UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA - ITEC FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA - FEM PROFESSOR: DANILO DE SOUZA BRAGA
BRUNO ALBERTO CARDOSO PIGNATARIO 201002140017 DANIEL FREITAS COELHO 201002140014
VI BRAÇÃ O FORÇADA EM UM A VI GA BI APOI APOI ADA COM 1 GR GRAU DE LI BERDADE BERDADE
Belém - 2015
1.
INTRODUÇÃO
Quando se modela um sistema de maquinas rotativas, o desbalanceamento surge como causa de vários problemas de manutenção. Tecnicamente é impossível uma máquina rotativa sem desbalanceamento, sendo evidente o entendimento da problemática para atenuação de seus efeitos Neste trabalho, para um sistema de viga bi-apoiada com motor em rotação desbalanceado, será determinada, experimentalmente e analiticamente, o amortecimento, rigidez e massa equivalentes do sistema e, com tais, a frequência natural de sistemas desse tipo com um grau de liberdade. Para o modelo matemático, solucionado analiticamente, foram feitas hipóteses simplificadoras, de que a excitação ocorre em apenas com 1 grau de liberdade e que a massa da viga tem influência na massa equivalente. O procedimento experimental e analítico será discutido nas seções subsequentes. 2.
OBJETIVOS Os objetivos do experimento realizado em laboratório, serão de:
3.
Determinar a amplitude da vibração gerada por desbalanceamento rotativo para diferentes rotações de um motor desbalanceado; Determinar o ângulo de fase para diferentes rotações de um motor desbalanceado; Determinar o amortecimento do sistema; Calcular analiticamente a amplitude e o ângulo de fase variando com a rotação e verificar erro com relação aos resultados experimentais.
MATERIAIS UTILIZADOS Os equipamentos utilizados para realizar o experimento são:
Bancada universal para teste de vibração (TecQuipment TM 16 N.S. 200); Motor elétrico (electro-craft corporation servo motor-tach E-58C6A) Lâmpada Estroboscópica (DAWE Tipo 1214B) Viga de aço de seção retangular Controlador de rotação (TecQuipment E-11 S.N. 079) Trena (precisão de 0,1 mm) e paquímetro (precisão de 0.05 mm) Balança (precisão de 0,001 kg) Micrômetro embutido na bancada (0,01 mm)
A bancada experimental é montada conforme a Figura 1 (b), já (a) apresenta a conexão da lâmpada estroboscopica com o sistema.
1
(a)
(b) ser ninrnsiubyhhhui huhuuhiiu
Figura 1. (a) Conexão do sistema com a lâmpada estroboscópica, (b) Configuração da bancada universal e materiais utilizados no experimento. 4.
METODOLOGIA
O experimento é primeiramente modelado matematicamente considerando as hipóteses simplificadores a fim de representar o modelo físico em questão, a Figura 2 apresenta o modelo físico e o modelo de parâmetros concentrados que foi usado na modelagem matemática, e a partir deste, determinando então a frequência natural e a razão de frequência analiticamente, para comparação com a experimental, cujo procedimento será agora descrito. Para determinar a frequência natural e razão de frequência experimentalmente, primeiramente a bancada é montada de forma a ter-se uma viga bi-apoiada com um motor desbalanceado e massa conhecida preso no seu centro. Uma fonte de controle de rotação é ligada ao motor e um sistema elétrico que liga a viga em questão em um micrometro, que funciona também como interruptor, é utilizado para que a lâmpada estroboscópica pisque na mesma frequência de oscilação do sistema. Isto é, conforme a viga vibra com a variação da rotação do motor, o contato abre e fecha, como o disco preso no eixo do motor tem uma marcação angular, ao se aproximar a luz estroboscópica o ângulo de fase em questão será mostrado. E a distância de contato é responsável por mostrar a amplitude de vibração do sistema. Se a resposta de vibração tem a mesma característica da força de excitação, ou seja, mesma frequência, com uma defasagem devido a inercia de resposta do sistema. Pode-se afirmar então que o flash da lâmpada está aproximadamente na mesma frequência, porém com um ângulo de atraso em relação a entrada.
