0,5 milidetik oleh pusat radio yang berjarak lebih jauh terhadap kapal laut tersebut. Kecepatan perambatan gelombang radio adalah 300 km/milidetik. Gunakan informasi-informasi tersebut untuk menentukan persamaan hiperbola yang dapat digunakan untuk menentukan posisi kapal laut, kemudian tentukan koordinat dari kapal laut tersebut.
Pembahasan:
Misalkan R1 dan R2 secara berturut-turut merupakan posisi dari pusat radio pertama dan kedua, yaitu pusat radio yang memiliki jarak lebih jauh terhadap kapal laut. Jika K adalah posisi dari kapal laut, maka
R1K=300 .0,4=120
R2K=300 .0,5=150
Sehingga, "R2K" – "R1K" = 150 – 120 = 30. Anggap garis pantainya sebagai sumbu-x dan titik tengah kedua pusat radio tersebut sebagai titik pusat hiperbola, maka kita peroleh selisih konstannya tersebut sama dengan 2p, yaitu 2p = 30 atau p = 15 dan p2 = 225. Karena jarak antara kedua pusat radio tersebut 100 km, maka jarak antara masing-masing pusat radio tersebut dengan titik pusatnya adalah f = 100/2 = 50 sehingga f2 = 2.500. Dengan menggunakan persamaan fokus hiperbola, kita dapat menentukan nilai dari q dan q2.
f2= p2+ q2
2.500=225+ q2
q2=2.275
q 482
Sehingga, kemungkinan posisi dari kapal laut tersebut dapat dimodelkan sebagai persamaan hiperbola berikut.
x2p2- y2q2=1
x2152-y2482=1
Sehingga, grafik dari persamaan hiperbola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Selanjutnya, kita tentukan koordinat dari kapal laut tersebut. Karena jarak kapal laut tersebut dengan garis pantai adalah 60 km (y = 60), maka
x2152-y2482=1
x2152-602482=1
x2152=1+ 602482
x2152=5.9042.304
x2= 1.328.4002.304
x 24 atau x -24
Karena pusat radio kedua, R2, memiliki jarak yang lebih jauh dari posisi kapal, maka nilai x yang memenuhi adalah x = –24. Jadi, koordinat kapal laut tersebut adalah (–24, 60).
