A Y U N A NN M A T E M A T I S
A . T u j u a n
1 .
M a m p u m e m a h a m i a s a s a y u n a n m a te m a tis d e n g a n g e ta r a n s e la r a s
2 .
M a m p u m e m a h a m i p e r c e p a ta n g ra v ita s i
3 .
M a m p u m e n e n tu k a n b e s a r p e rc e p a ta n g r a v ita s i d i te m p a t p e r c o b a a n
B . A l a t d a n B a h a n
1 .
A y u n a n s e d e rh a n a
2 .
S to p w a tc h
3 .
C o u n te r
4 .
M is ta r
C . D a s a r T e o r i
B a n d u l m a te m a tis
a d a la h
s u a tu
titik
b e n d a
d ig a n tu n g k a n
p a d a
s u a tu
titk
te ta p
d e n g a n t a l i . J i k a a y u n a n m e n y i m p a n g s e b e s a r s u d u t θ t e r h a d a p g a r i s v e r t i c a l m a k a g a y a y a n g m e n g e m b a lik a n : F = - m
. g . . s i n θ
U n t u k θ d a l a m r a d i a l y a i t u θ k e c i l m a k a s i n θ = θ = s / l , d i m a n a s = b u s u r l i n t a s a n b o l a d a n l = p a n ja n g ta li , s e h in g g a : F = −
m g s l
K a la u tid a k a d a g a y a g e s e k a n d a n g a y a p u n tir a n m a k a p e r s a m a a n g a y a a d a la h : d 2 s
m g m 2 = s l d t
a t a u m
d 2 s g d t 2
+
l
g = 0
I n i a d a l a h p e r s a m a a n d i f f e r e n s i a l g e t a r a n s e la r a s d e n g a n p e r io d e a d a l a h : l
T = 2 π D e n g a n
b a n d u l m a te m a tis m a k a
p e rc e p a ta n
x g ra v ita s i g
d a p a t d ite n tu k a n
y a itu
d e n g a n
h u b u n g a n : T = 2 π g =
l x
4 π 2 l T 2
1
H a rg a l d a n T
d a p a t d iu k u r
p a d a p e la k s a n a a n p e r c o b a a n d e n g a n b o la lo g a m
y a n g c u k u p
b e r a t d i g a n t u n g k a n d e n g a n k a w a t y a n g s a n g a t r i n g a n ( A n o n i m , 2 0 0 7 ) . B e b a n y a n g d i i k a t p a d a u ju n g t a l i r i n g a n y a n g b a n d u l . J i k a
b e b a n
d ita rik
k e s a tu
s is i, k e m u d ia n
m a s s a n y a d a p a t d ia b a ik a n d is e b u t
d ile p a s k a n m a k a
b e b a n
a k a n
t e r a y u n
m e la l u i t i t i k k e s e i m b a n g a n m e n u ju k e s i s i y a n g l a i n . B i l a a m p l i t u d o a y u n a n k e c i l , m a k a b a n d u l
s e d e rh a n a
d ig a n tu n g
itu
a k a n
m e la k u k a n
g e ta ra n
h a rm o n ik .
B a n d u l
d e n g a n
m a s s a m
p a d a s e u t a s t a l i y a n g p a n j a n g n y a l . A y u n a n m e m p u n y a i s i m p a n g a n a n g u l e r θ
d a r i k e d u d u k a n s e im b a n g . G a y a p e m u l ih a d a la h k o m p o n e n g a y a te g a k lu r u s ta li. F = - m F = m
g s in θ a
m a k a m
a = - m
g s in θ
a = - g s in θ U n t u k g e t a r a n s e l a r a s θ k e c i l s e k a l i s e h i n g g a s i n θ = θ . S i m p a n g a n b u s u r s = l θ a t a u θ = s / l , , m a k a p e r s a m a a n m e n j a d i : a = g s / l . D e n g a n p e r s a m a a n p e r i o d e g e t a r a n h a r m o n i k T = 2 π
− s a
m a k a d i d a p a t m e n ja d i : T = 2 π
− s
l a t a u T = 2 π − g s / l g
D im a n a : l = p a n j a n g t a l i ( m e t e r ) g = p e r c e p a t a n g r a v i t a s i ( m s - 2 ) T = p e r io d e b a n d u l s e d e r h a n a ( s ) D a ri r u m u s d i a ta s d ik e ta h u i b a h w a p e r io d e b a n d u l s e d e r h a n a tid a k b e r g a n tu n g p a d a m a s s a d a n s i m p a n g a n b a n d u l , m e la ik a n h a n y a b e r g a n t u n g p a d a p a n ja n g d a n p e r c e p a ta n g r a v it a s i , y a i t u : g =
4 π 2 l T 2
( H e n d r a , 2 0 0 6 ) .
2
tid a k
G e ra k
o s ila si y a n g
te rla lu
b e s a r, m a k a g e ra k y a n g
s e d e rh a n a a d a la h
s u a tu
s e rin g
s is te m
d i ju m p a i a d a l a h
y a n g
g e ra k a y u n a n . J ik a s im p a n g a n
te r ja d i d a la m
g e ra k
te rd iri d a ri s e b u a h
h a rm o n ik
m a s s a d a n
o s ila s i
s e d e r h a n a . A y u n a n ta k
d a p a t m u lu r. In i
d i ju n j u k k a n p a d a g a m b a r d i b a w a h i n i . J ik a a y u n a n d i t a r i k k e s a m p i n g d a r i p o s is i s e ti m b a n g , d a n k e m u d ia n d ile p a s s k a n , m a k a m a s s a m p e n g a r u h
g ra v ita s i. G e ra k
in i a d a la h
a k a n b e ra y u n d a la m
g e ra k
o s ila s i d a n
b id a n g v e r tik a l k e b a w a h
p e rio d ik . K ita in g in
m e n e n t u k a n
p e r i o d e a y u n a n . P a d a g a m b a r d i b a w a h i n i , d i t u n j u k k a n s e b u a h a y u n a n d e n g a n p a n j a n g 1 , d e n g a n s e b u a h p a r tik e l b e r m a s s a m , y a n g m e m b u a t s u d u t θ te r h a d a p a r a h v e r tic a l. G a y a y a n g b e k e r ja p a d a p a r ti k e l a d a la h g a y a b e r a t
d a n g a y a ta rik
d a la m
ta li. K ita p ilih
s u a tu s is te m
k o o r d in a t d e n g a n s a tu s u m b u m e n y in g g u n g lin g k a r a n g e r a k ( ta n g e n s ia l) d a n
s u m b u
p a d a
la in
a ra h
r a d ia l. K e m u d ia n
k ita
u ra ik a n
g a y a
b e ra t m g
a ta s
k o m p o n e n -
k o m p o n e n p a d a a r a h r a d i a l , y a i t u m g c o s θ , d a n a r a h t a n g e n s i a l , y a i t u m g s i n θ . K o m p o n e n r a d ia l d a ri g a y a - g a y a y a n g b e k e r ja m e m b e r ik a n p e rc e p a ta n s e n tr ip e ta l y a n g d i p e rl u k a n a g a r b e n d a b e rg e r a k p a d a b u s u r l in g k a ra n .K o m p o n e n t a n g e n s ia l a d a l a h g a y a p e m b a l i k p a d a b e n d a m
y a n g c e n d e r u n g m e n g e m b a l i k a n m a s s a k e p o s i s i s e t i m b a n g . J a d i
g a y a p e m b a lik a d a la h :
F = − m g s i n θ P e rh a tik a n b a h w a g a y a p e m b a li k d i s in i t id a k s e b a n d i n g d e n g a n θ a k a n te ta p i s e b a n d i n g d e n g a n s in θ . A k ib a tn y a g e ra k y a n g d ih a s ilk a n b u k a n la h g e ra k h a rm o n ic s e d e r h a n a . A k a n te t a p i, jik a s u d u t θ
a d a la h
k e c il m a k a s in
θ
≈
θ
(ra d ia l). S im p a n g a n
s e p a n ja n g
b u s u r
l i n t a s a n a d a l a h x = l θ , d a n u n tu k
s u d u t y a n g k e c il b u s u r lin ta sa n d a p a t d ia n g g a p
s e b a g a i g a ris lu r u s . J a d i k ita
p e r o l e h
⎛ x ⎞ ⎟ ⎝ l ⎠
F = − m g s i n θ ≈ − m g θ = − m g ⎜ F = −
m g x l
3
G a m b a r . 1 . G a y a - g a y a y a n g b e k e r j a g a y a b e r a t m g p a d a m a s s a m
p a d a a y u n a n s e d e r h a n a a d a la h g a y a ta r ik T
d a n
J a d i u n t u k s i m p a n g a n y a n g k e c i l , g a y a p e m b a l i k a d a l a h s e b a n d i n g d e n g a n s i m p a n g a n , d a n m e m p u n y a i a r a h b e r la w a n a n . I n i b u k a n la ia n a d a la h p e r s y a r a ta n g e r a k h a r m o n i c s e d e r h a n a . T e t a p a n m g / l m e n g g a n t i k a n t e t a p a n k p a d a F = - k x . P e r io d a a y u n a n jik a a m p l i tu d e k e c il a d a la h : T = 2 π
m
T = 2 π
l
k
= 2 π
m m g / l
g
( S u t r i s n o , 1 9 9 7 ) . C o n to h d a r i k a t e g o r i a y u n a n m e k a n i s , y a i t u p e n d u lu m . K i t a a k a n m e m u l a i k a ji a n k ita d e n g a n m e n in ja u p e r s a m a a n g e r a k u n t u k s is te m
y a n g d i k a ji s e p e r t i d a l a m
g a m b a r 2 .