Figura 2. Modelagem matemática do sistema em questão.
2
5.
FUNDAMENTAÇÃO TEORICA
5.1 Massa equivalente de uma viga bi-apoiada Segundo Rao (2004), em um sistema composto de vários elementos com massa, a massa equivalente será a soma das várias massas em suas contribuições efetivas para a inercia do sistema. Isso é, no caso estudado, deve-se considerar a massa do motor e parte da massa da viga usada. A massa efetiva da viga pode ser deduzida a partir da análise de qualquer ponto infinitesimal desta, de forma que a energia cinética para este ponto é dada por:
= 1 ̇
(1)
Se a densidade da viga não varia no comprimento, esta tem um comportamento linear, sendo então:
=
(2)
Se a Eq. 2 for substituída na Eq. 1 e a integração for feita no intervalo de 0 a L, e aplicando a relação de simetria, obtém-se:
= 2∫/ 1 ̇ ∴ = ∫/ ̇
(3)
Relacionando os deslocamentos estáticos e dinâmicos tem-se:
= ∆ ∆/
∆ ∴ = ∆/
(4)
A derivada do deslocamento no tempo traduz a velocidade em qualquer ponto da vida como:
∆ ̇ ̇ = ∆/
(5)
A substituição da Eq. 5 na equação da energia cinética resulta em:
= ∆/ ̇ ∫/ ∆ (6) Onde ∆ é a equaçao da linha elastica e ∆/2 é a equaçao da flexa maxima para a viga bi-
apoiada. Com essas relações estipuladas do conhecimento em mecânica dos sólidos, obtém-se:
17 = 35 6 ̇
(7)
Substituindo a equação da energia cinética da viga na equação de energia cinética do sistema temse a massa equivalente total a ser usada neste problema:
1 ̇ = 1 ̇ 17 ̇ 35 = 1735
(8) (9)
3
5.2 Rigidez de uma viga bi-apoiada Para obter-se a rigidez de uma viga bi-apoiada com carregamento central, parte-se do pressuposto que a lei de Hooke é valide, ou seja, o deslocamento da viga é proporcional a força aplicada, sendo então o maior valor da flexa da viga o ponto onde o carregamento é aplicado. Desta forma:
=
(10)
A análise do momento fletor na viga mostra que:
= Se ≤ ≤ : = −
(11)
(12)
Já a equação da linha elástica é dada por:
. =
(13)
Substituindo o momento na equação da linha elástica e solucionando a equação diferencial obtém-se:
.. = 1 1
(14)
As constantes C1 e C2 são determinadas a partir das condições de contorno do problema, logo:
= → = 0 =0 → 0=0 A solução da equação pode ser então expressa, em x = L/2, por:
= 48.
(15)
E a rigidez equivalente deste modelo é dado por:
= 48.
