rangkuman riset operasi edit

RISET OPERASI Ada beberapa definisi mengenai Riset Operasi (RO). Dasar dari berbagai macam definisi dilator belakangi bahwa ahli Riset Operasi dari berbagai disiplin ilmu seperti teknik, bisnis, matematik, dll. mendefinisikan RO adalah Operational Operational research Society Of Great Britain Britain mendefinisikan aplikasi metode ilmiah dalam masalah yang kompleks dan system manajemen besar atas manusia, mesin, material, dan dana dalam industry, bisnis, pemerintah dan militer. mendefinisi nisikan kan RO adalah adalah Operati Operational onal research research Society Society Of America America mendefi berken berkenaan aan dengan dengan pengamb pengambilan ilan keputusa keputusan n secara secara ilmiah ilmiah,, bagaima bagaimana na membuat membuat model terbaik dam membutuhkan alokasi sumber daya yang terbatas. Sedara lebih umum RO dapat didifinisikan senagai model kwantitatif atau matematik yang digunakan dalam pengambilan keputusan managemen. Riset Riset operasi operasi adalah adalah metode metode untuk untuk memform memformulas ulasikan ikan dan merumu merumuskan skan permasalahan sehari-hari mengenai bisnis,ekonomi,sosial maupun bidang lainya dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal.

Komputer Dan Riset Operasi Pengg Pengguna unaan an komput komputer er dalam dalam RO seca secara ra terus terus mener menerus us menga mengalam lamii peningkatan terutama dalam menghadapi persaingan lingkungan internasional dan masa masala lah h prod produk ukti tivi vita tass . Tanp Tanpaa bant bantua uan n comp comput uter er sang sangat at must mustah ahil il untu untuk k menyelesaikan masalah yang cukup besar.

Pendalaman Matematis Bagia agian n

terp terpen enti ting ng

Rise Risett

Oper Operas asii

perm permasa asalah lahan an

sehar sehari-h i-har arii

kedala kedalam m

adal adalah ah

bagi bagian an

mener enerje jema mahk hkan an

model model mate matemat matis. is. Fakt Faktoror-fak faktor tor yang yang

memp mempeng engar aruhi uhi pemode pemodela lan n harus harus disede disederha rhanak nakan an dan apabi apabila la ada data data yang yang kurang, kekurangan tersebut dapat diasumsikan atau diisi dengan pendekatan yang Rangkuman Riset Operasi

1

bers bersifa ifatt rasion rasional. al. Dala Dalam m Riset Riset Opera Operasi si diper diperluk lukan an dan memu memuda dahka hkan n kita kita mendapa mendapatkan tkan hasil, hasil, kita dapat dapat menggun menggunakan akan kompute komputer. r. Softwar Softwaree yang yang dapat dapat digunakan antara lain : LINDO ( Linier Interactive And Discreate Optimizer ).

Proses Pembuatan Model Riset Operasi Langkah-langkah dalam pembuatan model matematika sebagai berikut : 1.

Mend Mendef efin inis isik ikan an masa masala lah h yang yang seda sedang ng diha dihada dapi pi.. Lang Langka kah h ini ini pent pentin ing g dan dan dapat melibatkan manajemen maupun anggota organisasi lainya.

2.

Memform Memformuli ulisasi sasikan kan model. model. Mod Model el adalah adalah gambara gambaran n abstrak abstrak dari masalah masalah yang yang sedang sedang dihadapi dihadapi.. Ketepat Ketepatan an dalam dalam memform memformulas ulasika ikan n model model sangat sangat dite ditent ntuk ukan an oleh oleh asum asumsi si yang yang digu diguna naka kan. n. Asum Asumsi si haru haruss real realit itas as dan dan merupakan factor kesulitan dalam menbuat model. Komponen utama dalam memformulasikan model adalah sebagai berikut :  Variabel Keputusan ( Decision Variabel )  Tujuan ( Objektive )  Kendala ( Consttaint )

3.