G a m b a r 2 . P e n d u l u m , g a y a p e m u l i h y a n g t i m b u l b e r k a i t a n d e n g a n p e n g a r u h g r a v i t a s i p a d a m a s s a M . D a p a t a n d a m e n y e b u t k a n k o n d i s i a p a s a ja y a n g b e r l a k u u n t u k p e n d u l u m s e d e r h a n a s e p e r t i d i s a m p i n g
4
G a y a p e m u lih b e n t u k
m u n c u l s e b a g a i k o n s e k u e n s i g ra v ita s i te rh a d a p
g a y a g r a v i t a s i M g y a n g
s a lin g
m e n ia d a k a n
d e n g a n
b o la b e r m a s s a
M
d a la m
g a y a M d v / d t y a n g b e r k a i t a n
d e n g a n k e le m b a m a n . A d a p u n f r e k u e n s i a y u n a n tid a k b e r g a n tu n g k e p a d a m a s s a M .
D a la m
k a s u s s is te m
m a s s a M
a y u n a n s e p e r t i y a n g d i s a ji k a n d a l a m
t e r b a t a s i a t a u d i t e n tu k a n o l e h p a n ja n g p e n d u lu m
g a m b a r d i a ta s , m a k a g e r a k a n L , d a n p e r s a m a a n g e r a k y a n g
b e r l a k u a d a l a h : M L
d 2 θ d t 2
= − m g s i n θ
d im a n a d a la m
h a l in i k e c e p a ta n b o l a s e p a n ja n g l in t a s a n n y a y a n g b e r u p a b u s u r l in g k a r a n
a d a l a h v ( t ) = L θ ( t ) . F a k t o r s i n θ m e r u p a k a n k o m p o n e n y a n g s e a r a h d e n g a n g r a v i t a s i d a r i g a y a y a n g b e k e r ja p a d a b o l a d a l a m
a r a h θ . S e l a n ju t n y a d e n g a n m e m b u a n g M
d a ri k e d u a
d 2 θ g s i s i p e r s a m a a n d i a t a s , d i p e r o l e h b e n t u k 2 + s i n θ = 0 , y a n g m e r u p a k a n p e r s a m a a n L d t d i f e r e n s i a l t a k li n e a r u n t u k θ .
J ik a d ia n g g a p s im p a n g a n a w a l a y u n a n c u k u p k e c il
, m a k a b e rla k u s in θ = θ
s e h i n g g a p e r s a m a a n d a p a t d i u b a h m e n ja d i b e n t u k lin e a r s e b a g a i b e r ik u t, d 2 θ g + θ = 0 d t 2 L p e r s a m a a n m e r u p a k a n g a m b a r a n u n t u k a y u n a n s i n u s u i d a l d e n g a n f r e k u e n s i d i b e r i k a n o l e h : ω
=
g
l m a k a T = 2 π l g
( y a h y a , 2 0 0 5 ) . P a d a b a n d u l m a te m a ti s , b e r a t t a li d i a b a i k a n d a n p a n ja n g t a li ja u h l e b ih b e s a r d a r i p a d a u k u r a n
g e o m e t r i s d a r i b a n d u l . P a d a p o s i s i s e t i m b a n g , b a n d u l b e r a d a p a d a t i t i k A .
S e d a n g k a n p a d a titik B titik B
a d a la h k e d u d u k a n p a d a s u d u t d i s im p a n g a n m a k s im u m
( θ ). K a la u
a d a la h k e d u d u k a n d a ri s im p a n g a n m a k s im u m , m a k a g e ra k a n b a n d u l d a ri B
la lu k e B ’ d a n k e m u d ia n k e m b a li k e A
d a n la lu k e B
la g i d in a m a k a n s a tu a y u n a n . W
k e A a k tu
y a n g d ip e r lu k a n u n t u k m e la k u k a n s a tu a y u n a n in i d is e b u t p e r io d e ( T ) . S e p e r ti p a d a g a m b a r 3 . d i b a w a h in i
5
f =
k o m p o n e n
w
m e n u ru t
g a ris
s in g g u n g p a d a lin t a s a n b a n d u l P =
g a y a te g a n g ta li
N =
k o m p o n e n n o rm a l d a ri W
l =
p a n ja n g t a li
θ =
s u d u t sim p a n g a n
= m g
G a m b a r 3 . b a n d u l m a t e m a t i s , b e r a t t a l i d i a b a i k a n d a n p a n j a n g t a l i d a n p a n j a n g t a l i y a n g m e m i l i k i u k u r a n l e b i h b e s a r .
D e n g a n
m e n g a m b il s u d u t
θ
c u k u p
k e c il
s e h in g g a
B B ’=
b u s u r
B A B ’, m a k a
d a p a t
d i b u k tik a n b a h w a T = 2 π D e n g a n
l g m e n g e t a h u i p a n ja n g
ta li d a n
p e rio d e , m a k a
p e rc e p a ta n
g ra v ita s i b u m i d a p a t
d i h i tu n g ( A n o n im , 2 0 0 4 ) . C a ra
s e d e rh a n a
m e n g u k u r
g
a d a la h
d e n g a n
m e n g g u n a k a n
b a n d u l
m a te m a tis
s e d e r h a n a . B a n d u l in i te r d i r i d a r i b e b a n y a n g d i ik a t k a n p a d a u ju n g b e n a n g ( ta li r in g a n ) d a n u ju n g l a i n n y a d o g a n t u n g k a n p a d a p e n y a n g g a t e t a p . B e b a n d a p a t b e r a y u n d e n g a n b e b a s . K e tik a
d is im p a n g k a n , b a n d u l b e rg e ra k
b o la k -b a lik . W
a k tu
s a tu
k a li g e ra k
b o la k -b a lik
d is e b u t s a tu p e r io d e . K ita n y a ta k a n p e r io d e d e n g a n s y m b o l T . P e rio d e b a n d u l m e m e n u h i ru m u s :
T = 2
4 π 2 L g
T = p e rio d e b a n d u l ( s ) L = p a n ja n g p e n g g a n t u n g ( m ) g = p e r c e p a t a n g r a v i t a s i ( m / s 2 )
6
G a m b a r 4 . b a n d u l y a n g d i i k a t p a d a t a l i
( A n o n im , 2 0 0 3 ) .
F i t t i n g m e n u r u t k u a d r a t t e r k k e c i i l 1 . F i t t i n g m e n u r u t g a r i s l i n e a r ( y = a x + b ) .