(16)
5.3 Vibração forçada e desbalanceamento rotativo Dá figura 1 tem-se o modelo físico construído para simular um grau de liberdade do sistema estudado, com vibração forçada e amortecida histereticamente. A massa equivalente, a rigidez equivalente e o amortecimento equivalente se relacionam com a força excitadora através da segunda lei de Newton pela Eq. (17) abaixo:
̈ ̇ =
(17) 4
A equação linear ordinária de segunda ordem tem a forma homogênea e particular expressas por:
= ℎ
(18)
Para uma força harmônica externa aplicada, o sistema irá responder da mesma forma, tal que:
= sin (19) = sin (20) Os valores de Xo e são a amplitude e a fase de resposta. A equação do movimento trata Xo como:
= √ 1−/+ = −+
(21)
=tan−1 1− =tan−1 (−)
(22)
E a fase como:
Na região de ressonância a razão de frequências, r, é igual a um, logo:
ξ = /
(23)
E o amortecimento equivalente pode ser calculado como:
ceq = 2ξ√
(24)
No caso especifico do desbalanceamento rotativo a força centrifuga é a responsável por excitar o sistema, de forma a causar uma excentricidade, que é a distância da massa desbalanceadora para o centro de rotação a uma determinada frequência de rotação. Logo, a equação para a força torna-se:
= sin
(25)
Substituindo este valor na equação do movimento, Eq. (17), e resolvendo as soluções homogêneas e particulares, tem-se que:
/ = √ 1−+
e se U = me *e , = √ 1− +
O fator de amplificação é então definido com a resposta do sistema a excitação, com relação a frequência de vibração. Dado pela equação:
= √ 1−1+ = /
(26)
Todos esses parâmetros de resposta harmônica forçada geraram gráficos que caracterizam a resposta do sistema a vibração, de acordo com seu amortecimento, excitação e ângulo de resposta. Tais comportamentos podem ser evidenciados no gráfico da figura 3. A análise deste gráfico permite a comparação do sistema a comportamentos de acordo com a frequência de trabalho, para então, nortear projetos e entendimento do comportamento do sistema nas operações de trabalho. 5
Figura 3. Comportamento de Xo e com a razão de frequência. Rao (2004) 6.
Tratamento de Dados Experimentais
6.1 Erros em resultados Erros existem no momento em que são adotadas hipóteses simplificadoras para um modelo físico. Seja utilizando de métodos analíticos ou numéricos, estas hipóteses devem ser feitas para que se possam solucionar as equações características do problema. A partir do momento em que se calcula um resultado por aproximação, é preciso saber como estimar e delimitar o erro cometido nessa aproximação. O erro relativo ( ) pode relacionar os resultados experimentais ( ) e resultados analíticos ( ), por exemplo, em termos de porcentagem dos resultados experimentais, o que é descrito pela Eq. (23).
= |−|
(23)
7 DISCUSSÕES E RESULTADOS 7.1 Resultados experimentais Os dados obtidos experimentalmente de amplitude de vibração e ângulo de fase variando com a rotação do motor desbalanceado podem ser visualizados na Tabela 1. Como pode-se visualizar na tabela, a rotação que apresenta maior amplitude e ângulo de fase é 875 RPM e é, portanto, a frequência natural do sistema.
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Tabela 1. Amplitude e ângulo de fase para diferentes valores de rotação. Rotação (RPM) 725 750 775 800 825 850 875 900 925 950 975
Amplitude (mm) 0,16 0,25 0,28 0,4 0,51 2,31 7,33 0,7 0,52 0,42 0,34
Ângulo de fase (graus) -50 -10 -20 -20 -20 -10 90 150 160 170 170
7.2 Resultados analíticos Deve-se calcular o valor de frequência natural de maneira analítica e, portanto deve-se conhecer a rigidez equivalente e a massa equivalente do sistema. Onde a massa equivalente é a soma de todos os componentes do motor com a massa efetiva da viga que pode ser obtido pela Eq. (9), a rigidez equivalente do sistema é igual a rigidez da viga, que pode ser obtida pela Eq. (16). Considerando a viga feita de aço com módulo de elasticidade igual a 210 GPa, seção transversal retangular de 0,0254m x 0,0127m, comprimento de 0,79 m e massa de 1,9877 kg. Além do motor desbalanceado, de 4,978 kg, que tem massa desbalanceadora de 0,011 kg e a excentricidade de 0,0376 m. A partir destes parâmetros podemos calcular frequência natural analítica do sistema. A frequência natural obtida analiticamente é de 1166,2 RPM, ou 122,12 rad/s, o que mostra um