1
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus. 4.1. Unsur-Unsur Hiperbola Y
y
= −
b a
x
y
=
b a
x
T (x,y) ( 0,b )
.
(- a,0 )
( a,0 )
O
F2 ( -c,0)
. F1 ( c,0)
X
( 0, -b )
Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F 1 & F2 adalah focus hiperbola, titik puncak ( -a,0) & (a,0), panang sumbu ma!or " 2a dan panang sumbu minor " 2b#
4.2. Persamaan Hiperbola . Persam Persamaan aan Hiperbol Hiperbola a yang berpusat berpusat di di ! "#" "#" $
1# $ntuk hiperbola hiperbola !ang berfokus berfokus pada pada sumbu sumbu %, persamaan persamaan hiperbolan hiperbolan!a !a adalah adalah
2
b x
2
2
−
a y
2
2
=
ab
2
atau
x 2 a2
Dengan -
'usat ( 0,0 )
-
itik fokus F 1( -c,0 ) & F 2 ( c,0 )
-
itik puncak ( -a,0 ) & ( a,0 )
-
'anang sumbu ma!or " 2a
-
'anang sumbu minor " 2b
-
'ersamaan asimptot y = ±
b a
x
y2 −
b2
=
1
2
-
'ersamaan direktriks x = ±
-
ksentrisitas e =
c
c a
-
'anang lactus rectum
-
c2
=
a2
=
2b 2 a
a 2 + b2
2# $ntuk hiperbola hiperbola !ang berfokus berfokus pada pada sumbu sumbu !, persamaan persamaan hiperbolan hiperbolan!a !a adalah adalah
2
b y
2
2
−
a x
2
2
=
ab
2
atau
y 2 a2
−
x2 b2
=
1
Dengan -
'usat ( 0,0 )
-
itik fokus F 1( 0,-c ) & F 2 ( 0,c )
-
itik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a )
-
'anang sumbu ma!or " 2a
-
'anang sumbu minor " 2b
-
'ersamaan asimptot y = ±
-
a b
'ersamaan direktriks y = ±
x
a2 c
%ontoh 1 &
Diketahui persamaan hiperbola
x 2
−
36
y2 25
= 1,
tentukan
a# *oord *oordina inatt titi titik k punc puncak ak b# *oord *oordina inatt titik titik fokus fokus c# 'ers 'ersam amaa aan n asim asimpt ptot ot d# 'ersa 'ersama maan an direkt direktrik riks s e# kse ksent ntri risi sita tas s f# 'anang lactus rectum
'a(ab &
Dari persamaan hiperbola c = a 2 + b2
=
42 + 3 2
=
x 2 16
−
16 + 9
=
y2 9
=
2 2 1 , diperoleh a "1+, maka a" dan a ", maka a".
25 = 5
a# koord koordina inatt titik titik punc puncak ak ( - a,0 )"( - ,0) & ( a,0 )"(,0) b# koordin koordinat at titik titik fokus fokus ( - c, 0 )"( )"( -/,0 -/,0 ) & ( c,0 )"( )"( /,0 )
3 b
c# pers persam amaa aan n asim asimpt ptot ot y = ±
a
a2
d# persa persama maan an dire direktr ktriks iks x = ± e# ekse eksent ntri risi sita tas s e=
c
=
a
f# panang lactus rectum rectum
x=±
=±
c
3
x
4 42
=±
16
5
5
= ±3
1 5
5 4 =
2b
2
a
2.3 =
2
4
9 =
2
=
4
1 2
%ontoh 2
entukan persamaan hiperbola !ang puncakn!a (0,.) & (0,-.) serta fokusn!a (0,/) & (0,-/)# 'a(ab &
Dari puncak (0,.) & (0,-.) diperoleh a"., dari fokus (0,/) & (0,-/) diperoleh c"/# b = c2 − a2
=
52 − 32
=
25 − 9
=
16 = 4
adi persamaan hiperbolan!a adalah
y 2 a2
−
x2 b2
=1 ⇔
y2 32
−
x2 42
=1 ⇔
y2 9
−
x2 16
=1
). Persam Persamaan aan hiperbol hiperbola a yang berpusat berpusat di P! *#+ *#+ $
1#
$ntuk hi hiperbola !ang be berfokus pa pada su sumbu utama dan seaar su sumbu %, persamaan hiperbolan!a adalah
( x − α ) a
2
2
−
( y − β ) b
2
=1
2
Dengan -
'usat ( , )
-
itik fokus F 1( - c, ) & F 2 ( 3 c, )
-
itik puncak ( - a, ) & ( 3 a, )
-
'anang sumbu ma!or " 2a
-
'anang sumbu minor " 2b
-
'ersamaan asimptot y − β
-
=±