D ik e ta h u i s e t d a ta ( x i, y i) . A k a n d ite n tu k a n p e rs a m a a n
g a ris lu r u s y a n g te rb a ik
y a n g m e la lu i s e t d a t a te r s e b u t. E =
N
∑ ( y − yˆ )
( 1 )
i
i = 1
E r m
s
N
1
=
∑ ( y − yˆ ) i
N i = 1
2
=
1
N
∑ [ y − ( a i
N i = 1
2
x i + b ) ]
1 / 2
2 ⎧⎪ 1 N ⎫⎪ = ⎨ ∑ [ y i − ( a x i + b ) ] ⎬ ⎪⎩ N i = 1 ⎪⎭ N
2 r m s
N E
( 2 ) 2
= ∑ [ y i − ( a x i + b ) ] = ε
( 3 )
i = 1
E r m
s
a k a n m in im u m
j i k a N E r 2 m s m i n i m u m . M i s a l N E r 2 m s = ε . N i l a i ε a k a n m i n i m u m
ji k a
∂ ε ∂ ε = 0 ; = 0 . J i k a i n i d i k e r j a k a n m a k a a k a n d i p e r o l e h n i l a i a d a n b . ∂ a ∂ b ∂ ε = 0 ∂ a
a . M e n g h i t u n g N
2
∑ [ y − ( a i
x i + b ) ] ( − x i ) = 0
i = 1
7
N
∑ [ − x y + ( a i i
) ]
x i + b x i = 0 2
i = 1 N
N
i = 1
i = 1
N
− ∑ x i y i + ∑ a x + ∑ b x i = 0 N
2 i
i = 1
N
N
∑ a x + ∑ b x = ∑ x y 2 i
i
i = 1
b . M
( 4 )
i i
i = 1
i = 1
∂ ε = 0 ∂ b
e n g h i t u n g N
2
∑ [ y − ( a
x i + b ) ] ( 1 ) = 0
i
i = 1 N
∑ [ y − ( a i
x i + b ) ] = 0
i = 1 N
N
∑ y − ∑ a
∑ b = 0
x i −
i
i = 1
i = 1
N
N
i = 1
∑ y − ∑ a
x i − N b = 0
i
i = 1 N
∑ a
N
i = 1
x i + N b =
i = 1
N
∑ y
( 5 )
i
i = 1
P e r s a m a a n ( 6 .4 ) d a ( 6 .5 ) d i g a b u n g N
∑ i = 1
N
N
∑ x = ∑ x y
a x + b 2 i
i
i = 1
i i
i = 1
N
∑
∑ y
i = 1
i = 1
a x i + N b =
N
i
J a d i t e rd a p a t d u a p e rs a m a a n d e n g a n 2 v a ria b e l y a n g b e lu m p e r s . T e r s e b u t d a p a t d i b e n t u k d a l a m
⎛ N 2 ⎜ ∑ x i ⎜ i = 1 ⎜ N ⎜ ∑ x i ⎝ i = 1
d ik e ta h u i y a itu a d a n b . K e d u a
m a t r i k :
⎞ ⎛ N ⎞ x i ⎟ ⎜ ∑ x i y i ⎟ ∑ i = 1 ⎟ ⎛⎜ a ⎞⎟ = ⎜ i = 1 ⎟ ⎜⎟ b ⎟ ⎜ N ⎟ N ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ∑ y i ⎟ ⎠ ⎝ i = 1 ⎠ N
( 6 )
M a k a
8
N
N
∑
x i y i
i = 1 N
∑ x
i
i = 1
N
∑
y i
a =
∑
N
i = 1 N
i = 1 N
i = 1
=
N
∑ x ∑ x 2 i
i
∑
N
N
∑ y
x i i = 1
i
i = 1
( 7 )
2
⎛ N ⎞ 2 N ∑ x i − ⎜ ∑ x i ⎟ i = 1 ⎝ i = 1 ⎠ N
i
i = 1
∑ x
x i y i −
N
N
i = 1 N
N
∑ x ∑ x y 2 i
i i
i = 1 N
i = 1 N
∑ x
∑ y
i
b =
i = 1
i = 1
N
∑
i
2 i
x
∑ x ∑ x 2 i
i = 1 N
∑ y − ∑
N
i = 1
i = 1
N
∑
⎛
i = 1
N
∑ x
x i y i
i
N
i
∑ x
N
i = 1
=
N
N
N
i
i = 1 2
( 8 )
⎞
∑⎝ x ⎠⎟
x i − ⎜ 2
i = 1
i
i = 1
N
i
i = 1
M a k a d ip e r o le h p e r s a m a a n k u rv a f ittin g y = a x + b . 2 . G a r i s l u r u s y y = a + b x
y ( x i ) = a + b x i
∆ y i = y i − y ( x i ) a d a n b d i c a r i a g a r P t o t a l b e r n i l a i m a k s i m u m . M i s a l d i d e f i n i s i k a n χ 2 ( c h i k u a d r a t d i b a c a “ k a i k u a d r a t ” ) s e b a g a i
χ 2 =
χ 2 =
2
⎛ y − y ( x ) ⎞ i ⎟ ⎜ i ⎜ s y ⎟ i ⎝ ⎠
∑
2
⎛ y i − ( a + b x i ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ s y i ⎝ ⎠
∑
s y = s y = s y = s y = s y 2 3 i a . J i k a 1 1 4 1 2 1 0 8 6 4 2 0 0
2
4
6
8
1 0
1 2
9
H a l i n i t e r ja d i ji k a p a d a m a s i n g - m a s i n g t i t i k t i d a k d i l a k u k a n p e n g u l a n g a n s e h i n g g a r a la tn y a m e r u p a k a n r a la t y a n g b e r a s a l d a r i a la t u k u r y a n g b e s a r n y a s e la lu te ta p . χ 2 =
∑
1
( y i − ( a + b
2 s y
x i ) )
2
=
1 2 s y
∑ ( y − yˆ ) i
2
i
( 9 )
∂ χ 2 ∂ χ 2 S y a r a t χ m i n i m u m a d a l a h = = 0 ∂ a ∂ b 2
∂ χ 2 1 = 2 ∂ a s y
∑ 2 ( y − ( a + b i
x i ) ) ( − 1 ) = 0
Σ a + Σ b x i = Σ y i N a + Σ b x i = Σ y i 1 ∂ χ 2 = 2 ∂ b s y
( 1 0 )
∑ 2 ( y − ( a + b i
x i ) ) ( − x i ) = 0
2
a Σ x i + Σ b x i = Σ x i y i
( 1 1 )
D a r i p e r s . ( 1 0 ) d a n ( 1 1 ) m a k a d i p e r o l e h :
a =
Σ x i y i Σ x i 2 Σ y i Σ x i Σ x i
Σ x i 2
N
Σ x i
( Σ x i ) ( Σ x i y i ) − ( Σ x i 2 ) ( Σ y i ) = ( Σ x i ) 2 − N Σ x i 2
( 1 2 )
M is a l b a g i a n p e n y e b u t p a d a p e r s . ( 1 2 ) :
∆ = ( Σ x i ) 2 − N Σ x i 2 M a k a : a =
[ ( Σ x ) ( Σ x y ) − ( Σ x ) ( Σ y ) ] ∆ 1
i
i i
2 i
( 1 3 )
i
∂ χ 2 D e n g a n c a r a y a n g s a m a y a i t u d e n g a n m e n e r a p k a n = 0 m a k a d i p e r o l e h : ∂ b
b =
Σ x i Σ x i y i N Σ y i Σ x i Σ x i 2 N Σ x i
=
( ∑ x ) ( ∑ y ) − N ∑ x y ( ∑ x ) − N ∑ x i
i
2
i
i i
2 i
1 0
b =
1
∆
[ ( Σ x i ) ( Σ y i ) − N Σ x i y i ]
( 1 4 )
T a m p a k b a h w a n i l a i a d a n b t i d a k a d a k e t e r g a n t u n g a n t e r h a d a p s y . b . J i k a x i d a n y i k e d u a n y a m e m i l i k i r a l a t y a n g b e s a r n y a a | s x i | = | s y i | m a k a s t o t a l