Meng Menguk ukur ur Vali Validi dita tass

4.

Impl Implem emen enta tasi si Kepu Keputu tusa san n

METODE SIMPLEKS Rangkuman Riset Operasi

2

Sala Salah h satu satu tekni teknik k penent penentuan uan solusi solusi optim optimal al yang yang digun digunak akan an dalam dalam pem pemrog rogram raman an lini linier er adala adalah h meto metode de simple simpleks. ks.

Pene Penentu ntuan an solusi solusi optim optimal al

menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan dengan cara perhitu perhitungan ngan iterati iteratif. f. Sehingg Sehinggaa penentua penentuan n solusi solusi optimal optimal dengan dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1) Ada beberapa beberapa istilah istilah yang yang sangat sangat sering sering digunaka digunakan n dalam dalam metode metode simplek simpleks, s, diantaranya : 1.

Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu

tergantung dari nilai tabel sebelumnya. 2.

Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada

sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan. 3.

merupa paka kan n vari variab abel el yang yang nila nilain inya ya buka bukan n nol nol pada pada Variabel Variabel basis basis meru sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi fungsi kendala kendala menggunaka menggunakan n

pertida pertidaksam ksamaan aan ≥ atau atau =). Secara Secara umum, umum,

jumlah jumlah variabel variabel basis basis selalu selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas pembatas (tanpa (tanpa fungsi non negatif). 4.

Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang

masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. 5.

Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik

kendala untuk mengkonversi mengkonversikan kan pertidaksamaan pertidaksamaan ≤ menjadi menjadi persamaan persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis. 6.

adalah ah vari variab abel el yang yang diku dikura rang ngka kan n Variabel Variabel surplus surplus adal matemat matematik ik kendala kendala untuk untuk mengkon mengkonvers versika ikan n

Rangkuman Riset Operasi

dari dari mode modell

pertidak pertidaksama samaan an ≥ menjadi menjadi

3

persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis. 7.

Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik

kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas. 8.

Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk.

Koefi oefisi sien en pada pada kolo kolom m ini ini akn akn menj menjad adii pem pembagi bagi nila nilaii kana kanan n untu untuk k menentukan baris pivot (baris kerja). 9.

Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis

yang memuat variabel keluar. 10.

adalah ah elem elemen en yang yang terl terlet etak ak pada pada Elem Elemen en pivo pivott (ele (eleme men n kerj kerja) a) adal perpo perpoton tongan gan kolom kolom dan baris baris pivot. pivot. Elem Elemen en pivot pivot akan akan menja menjadi di dasar dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11.

adalah variabe variabell yang yang terpilih terpilih untuk untuk menjadi menjadi variabel variabel Variabel Variabel masuk masuk adalah basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12.

Variabel Variabel keluar keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada

iterasi berikutnya berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.  Contoh soal :

Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks : Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3

 Kendala :

x1 + x2 + 2x3 ≤ 2 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3 Rangkuman Riset Operasi

4

7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8 x1,x2,x3 ≥ 0

Penyelesaian :  Penyelesaian

Bentuk bakunya adalah : Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 atau z - 8 x1 - 9 x2 - 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 = 0

 Kendala :

x1 + x2 + 2x3 + s1 = 2 2x1 + 3x2 + 4x3 + s2 = 3 7x1 + 6x2 + 2x3 + s3 = 8 x1,x2,x3 ,s1 , s2 , s3 ≥ 0

 Solusi / table awal simpleks :

VB

X1

X2

X3

S1

S2

S3

NK

Z S1 S2

-8 1 2

-9 1 3

-4 2 4

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0 2 3

S3

7

6

2

0

0

1

8

Rasio

Karena nilai nilai negative terbesar terbesar ada pada kolom X2, maka kolom X2 adalah kolom pivot dan X2 adalah variabel variabel masuk. Rasio Rasio pembagian pembagian nilai kanan kanan dengan kolom pivot terkecil terkecil adalah 1 bersesuaian bersesuaian dengan baris s2, maka baris s2 adalah baris pivot dan s2 adalah varisbel keluar. Elemen pivot adalah 3.