'ersamaan direktriks x = α ±
b a
a2 c
( x − α )
4
2#
$ntuk hi hiperbola !ang be berfokus pa pada su sumbu utama dan seaar su sumbu !, persamaan hiperbolan!a adalah 2
( y − β )
−
a2
( x − α )
2
=1
b2
Dengan -
'usat ( , )
-
itik fokus F 1( , - c ) & F 2 ( , 3 c )
-
itik puncak ( , - a ) & ( , 3 a )
-
'anang sumbu ma!or " 2a
-
'anang sumbu minor " 2b
-
'ersamaan asimptot y − β
-
=±
a b
( x − α )
a2
'ersamaan direktriks y = β ±
c
%ontoh ,
Diketahui persamaan hiperbola
2
2
−4 x + 3 y − 24 x −18 1 8 y + 27 =
0 # entukan
a# koord koordina inatt titik titik pusat pusat b# koord koordina inatt titi titik k punca puncak k c# koor koordi dina natt titi titik k foku fokus s d# pers persam amaa aan n asimp asimpto tott e# persam persamaa aan n direk direktri triks ks
'a(ab &
4!atakan terlebih dahulu persamaann!a ke dalam bentuk baku
( x − α ) a
2
−
2
2
( y − β ) b
2
=1
2
2
1 8 y + 27 = −4 x + 3 y − 24 x − 18 2
−4 x − 24 x + −4 −4
{ ( x
( x
+3
)
3y 2 − 18 y = −27
)
2
+ 6x + 3
2
2
−3
−4
{ ( x
−4
( x + 3)
2
−4
( x + 3)
2
+3
)
2
(y
2
)
− 6 y = −2 7
} + 3{ ( y − 3)
2
} { ( y − 3)
−9 +3
+ 36 + 3 +3
0
( y − 3)
( y − 3)
2
2
2
−3
2
} = −27
}
−9 =
27
− 27 = − 27
= −27 + 27 − 36
5
( x + 3)
2
4 ( x + 3)
2
( x + 3)
2
−4
+3
( y − 3)
2
−3
( y − 3)
2
( y − 3)
2
9
Dari persamaan diatas, diperoleh α 2 3 , c = a 2 + b2
=
9 +12
=
−
= −3
= −36 = 36
=1
12
dan β = 3 , a2", maka a". dan b 2"12, maka b"
21
a# *oord *oordina inatt titi titik k pus pusat at ( , )"(-.,.) b# *oordinat *oordinat titik puncak puncak ( - a, a, )"( -.-., -.-., -. )"( -+,-. -+,-. ) & ( 3 a, )"( -.3.,-. )"(0,-.) )"(0,-.) c# *oord *oordina inatt titik titik fokus fokus F 1( - c, )"( -.- 21 ,. ) & F2 ( 3 c, )"( -.3 21 , . ) d# 'ersa 'ersamaa maan n asim asimpt ptot ot y − β
=±
e# 'ersa 'ersamaa maan n dire direktr ktriks iks x = α ±
b a
a2 c
( x − α ) ⇔
⇔
y −3 = ±
x = −3 ±
32
2 3
⇔
21
3
( x + 3)
x = −3 ±
9 21
⇔
x = −3 ±
3 7
21
f# /H0 3
1# entukan koordinat titik pusat, koordinat titik fokus, koordinat titik puncak dan persamaan asimptot dari persamaan hiperbola berikut x 2 y2 a# − =1 144 25 'a(ab &
2 2 b# 9 x − 4 y
'a(ab &
= 36
6
c#
( y − 2 ) 16
2
−
( x −1) 4
2
=1
'a(ab &
d#
4 x 2 − 9 y 2 + 8 x − 18 18 y − 41 = 0
'a(ab &
2# entukan persamaan hiperbola !ang memenuhi ketentuan berikut
a# itik fokus (5,0) dan (-5,0)6 titik puncak (+,0) dan (-+,0) 'a(ab &
b# itik fokus (.,0) dan (-.,0)6 persamaan
7
asimptot y = ±2 x # 'a(ab &
c# itik puncak (+,0) dan (-+,0)6 persamaan asimptot y = ±
1 2
x
'a(ab &
567/5 3
1# entukan koordinat titik pusat, koordinat titik fokus, koordinat titik puncak dan persamaan asimptot dari persamaan hiperbola berikut a#
x
2
4
−
( y − 6 ) 8
2
=1
'a(ab &
b#
( x − 5 ) 20
2
−
( y + 3) 16
2
= −1
8
2 2 c# 4 x − y + 56 x + 2 y + 191 = 0
'a(ab &
d# 4 y 2 − 9 x 2 + 16 y + 18 x − 29 = 0 'a(ab &
9
2# entukan persamaan hiperbola, ika diketahui hal-hal berikut ini
a# 'usat (.,-/)6 puncak di (7,/) dan fokusn!a di (5,-/) 'a(ab &
b# 'usat (-2,-1)6salah satu fokusn!a di titik (-2,1) dan direktriksn!a pada garis /! " -/. 'a(ab &
10