u n t u k x i d a n y i a d a l a h :
s i = s x2 + s 2 y i i
( 1 5 )
∆ y i y i
∆ x i
x i L a n ju t a n ... a = a ( y i ) = a ( y 1 , y 2 , . . . , y N ) 2
2
s a
2
2
2
⎛ ∂ a ⎞ 2 ⎛ ∂ a ⎞ 2 ⎛ ∂ a ⎞ 2 ⎛ ∂ a ⎞ 2 ⎟⎟ s y = ⎜⎜ ⎟⎟ s y ⎟⎟ s y + ⎜⎜ ⎟⎟ s y + . . . + ⎜⎜ = Σ ⎜⎜ i 1 2 y y y y ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ N ⎠ N
=
2
⎛ ∂ a ⎞ 2 ⎜ ⎟ s ⎜ ∂ y j ⎟ y j ⎝ ⎠
N
∑ j = 1
( 1 6 )
⎞ ⎛ ∂ a 1 ⎡ ⎛⎜ d i m a n a = ⎢ x i x j ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ∂ y j ∆ ⎢ ⎜⎝ i ⎠ ⎝ ⎣
∑
∑
2 x i
i
⎞ ⎤ ⎟ ⎥ ⎟ ⎠ ⎥⎦
i n g a t , k a r e n a s y j = s y m a k a p a d a p e r s . ( 7 ) u n g k a p a n t e r s e b u t d i m a s u k k a n s e h i n g g a : 2
s a =
1
∆ 2
N
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
∑ ∑ x x − ∑ j = 1
i j
i
i
2
⎞ 2 2 ⎟ x i s y ⎟ ⎠
2 2 ⎡ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ = 2 ∑ ⎢ ⎜ ∑ x i x j ⎟ + ⎜ ∑ x i ⎟ − 2 ⎜ ∑ x i ⎟ ( x j ) ⎜ ∑ x i 2 ⎟ ⎥ ∆ j = 1 ⎢⎣ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎥⎦ 2
s y
N
2 s y ⎡ ⎛
2
⎞ = 2 ⎢ ⎜ ∑ x i ⎟ ∆ ⎢⎣ ⎝ i ⎠
2 ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ 2 ⎞ ⎜ ∑ x j ⎟ + N ⎜ ∑ x i ⎟ − 2 ⎜ ∑ x i ⎟ ⎜ ∑ x i 2 ⎟ ⎜ ∑ x j ⎟ ⎥ ⎜ j ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ j ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠
1 1
2 s y ⎡ ⎛
2 2 2 ⎤ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ 2 ⎞ 2 ⎞ = 2 ⎢ ⎜ ∑ x i ⎟ ⎜ ∑ x i ⎟ + N ⎜ ∑ x i ⎟ − 2 ⎜ ∑ x i ⎟ ⎜ ∑ x i ⎟ ⎥ ∆ ⎢⎣ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎥⎦
2
2 s a
=
s y
∆ 2
Σ x i 2 [ N Σ x i 2 − ( Σ x i ) 2 ] �
∆
2
2 s a
=
s y
∆
Σ
x i 2
a t a u
Σ x i 2 s a = s y 2 2 N Σ x i − ( Σ x i )
( 1 7 )
D e n g a n c a r a y a n g s a m a m a k a d ip e r o le h :
2
s b = 2
N s y
∆
N a t a u s b = s y 2 2 N Σ x i − ( Σ x i )
c . J i k a
s y ≠ s y ≠ s y ≠ s y 1
2
3
s y = k o n s t a n
i
i
H a l i n i d a p a t t e r ja d i ji k a p a d a m a s i n g - m a s i n g t i t i k d i l a k u k a n p e n g u k u r a n b e r u l a n g s e h in g g a m e m ilik i s im p a n g a n b a k u . 1 4 1 2 1 0 8 6 4 2 0 0
2
4
6
8
1 0
1 2
2
⎛ y − ( a + b x i ) ⎞ ⎟ = ∑ 1 [ y i − ( a + b x i ) ] 2 χ 2 = ∑ ⎜ i 2 ⎜ ⎟ s y i s y i ⎝ ⎠
∂ χ 2 = 2 ∂ a
⎡ y − ( a + b x ) ⎤ i ⎢ i ⎥ ( − 1 ) = 0 2 ⎢⎣ ⎥⎦ s y i
∑
( 1 8 )
1 2
a Σ
∂ χ 2 = 2 ∂ b
1 2
s y i
+ b Σ
x i
y i
= Σ
2
( 1 9 )
2
s y i
s y i
⎡ y − ( a + b x ) ⎤ i ⎢ i ⎥ ( − x i ) = 0 2 ⎢⎣ ⎥⎦ s y i
∑
a Σ
2
x i 2
s y i
+ b Σ
x i
= Σ
2
s y i
( 2 0 )
x i y i
( 2 1 )
2
s y i
D a r i p e r s . ( 1 9 ) d a n ( 2 1 ) m a k a d i p e r o l e h : y i
Σ Σ
2
x i
Σ
2
s y i
s y i
x i y i
x i
a =
2
Σ
s y i
1
x i
Σ
2
2
x i
Σ
2
s y i
Σ Σ
2
=
2
s y i
s y i
x i
x i
2
Σ
2
s y i
y i 2
− Σ
s y i
x i 2
Σ
s y i
x i y i
2 i 2 y i
2
s y i
⎛ x ⎞ Σ 2 Σ − ⎜ Σ i 2 ⎟ ⎜ s y ⎟ s y i s ⎝ i ⎠ 1
2
s y i
Σ
2
( 2 2 )
x
2
s y i
D e n g a n m e m is a lk a n 2
⎛ x ⎞ x 1 ∆ = Σ 2 Σ − ⎜ Σ i 2 ⎟ ⎜ s y ⎟ s y i s ⎝ i ⎠ 2 i 2 y i
∆ = Σ w i Σ w i x i − ( Σ w i x i ) 2
( 2 3 )
2
M a k a in t e r s e p 2 1 ⎡ x i
y i
x i
x i y i ⎤
⎢ Σ Σ − Σ 2 Σ 2 ⎥ ∆ ⎢ s y 2 s y 2 s y s y ⎥ i i i i ⎦ ⎣ a =
a =
1
[ Σ w x ∆
s a 2 =
2 i i
j
Σ w i y i − Σ w i x i Σ w i x i y i ] 2
⎛ ∂ a ⎞ 2 ⎜ ⎟ s = ⎜ ∂ y j ⎟ y j ⎝ ⎠
∑
( 2 4 )
2
⎛ ∂ a ⎞ ∑ j ⎜⎜ ∂ y s y j ⎟⎟ ⎝ j ⎠
( 2 5 )
a ta u u n tu k u n tu k m e m u d a h k a n p e m a h a m a n :
1 3
2
2
2
2
⎛ ∂ a ⎞ ⎛ ∂ a ⎞ ⎛ ∂ a ⎞ ⎛ ∂ a ⎞ s a = ⎜⎜ s y ⎟⎟ + ⎜⎜ s y ⎟⎟ + ⎜⎜ s y ⎟⎟ + . . . + ⎜⎜ s y ⎟⎟ 1 2 3 N ⎝ ∂ y 1 ⎠ ⎝ ∂ y 2 ⎠ ⎝ ∂ y 3 ⎠ ⎝ ∂ y N ⎠
P a d a p e r s . ( 1 6 ) t u r u n a n a t e r h a d a p y j d i m a n a y j a d a l a h s a l a h s a t u n i l a i d a r i y i a d a l a h :
⎡ ∂ a 1 ⎢ ⎛⎜ = ∂ y j ∆ ⎢ ⎜ ⎣ ⎝
⎞ 2 ⎛ x i ⎞⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎛⎜ − 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ s y i s y j
∑
D e n g a n d a la m s a 2 =
i
⎠ ⎝
⎠
⎤
⎛ ⎞ x i ⎞⎟ ⎜ x j ⎟ ⎥
∑ ⎝ s i
2 y i
( 2 6 )
⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎠ ⎜⎝ s y j ⎠⎟ ⎦
m e n s u b stitu s ik a n p e rs . (2 6 ) k e (2 5 ) d a n
k e m u d ia n
m e m a s u k k a n s y 2 k e j
k u r u n g m a k a d ip e ro le h : 1
∆ 2
∑ j
= 1 ∑ ∆ 2
j
⎡ ⎛ x 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ ∑ i ⎟ ⎜ 1 ⎟ − ⎜ ∑ i ⎟ ⎜ j ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ i s y i 2 ⎟ ⎜ s y j ⎟ ⎜ i s y i 2 ⎟ ⎜ s y j ⎟ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝
