HIPERBOLA EJERCICIOS BASICOS: Se estudiara los puntos básicos de la hipérbola tales como los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas y se representara representara su grafica usando el software matemático de licencia libre “GEOGEBRA”.
EJERCICIO 1 Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es
RESOLUCION Completando el cuadrado en ambas variables
Por tanto, el centro está en (2.-3). El eje de la hipérbola es horizontal, a=1,b=3 y
RESPUESTA Los vértices están en (1,-3)(3,-3) , los focos en y excentricidad es
e
10
2
10, 3
2,
3
13
y la
.
GRAFICA: realizada en geogebra utilizando el método de vértices y focos .
EJERCICIO 2:
Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en(3,-5) y (3,1) y asíntotas y
2x
8 y y
2 x
4.
Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.
PLANTEAMIENTO Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son (3,-2). Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y de las asíntotas.
RESOLUCION
. Por otro lado, por el teorema
Por tanto, la ecuación canónica es
El valor de
Los focos están en 3, 2
3 5
está dado por
3 5 3, 2 y la excentricidad es 2 2
5 e
2
gráfica se muestra en la figura.
GRAFICA: realizada en geogebra utilizando el método de vértices y focos .
.La
EJERCICIO APLICADO A LA VIDA DIARIA: Para el estudio mas amigable y comprensible de la hipérbola se desarrollara un ejercicio abocado a la aplicación de esta en nuestra vida diaria .
EJERCICIO DE APLICACIÓN COTIDIANO: La estación guardacostas B se encuentra situada 400 km. al este de la estación A. Un barco navega 100 km al norte de la línea que une A y B. Desde ambas estaciones se envían señales de radio simultáneamente a una velocidad de 290.000 km/s. Si la señal enviada desde A llega al barco 0’001 s antes que la enviada desde B, localiza la posición del barco. ¿A qué distancia está de cada una de las estaciones?
PLANTEAMIENTO Situamos los ejes coordenados como en la figura adjunta.
Llamando tA y tB al tiempo que tardan en llegar al barco las señales enviadas desde A y B respectivamente y DA y DB a las distancias desde el barco a las estaciones A y B, se tiene:
RESOLUCION : D A D B
29000 t A
29000 t B
Es decir,
(x,100) DA A(200,0)
t A
t
B
DA
B(200,0)
DB
29000
290000
D A
DB
0,001
290
km.
D B
El barco estará situado en un punto, de ordenada 100, cuya diferencia de distancia a los puntos A y B será 290 km. Por tanto el barco estará en la hipérbola con focos A y B, y diferencia de distancias a los focos igual a 2a=290 km. Por otra parte la distancia focal será: 2c=400 km. La ecuación de la hipérbola buscada será: x 2 y 2 2 2 2 2 2 200 145 c a 1 con b 2 2 a b
18975
es decir:
x
2
21025
y
2
18975
Como y=100, entonces:
1
x=179,18 km
Las coordenadas del barco serán entonces: (-179,18;100)
Y las distancias a las estaciones:
D A
100
2
20, 82
2
102,14km
D B
100
2
100
2
2
379,18
379,18
392,14 km
392,14km
RESPUESTA : las distancias serán: D A
2
100
2
20, 82
102,14km
D B
2