erro relativo de 33,28% comparado com a frequência obtida experimentalmente. Isso se deve à erros relativos ao experimento como de o seletor de rotação não estar calibrado, e não se pode medir precisamente a frequência do motor. Ainda, podem ter havido erros relativos à medição das dimensões da barra e massa dos componentes do experimento. A partir dos dados obtidos experimentalmente (ver Tabela 1), pode-se calcular o fator de amortecimento do sistema que é amortecimento histerético. Este cálculo pode ser realizado como mostra a Eq. (23) para uma amplitude de força relativa que utiliza a frequência natural calculada. O valor obtido de fator de amortecimento é 0,0027. Após, utilizando a Eq. (24), pode-se calcular o amortecimento equivalente do sistema, onde obtém-se 3,8903 Ns/m. Os valores de amplitude e ângulo de fase são então calculados e adequados graficamente para visualizar sua variação conforme a razão de frequências (ver Figura 4). Para o cálculo analítico, as razões de frequências calculadas levam em consideração a frequência natural calculada analiticamente, por isso o pico na ressonância coincide com o resultado experimental. Pode-se visualizar que a amplitude na ressonância obtida analiticamente é igual a 0,0122 m, o resultado obtido experimentalmente foi 0,0073. Um erro relativo igual a 67,12% do resultado analítico. Isto pode se dar pelo fato de o domínio da frequência experimental não for muito bem
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discretizado próximo à ressonância, caso o experimento tivesse mais amostras, era possível um resultado mais próximo. No ângulo de fase houveram pequenas discrepâncias, porém para a menor razão de frequência obteve-se um erro próximo à 100%, o que pode ter sido por erro na leitura do transferidor fixo no motor.
Figura 4. Amplitude e ângulo de fase para diferentes razões de frequência.
8 CONCLUSÕES Muitas são as aplicações de sistemas onde podemos modelá-los por parâmetros concentrados, onde temos um sistema de vibração forçada, com 1 GDL e com amortecimento. Neste trabalho foi descrita a obtenção da amplitude de vibração e ângulo de fase de um sistema submetido à uma força harmônica devido ao desbalanceamento de um motor que é fixo em uma viga biapoiada. Foram determinados o valor da frequência natural, rigidez, massa e amortecimento equivalente em que o último é amortecimento histerético ou estrutural. Como o amortecimento é baixo, têm-se altos valores de amplitude, o que pode ser reduzido com a atribuição de um elemento de amortecimento viscoso ou viscoelástico. Observa-se que o erro relativo encontrado para o valor da frequência natural foi em torno de 30%, o que é bem considerável. Este erro alto pode ser devido ao seletor de rotação ser descalibrado, ou então à medição imprecisa das dimensões e massas relativas ao sistema. Para a amplitude que é calculada, obteve-se um erro relativo maior que 60%. Este pode ser devido ao domínio da frequência experimental não ter sido bem discretizado, já que para um número maior de amostras é possível que o erro diminua. Também, este erro é referente à forma como foi medido as amplitudes, de forma, a inferir erros como paralaxe e mal contato do circuito elétrico. Para o ângulo de fase obteve-se um erro máximo de 50% para a menor frequência de rotação atribuída, o que pode ser explicado também por paralaxe e mal contato do circuito elétrico, já que para rotações pequenas era mais difícil visualizar o ângulo no transferidor com a lâmpada estroboscopica. 8
A prática experimental de vibração forçada em uma viga biapoiada que foi apresentada se mostra como um procedimento experimental importante para aprofundar os conceitos teóricos no sentido da determinação de parâmetros como frequência natural, amortecimento, rigidez, massa etc. E ainda, a monitoração de equipamentos submetidos a este tipo de regime (desbalanceamento) pode ser feita se utilizando destes conhecimentos de vibrações mecânicas.
9 REFERÊNCIAS Flitzgerard, R. Mechanics of Materials. Mass.: Addison-Wesley. 1982. Rao, S. S. Mechanical Vibrations. Pearson Prentice Hall. 4 th Ed. United States of America. 2004. Soeiro, N. S. Curso de fundamentos de vibração. Universidade Federal do Pará, 2008.
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