2
2 2 2 2 ⎡ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ x i ⎟ ⎜ 1 ⎟ + ⎜ x i ⎟ ⎜ x j ⎟ − 2 ⎜ x i ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ x i ⎟ ⎜ x j ⎟ ⎥ 2 2 2 ⎜ 2 ⎜ ⎢ ⎜ ∑ ⎟ ⎜ s y ⎟ ⎜ ∑ ⎟ ⎜ s y ⎟ ⎜ ∑ ⎟ s y ⎟ ⎜ ∑ ⎟ s ⎟ ⎥ i s y i s y i s y i s y i ⎠ ⎝ j ⎠ i ⎠ ⎝ j ⎠ i ⎠ ⎝ j ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ y j ⎠ ⎥ ⎝⎣⎢ ⎝ ⎝ ⎦
∑
J i k a t a n d a d i m a s u k k a n k e d a l a m
k u ru n g k o ta k m a k a
j 2 2 2 ⎡ ⎛ 2 ⎞ 2 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ x ⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x x x x x 1 1 j j ⎟ ⎥ 2 ⎟ − 2 ⎜ i ⎟ ⎜ i ⎟ ⎜ s a = 2 ⎢ ⎜ ∑ i 2 ⎟ ∑ 2 + ⎜ ∑ i 2 ⎟ ∑ ⎜ δ ∑ ∑ ∑ ⎜ i s y 2 ⎟ ⎜ i s y 2 ⎟ ⎜ j s y 2 ⎟ ⎥ i j ∆ ⎢ ⎜⎝ i s y i ⎠⎟ j s y j ⎜⎝ i s y i ⎠⎟ j ⎜ s y j ⎟ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ j ⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣⎢ ⎦
( 2 7 )
s e h i n g g a d e n g a n m e n j a l a n k a n i = j = 1 . . . N m a k a d i p e r o l e h : 2 2 2 2 ⎡ ⎛ ⎤ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x i ⎟ ⎜ x i ⎟ x i ⎟ ⎜ x i ⎟ ⎥ 1 ⎢ ⎜ x i ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎜ ( 2 8 ) s a = 2 ∑ 2 ∑ + ∑ ∑ − 2 ⎜ ∑ 2 2 ⎟ ⎜ ∑ ⎟ ⎥ ∆ ⎢ ⎜⎝ i s y i ⎠⎟ ⎜⎝ i s y i 2 ⎠⎟ ⎜⎝ i s y i 2 ⎠⎟ ⎜⎝ i s y i ⎠⎟ i s y i s y i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ ⎣ ⎦
D e n g a n m e n g u r a i k a n ∆ 2 m e n j a d i ∆ ∆ d a n m e n g g a n t i s a l a h s a t u ∆ d e n g a n p e r s . ( 2 3 ) m a k a ∆ ∆ d i t u l i s m e n j a d i : 2 ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ ⎜ 1 x i ⎜ x i ⎟ ⎟ ∆ ⎜ Σ 2 Σ 2 − Σ 2 ⎟ ⎜ s y i s y i ⎜⎝ s y i ⎠⎟ ⎟ ⎝ ⎠
( 2 9 )
m a k a p e r s a m a a n ( 2 8 ) m e n ja d i
1 4
2 2 2 2 ⎡ ⎡ ⎛ ⎤ ⎤ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x x x x x 1 i ⎟ ⎜ i ⎟ ⎜ i ⎟ ⎢ ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ − 2 ⎜ ∑ i 2 ⎟ ⎜ ∑ i 2 ⎟ ⎥ ⎥ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 ⎢ ⎢ ⎜ ∑ ⎟ ⎜ i s y ⎟ ⎜ i s y ⎟ ⎜ i s y ⎟ ⎜ i s y ⎟ ⎜ i s y ⎟ ⎥ ⎥ i s y i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎢ ⎣ ⎦ ⎥ ( 3 0 ) s a 2 = 2 ⎥ ∆ ⎢ ⎛ ⎞ 2 ⎢ ⎥ ⎜ 1 x i ⎛⎜ x i ⎞⎟ ⎟ Σ Σ − Σ ⎢ ⎥ ⎜ s 2 s 2 ⎜ s 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ y y y i i i ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎠ ⎥⎦ ⎝
y a n g n i la in y a d a p a t d i d e k a t i d e n g a n :
s a 2
≅
1
∑ s
2
∆
∑
2 y i
i
2
1 x 1 a t a u s a ≅ i 2 a t a u s a ≅ w i x i 2 ∆ i ∆ i s y
x i
∑
( 3 1 )
i
S lo p e g r a fi k 1
Σ
s y i x i
Σ b =
Σ
2
2
s y i x i y i s y i
1
x i
Σ
2
s y i
x i
x i
=
Σ
2
2
Σ
x i y i 2
− Σ
s y i
y i 2
s y i
Σ
x i 2
s y i 2
⎛ x ⎞ x 1 Σ 2 Σ − ⎜ Σ i 2 ⎟ ⎜ s y ⎟ s y i s ⎝ i ⎠ 2 i 2 y i
2
s y i
1 s y i
2
s y i
Σ
Σ
2
s y i
Σ
b =
y i
Σ
2
2
s y i
Σ w i Σ w i x i y i − Σ w i y i Σ w i x i ∆
D e n g a n c a r a y a n g s a m a u n t u k s b m a k a d i p e r o l e h : s b 2 ≅
1
∆
∑ s
∑
1
1 1 1 a t a u s b ≅ 2 a t a u s b ≅ w i ∆ i ∆ i s y
2 y i
i
∑
( 3 2 )
i
d e n g a n ∆ = Σ w i Σ w i x i − ( Σ w i x i ) 2
2
U n t u k g e ja la y a n g m e n g i k u t i d i s t r i b u s i P o i s s o n m a k a s y = i
y i
( 3 2 )
m a k a : y = N s e h i n g g a s y = N ( B e v i n g to n , 2 0 0 3 ) .
1 5
D . C a r a K e r j a
P r o s e d u r P e rc o b a a n A y u n a n M a te m a ti s 1 .
M e n e t a p k a n k e d u d u k a n k a w a t p e n je p i t s e h i n g g a ja r a k s a m p a i p u s a t b o l a 7 0 c m
d a n
a tu r s im p a n g a n b o l a k e m u d i a n le p a s k a n a y u n a n . 2 .
M e n c a ta t w a k tu y a n g d ip e r lu k a n u n tu k 1 0 a y u n a n d e n g a n m e n e k a n s to p w a tc h p a d a s a a t m e le w a ti ti ti k k e s e im b a n g a n .
3 .
M e n g u la n g i l a n g k a h n o m e r 2 d e n g a n p a n ja n g t a l i 7 0 c m
s e b a n y a k 5 k a li
4 .
M e n g u l a n g i l a n g k a h n o m e r 2 d e n g a n p a n ja n g t a l i 5 9 c m , 5 0 c m , 4 5 c m , 4 0 c m , 3 5 c m
5 .
M e n g u l a n g i l a n g k a h n o m e r 2 d e n g a n p a n ja n g t a l i 7 0 c m , 6 0 c m , 5 0 c m , 4 0 c m , 3 0 c m
m a s in g -m a s in g s e b a n y a k 5 k a li
M e n g h i t u n g b e r a p a g g p a d a t e m p a t p e r c o b a a n
6 .
E . A n a l i s i s D a t a T a b e l . 1 . 1 l N
( c m )
1
t ( S )
0 .7
1 6 .6 3
n 1 0 1 .
T 6 6
T ^ 2 T ^ 3 2 .7 6 6
4 .5 9 9
g 9 .9 9
S T 0 .0 0 5
S g 0 .0 6
P e r i i o d e g e t t a r a a n ( T )
T =
t n
=
1 6 , 6 3 1 0
= 1 , 6 6 s
P e r i o d e g e t a r a a n k u a d r a t ( T 2 )
P e r i o d e g e t a r a a n p a n g k a t t i g a a ( T 3 )
P e r c e p a t a n g r a v i t a s i ( g )
g =
4 π 2 l T 2
=
4 π 2 ( 0 , 7 ) 2 , 7 6 6
= 9 , 9 9
N i l a i r a l a t ( S T ) = 0 , 0 0 5 d e t i k N i l a i r a l a t g r a v i t a s i ( S g )
1 6
2
⎛ ∂ g ⎞ S g = ⎜ S T ⎟ ⎝ ∂ T ⎠
⎛ ∂ ⎛ 4 π 2 l ⎞ ⎞ ⎟ S g = ⎜ ⎜ ∂ T ⎜⎜ T 2 ⎟⎟ S T ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ − 2 x 4 π 2 l ⎞ S g = ⎜⎜ S T ⎟⎟ 3 T ⎝ ⎠ S g =
8 π 2 l T 3
S T =
2
2
8 π 2 ( 0 , 7 ) 4 , 5 9 9
x 0 , 0 0 5 = 0 , 0 6
P e r c e p a t a n g r a v i t a s i ( g )
g = g ± S g = ( 9 , 9 9 ± 0 , 0 6 ) m / s 2
T a b e l . 1 . 2 N
5
r a t a - r a t a
l ( m ) t ( s ) )
n
T
T ^ 2
g
1 7 . 1 2 1 0 1 . 7 1 2 . 9 3 1
9 .4 2 9
1 6 . 7 4 1 0 1 . 6 7 2 . 8 0 2
9 .8 6 2
0 . 7 1 6 . 7 7 1 0 1 . 6 8 2 . 8 1 2
9 .8 2 6
1 6 . 7 5 1 0 1 . 6 8 2 . 8 0 6
9 .8 5 0
1 6 . 7 3 1 0 1 . 6 7 2 . 7 9 9
9 .8 7 3 9 .7 6 8 S g 0 .1 9 0
P e r i o d e g e t t a r a a n ( T )
T 1 =
t 1
T 2 =
t 2
T 3 =
t 3
T 4 =
t 4
n
n
n
n
=
1 7 , 1 2 1 0
=
1 6 , 7 4
=
1 6 , 7 7
=
1 6 , 7 5
1 0
1 0
1 0
= 1 , 7 1 s = 1 , 6 7 s = 1 , 6 8 s = 1 , 6 8 s
1 7
T 5 =
t 5 n
1 6 , 7 3
=
= 1 , 6 7 s
1 0
P e r c e p a t a n g r a v i t a s i r a t a - r a t a
∑ g
i
g =
=
i
N
g 1 + g 2 + g 3 + g 4 + g 5 N
=
9 , 4 2 9 + 9 , 8 6 2 + 9 , 8 2 6 + 9 , 8 5 0 + 9 , 8 7 3 5
= 9 , 7 6 8
N i l a i r a l a t
∑ ( δ g )
2
i
S g =
i
( N − 1 )
( g − g ) + ( g − g ) + ( g − g ) + ( g − g ) + ( g − g ) 2
S g =
2
1
2
2
2
3
2
4
5
( N − 1 ) ( 9 , 4
S g =
2 9 − 9 , 7 6 8 )
2 2 2 2 + ( 9 , 8 6 2 − 9 , 7 6 8 ) + ( 9 , 8 2 6 − 9 , 7 6 8 ) + ( 9 , 8 5 0 − 9 , 7 6 8 ) + ( 9 , 8 7 3 − 9 , 7 6 8 ) ( 5 − 1 )
2
S g = 0 , 1 9 0 P e r c e p a t a n g r a v i t a s i ( g )
g = g ± S g = ( 9 , 7 6 8 ± 0 , 1 9 0 ) m / s 2 T a b e l . 1 . 3 N
x i
5
j u u m l a h
x i i ^ 2
t ( s ) )
n
T
1 .1 4 2
y i
x i i y y i x i i ^ 2 y ^ ( y y i - y y ^ ) ^ ^ 2
y i ^ 2
1 .3 0 4
0 .4 5 6
0 .1 2 3
1 .2 5 4
0 .0 0 3
1 .7 0 1
.2 0 9
1 .4 6 2
0 .5 8 5
0 .1 6 0
1 .4 5 2
0 .0 0 0
2 .1 3 7
1 .2 5 3
1 .5 7 0
0 .7 0 7
0 .2 0 3
1 .6 5 0
0 .0 0 6
2 .4 6 5
.3 4 8
1 .8 1 7
0 .9 0 9
0 .2 5 0
1 .8 4 8
0 .0 0 1
3 .3 0 2
1 .5 0 2
2 .2 5 6
1 .3 3 1
0 .3 4 8
2 .2 0 5
0 .0 0 3
5 .0 9 0
3 . 9 8 8 7
1 . 0 8 3 1
0 .3 5
0 .1 2 3
1 1 .4 2
1 0
0 .4
0 .1 6
1 2 .0 9
1 0 1
0 .4 5
0 .2 0 3
1 2 .5 3
1 0
0 .5
0 .2 5
1 3 .4 8
1 0 1
0 .5 9
0 .3 4 8
1 5 .0 2
1 0
2 . 2 9
1 . . 0 8 8 3
6 . . 4 5 5 4 4 8 . . 4 0 0 8
r a t a - r a t a
0 . 0 1 3 1 4 . 6 9 4
1 .6 8 2
S l o p G r a f i k
a =
∑
N x i y i −
∑
∑
x i − ( 2
N
x i
∑ y
i
∑
x i )
2
=
5 x ( 3 , 9 7 8 ) − ( 2 , 2 9 ) x ( 8 , 4 0 8 ) 5 x ( 1 , 0 8 3 ) − ( 2 , 2 9 )
2
= 3 , 9 6 5
I n t e r s e p
∑ b =
∑ N ∑ 2
x i
y i −
∑
x i − ( 2
x i y i
∑
∑ x = 1 , 0 8 3 x ( 8 , 4
x i )
i
2
0 8 ) − 3 , 9 8 7 x ( 2 , 2 9 )
5 x ( 1 , 0 8 3 ) − ( 2 , 2 9 )
2
= − 0 , 1 3 4
1 8
N i l a i k o r e l a t i o n
R =
R =
∑
N
[ N ∑
2
x i
∑ x ) ( ∑ y ) − ( ∑ x ) ] [ N ∑ y − ( ∑ y ) ] x i y i − (
i
2
i
2
2 i
i
i
5 x ( 3 , 9 7 8 ) − ( 2 , 2 9 ) x ( 8 , 4 0 8 )
[ 5 x ( 1 , 0
][
8 3 ) − ( 2 , 2 9 ) 2 5 x ( 1 4 , 6 9 4 ) − ( 8 , 4 0 8 ) 2
]
= 0 , 9 9
M a k a n i l a i y = a x + b = 3 , 9 6 5 x - 0 , 1 3 4 G r a f ik h u b u n g a n
T ^ 2 ( s ^ 2 ) te r h a d a p
l (m )
2 . 5 0 0 y = 2 . 0 0 0
3 .9 6 4 6 x - 0 .1 3 4 R 2 =
0 .9 7 7 1
,
1 . 5 0 0
S e r ie s 1
1 . 0 0 0
L in e a r ( S e r ie s 1 )
0 . 5 0 0 0 . 0 0 0 0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
p a n ja n g
ta li, l(m
0 .5
0 .6
0 .7
)
P e r h i t u n g a n n i l a i ( S y ˆ ) 2
^ ⎛ ⎞ ⎜ y y − ∑ ⎜ i ⎟⎟ ⎝ ⎠ = 0 , 0 1 3 = 0 , 0 6 5 S yˆ = y − 2 5 − 2
P e r h i t u n g a n n i l a i ( S a ) :
S a = S yˆ
N
∑
N
x − ( 2 i
∑ x )
2
= 0 , 0 6 5
i
5 5 ( 1 , 0 8 3 ) − ( 2 , 2 9 )
2
= 0 , 3 5 0
P e r h i t u n g a n n i l a i ( S g )
2
⎛ ∂ ⎛ 4 π 2 ⎞ ⎞ ⎛ ∂ g ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ = S = ⎜ S ⎟ = ⎜ ⎜ g ∂ a ⎜ a ⎟ ⎟ ⎝ ∂ a a ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2
2
⎛ 8 π 2 ⎞ 8 π 2 ⎜ − ⎟ ( 0 , 3 5 0 ) = 0 , 8 8 0 S = a ⎟ ⎜ 2 2 ( 3 , 9 6 4 ) ⎝ a ⎠
P e r h i t u n g a n g r a v i t a s i :
g =
4 π 2 a
=
4 π 2 3 , 9 6 4
= 9 , 9 5 6
M a k a n i l a i g r a v i t a s i a d a l a h : g = g ± S g = ( 9 , 9 5 6 ± 0 , 8 8 0 ) m / s 2
1 9
T a b e l . 1 . 4 . 1 x i
0 . 7
t 7 6 6 6 6
1 1 1 1 1
( s ) ) .1 2 .7 4 .7 7 .7 5 .7 3
n 1 1 1 1
0 0 0 0
1 1 1 1
1 0
2 4 7 5
1 .6 7 3 T 1
r a t a - r a t a
T .7 1 .6 7 .6 7 .6 7
1 .6 8 2 2
2 .8 2 9 7 9 7 S T 1
0 .0 1 6 7 2 4
T a b e l . 1 . 4 . 2 x i
0 . 6
t ( s ) ) 1 6 .5 1 5 .5 1 5 .4 7 1 5 .5 1 5 .5 3
n 1 1 1 1
T 1 .6 5 1 .5 5 1 .5 4 7 1 .5 5
0 0 0 0
1 0
1 .5 5 3
r a t a - r a t a
T 2
1 .5 7 2 . 4 6 4 9
S T 2
0 .0 4 4 7 7 2
T a b e l . 1 . 4 . 3 x i
0 . 5
t 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1
( s ) ) .1 1 .1 3 .1 5 .0 9 .1 6
n 1 1 1 1
0 0 0 0
1 1 1 1
1 0
T .4 1 .4 1 .4 1 .4 0
1 3 5 9
1 .4 1 6
r a t a - r a t a
T 3
1 .4 1 2 8 1 .9 9 6 0 0 4
S T 3
0 .0 0 2 8 6 4
T a b e l . 1 . 4 . 4 x i
0 . 4
t 2 2 2 2
1 1 1 1 1
( s ) ) .5 9 .6 9 .6 1 .6 1 2 .6
n 1 1 1 1
0 0 0 0
1 1 1 1
1 0
T .2 5 .2 6 .2 6 .2 6
9 9 1 1
1 .2 6
r a t a - r a t a
T 4
1 .2 6 2 1 .5 9 2 6 4 4
S T 4
0 .0 0 4
T a b e l . 1 . 4 . 5
2 0
x i
t ( s ) ) 1 1 1 1
0 . 3
0 0 0 0
.9 .8 .8 .9
n
1 8 5 3
1 1 1 1
1 0 .9 5
0 0 0 0
1 1 1 1
1 0
T .0 9 .0 8 .0 8 .0 9
1 8 5 3
1 .0 9 5
r a t a - r a t a
T 5
1 .0 9 0 4 1 .1 8 8 9 7 2
S T 5
0 .0 0 3 9 7 5
T a b e l . 1 . 4 . 6 N
5
T i
S T i
x i
x i^ 2
y i
S y
1 .6 8 2
0 .0 1 7
0 .7
0 .4 9
2 .8 3 0
0 .0 5 6
1 .5 7 0
0 .0 4 5
0 .6
0 .3 6
2 .4 6 5
1 .4 1 3
0 .0 0 3
0 .5
0 .2 5
1 .2 6 2
0 .0 0 4
0 .4
1 .0 9 0
0 .0 0 4
0 .3
w ix iy i
w ix i
3 1 5 .9
6 2 5 .7
2 2 1 .1
0 .1 4 1
5 0 .6
7 4 .8
3 0 .4
1 .9 9 6
0 .0 0 8
1 5 2 7 4 .4
1 5 2 4 3 .9
0 .1 6
1 .5 9 3
0 .0 1 0
9 8 1 0 .7
0 .0 9
1 .1 8 9
0 .0 0 9
1 3 3 0 8 .0
Σ
w i
w iy i
w ix i^ 2
y i^ 2
w iy i^ 2
8 9 3 .8
1 5 4 .8
8 .0 0 8
2 5 2 9 .3
1 2 4 .7
1 8 .2
6 .0 7 6
3 0 7 .4
7 6 3 7 .2
3 0 4 8 7 .8
3 8 1 8 .6
3 .9 8 4
6 0 8 5 3 .8
6 2 5 0 .0
3 9 2 4 .3
1 5 6 2 5 .0
1 5 6 9 .7
2 .5 3 7
2 4 8 8 5 .1
4 7 4 6 .8
3 9 9 2 .4
1 5 8 2 2 .8
1 1 9 7 .7
1 .4 1 4
1 8 8 1 2 .9
1 0 . 0 7 7 2 3 8 8 7 7 5 5 9 . . 6 2 6 6 9 9 4 1 . . 2 1 5 8 8 0 5 5 . . 3 6 2 2 9 9 5 5 4 4 . . 1 6 7 7 5 9 9 . 0 1 0 7 7 3 8 8 8 . 4
∑
D e l t a ( Δ ) =
∑
w i
w i x i − ( 2
∑ w x )
2
i i
= ( 3 8 7 5 9 , 5 ) ( 1 5 8 0 5 , 3 ) − ( 1 5 8 0 5 , 3 ) = 1 2 1 6 7 7 6 0 2
S l o p g r a f i k
∑
a =
w i
∑ (3
a =
∑
w i x i y i − w i
∑
∑
∑ w y
w i x i
w i x i − ( 2
i i
∑ w x )
2
i i
8 7 5 9 , 6 ) ( 2 6 9 4 1 , 2 ) − 1 5 8 0 5 , 3 ( 6 2 9 5 4 , 1 ) = 4 , 0 8 5 ( 3 8 7 5 9 , 6 ) ( 6 7 5 9 , 0 ) − ( 1 5 8 0 5 , 3 ) 2
I n t e r s e p
∑ b = b =
(6
w i x i
∑
∑
w i
2
w i y i −
∑
∑
w i x i − ( 2
w i x i
∑
w i x i y i
∑ w x )
2
i i
7 5 9 , 0 ) ( 6 2 9 5 4 , 1 ) − 1 5 8 0 5 , 3 ( 2 6 9 4 1 , 2 ) = 0 , 0 2 5 ( 3 8 7 5 9 , 6 ) ( 6 7 5 9 , 0 ) − ( 1 5 8 0 5 , 3 ) 2
M a k a g a r i s l u r u s y = a x + b = 4 , 0 8 5 x + 0 , 0 2 5
2 1
G r a f i k h u b u n g a n a n t a r a T ^ 2 tt e r h a d a p l 3 . 0 0 0
y = 4 .0 8 4 9 x - 0 .0 2 5 3 2
R
2 . 5 0 0
= 0 .9 9 8 6
2 . 0 0 0 ,
S e r ie s 1
1 . 5 0 0
L i n e a r ( S e r ie s 1 )
1 . 0 0 0 0 . 5 0 0 0 . 0 0 0
0 .1
0
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
p a n j a n g t a l i , l ( m )
N i l a i r a l a t
1
S a =
∑ w = ∆
S b =
1
3 8 7 5 9 , 6 = 0 , 0 2 4 1 2 1 6 7 7 6 0
i
∑ w x ∆
2 i i
2
=
⎛ ∂ g ⎞ S g = ⎜ S a ⎟ = a ∂ ⎝ ⎠
6 7 5 9 , 0 = 0 , 0 5 6 1 2 1 6 7 7 6 0 2
⎛ ∂ ⎛ 4 π 2 ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ∂ a ⎜ a ⎟⎟ ⎟ = ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
2
⎛ 8 π 2 ⎞ 8 π 2 ⎜⎜ − 2 S a ⎟⎟ = ( 0 , 0 2 4 ) = 0 , 0 5 7 2 a ( 4 , 0 8 5 ) ⎝ ⎠
N i l a i g r a v i t a s i :
g =
4 π 2 a
=
4 π 2 4 , 0 8 5
= 9 , 7 6
M a k a g r a v i t a s i a d a l a h :
g = g ± S g = ( 9 , 7 6 ± 0 , 0 5 7 ) m / s 2
2 2
F . P e m b a h a s a n
S u a tu m e to d e p e n g u k u r a n y a n g d i l a k u k a n u n t u k m e n g e ta h u i g r a v it a s i y a n g t e r ja d i d i te m p a t k ita b e ra d a d a p a t d ila k u k a n d a la m
d e n g a n
m e n g g u n a k a n
b a n d u l y a n g
b ia s a k ita k e n a l
p e m b e l a ja r a n f i s i k a a d a l a h b a n d u l m a t e m a t i s . D a r i p e r c o b a a n y a n g
d ila b o ra to riu m
F is ik a
D a s a r U n iv e rs ita s A h m a d
D a h la n
y o g y a k a rta
b e s a r g r a v i t a s i d i t e m p a t t e r s e b u t y a i t u d e n g a n m e n g g u n a k a n p e r c o b a a n m e to d e
d id a p a tk a n
p e n g a m b ila n
s u a tu d a ta
n ila i g ra v ita s i y a n g y a n g
d ila k u k a n
d a p a t k ita
k e ta h u i
m e t o d e r e g r e s i . D a r i h a s i l
b e rb e d a -b e d a
d e n g a n
k a m i la k u k a n
y a n g
d is e b a b k a n
m e n g g a n t i p a n ja n g
ta li d a n
o l e h ta m p a
m e n g g a n t i p a n ja n g t a li t e r s e b u t . S e l i s ih n i l a i g r a v i t a s i t i d a k ja u h b e r b e d a s e h i n g g a g r a f i k y a n g d i p e r o l e h m e m ilik i n i la i k o r e la s i y a n g s a n g a t b a g u s s e h in g g a d i d a p a tk a n p e r c o b a a n b a n d u l m a t e m a t i s y a n g k i t a l a k u k a n s u d a h c u k u p b a i k u n t u k m e m b u k t i k a n n i l a i g r a v i t a s i d i la b o r a to r iu m . K a r e n a r a la t y a n g d i p r o l e h d a p a t d i k a ta k a n c u k u p b a ik k a r e n a n i la i r a la t y a n g d ip r o l e h tid a k t e r la lu b e s a r . D a ri h a s il p e n g a m a ta n
m a k a d a p a t d ip e r o le h
g ra fik
u n tu k
d a ta y a n g
m e n g g u n a k a n
r e g r e s i lin i e r b e r b o b o t m a u p u n r e g r e s i lin i e r ta m p a b o b o t s e p e r ti d i ta m p i lk a n p a d a g a m b a r d i b a w a h in i! G r a f ik h u b u n g a n T ^ 2 ( s ^ 2 ) t e r h a d a p l (m ) 2 . 5 0 0 y = 3 .9 6 4 6 x - 0 .1 3 4 2
R
2 . 0 0 0 ,
= 0 .9 7 7 1
1 . 5 0 0
S e r ie s 1
1 . 0 0 0
L i n e a r ( S e r ie s 1 )
0 . 5 0 0 0 . 0 0 0 0 .1
0
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
p a n ja n g ta li, l(m )
P e n e n tu a n g r a v ita s i m e la lu i p e n g a m a ta n y a n g d ila k u k a n p a d a b a n d u l m a te m a tis s a n g a t b e r p e n g a r u h
te rh a d a p
k e te litia n
p e n g a m a t
s e h in g g a
n ila i
ra la tn y a
tid a k
te rla lu
j a u h
m e n y im p a n g d e n g a n te o r i y a n g s e la m a in i k i ta k e n a l. S u d u t s im p a n g a n s a n g a t b e r p e n g a r u h te rh a d a p
a y u n a n
y a n g
k ita la k u k a n
s e b a b
ji k a s u d u t s i m p a n g a n n y a b e s a r m a k a ju m l a h
w a k t u a y u n a n y a n g d i p e r o l e h k e c il s e h i n g g a g r a v i ta s i le b i h k e c il.
2 3
G r a f ik h u b u n g a n a n t a r a T ^ 2 t e r h a d a p l 3 . 0 0 0
y = 4 .0 8 4 9 x - 0 .0 2 5 3 2
R
2 . 5 0 0
= 0 .9 9 8 6
2 . 0 0 0 ,
S e r ie s 1
1 . 5 0 0
L i n e a r ( S e r ie s 1 )
1 . 0 0 0 0 . 5 0 0 0 . 0 0 0 0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
p a n j a n g t a l i , l ( m )
g ra v ita s i s e h in g g a
y a n g
d ip e ro le h
m e m ilik i k e c e n d e ru n g a n
g r a fita s i d i la b o r a to r iu m
te rs e b u t c e n d e ru n g
y a n g
re la tif
s a m a
s a m a . D a ta y a n g
a ta u
d ip e ro le h
m ir ip , d a p a t
d i a n a lis is m e n g g u a k a n m e to d e r e g r e s i lin i e r b e r b o b o t d a n r e k r e s i lin i e r ta m p a b o b o t. D a ta y a n g d i a m b i l d i l a k u k a n p a d a p a n ja n g y a n g t e t a p d a n p a n ja n g y a n g d i u b a h - u b a h s e h i n g g a d a p a t d i p e r o l e h k e a k u r a ta n p e r h i tu n g a n y a n g d i p e r o l e h .
G . K e s i m p u l a n
D a r i d a ta p e n g a m a ta n m a k a d a p a t d is im p u l k a n s e b a g a i b e r ik u t : 1 .
N ila i g r a v ita s i u n tu k p e n g a m a ta n k e n d e r u n g s a m a
2 .
D a ta y a n g d ip e r o le h a d a la h : •
P e r c e p a t a n g r a v i t a s i ( g )
g = g ± S g = ( 9 , 9 9 ± 0 , 0 6 ) m / s 2 •
P e r c e p a t a n g r a v i t a s i ( g )
g = g ± S g = ( 9 , 7 6 8 ± 0 , 1 9 0 ) m / s 2
•
P e r c e p a t a n g r a v i t a s i ( g )
g = g ± S g = ( 9 , 9 5 6 ± 0 , 8 8 0 ) m / s 2 •
P e r c e p a t a n g r a v i t a s i ( g )
g = g ± S g = ( 9 , 7 6 ± 0 , 0 5 7 ) m / s 2
2 4
D a f t a r P u s t a k a
A n o n i m . 2 0 0 3 . B a h a n k u l i a h . Y o g y a k a r t a : w w w . B a n d u l _ M a t e m a t i s . c o m A n o n i m . 2 0 0 4 . A y u n a n S e d e r h a n a . J a k a r t a : D e p d i k n a s A n o n i m . 2 0 0 7 . E n s i k l o p e d i a I l m u P e n g e t a h u a n A l a m B e v in g to n
d a n
( F i s i k a ) . S e m a r a n g : A n e k a
R o b i n s o n . 2 0 0 3 . D a t a R e d u c t i o n a n d E r r o r
A n a ly s is
fo r
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S c i e n c e s . M c G r a w H i l l H e n d r a . 2 0 0 6 . B a n d u l M a t e m a t i s . S e m a r a n g : A n e k a I l m u . S u t r is n o . 1 9 9 7 .M e k a n ik a s e r i F is ik a D a s a r . B a n d u n g : I T B . Y a h y a . 2 0 0 5 . A y u n a n M a t e m a t i s . S o l o . S e m i n a r n a s i o n a l
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