VB

X1

X2

X3

S1

S2

S3

NK

Rasio

Z S1 S2 S3

-8 1 2 7

-9 1 3 6

-4 2 4 2

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 2 3 8

2 1 8/6


5

Iterasi 1 Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris pivot baru (baris x2). Semua nilai pada baris s2 pada tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot). VB Z S1 x2 S3

X1

X2

X3

S1

S2

S3

NK

2/3

1

4/3

0

1 /3

0

1

Rasio

Perhitungan nilai barisnya : Baris z : -8 -9 ( 2/3 -2

-9

-4

0

0

0

0

1

4/3

0

1/3

0

1) -

8

0

3

0

9

0

Baris s1 : 1 1 (2/3 1/3

1

2

1

0

0

2

1

4/3

0

1/3

0

1)-

0

2/3

1

-1/3

0

1

6

2

0

0

1

8

1

4/3

0

1/3

0

1)-

0

-6

0

-2

1

2

Baris s3 : 7 6 ( 2/3 3

Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya kita periksa apakah tabel sudah optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x1 masih negatif, maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel di bawah ini : VB

X1

X2

X3

S1

S2

S3

NK

Rasio

Z S1 X2 S3

-2 1/3 2/3 3

0 0 1 0

8 2/3 4/3 -6

0 1 0 0

3 -1/3 1/3 -2

0 0 0 1

9 1 1 2

3 3/2 2/3


6

Variabel masuk dengan demikian adalah X1 dan variabel keluar adalah S3 . Hasil perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut : Iterasi 2 : VB Z S1 X2 X1

X1 0 0 0 1

X2 0 0 1 0

X3 4 4/3 8/3 -2

S1 0 1 0 0

S2 5/3 -1/9 7/9 -2/3

S3 2/3 -1/9 -2/9 1/3

NK 31/3 7/9 5/9 2/3

Rasio

Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan ! Perhitungan Perhitungan dalam simpleks simpleks menuntut menuntut ketelitian ketelitian tinggi, khususnya khususnya jika jika angka angka yang yang digunaka digunakan n adalah adalah pecahan. pecahan. Pembula Pembulatan tan harus harus diperhat diperhatikan ikan dengan dengan baik. Disarankan jangan menggunakan bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti jika menggunakan bilangan pecahan. Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih panj panjang ang atau atau bahkan bahkan tidak tidak seles selesai ai karena karena ketid ketidakt akteli elitia tian n dala dalam m mela melakuk kukan an pembulatan. Perhi erhitu tung ngan an

iter iterat atif if

dala dalam m

sim simplek plekss

pada pada

dasa dasarn rny ya

merup erupak akan an

pemer pemeriksa iksaan an satu satu per satu titik-t titik-titi itik k ekstrim ekstrim layak layak pada daerah daerah penyele penyelesaia saian. n. Pemeriksaan Pemeriksaan dimulai dari kondisi nol (dimana semua aktivitas/variabel aktivitas/variabel keputusan bernilai nol). Jika titik ekstrim berjumlah n, kemungkinan terburuknya kita akan melakukan perhitungan iteratif sebanyak n kali.

 Contoh soal :

Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut : Minimasi : Z = 6X1 + 7,5X2 Dengan pembatas : 7X1 + 3X2 ≥ 210 6X1 + 12X2 ≥ 180 4X2 ≥ 120 X1, X2 ≥ 0


7

Carilah harga X1 dan X2 ?



Jawab : Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG – M), hal ini dikarena dikarenakan kan pada kasus ini pertidk pertidk samaan samaan pembata pembatasny snyaa menggun menggunakan akan ≥ (lebih dari sama dengan). Persamaan Tujuan : Z - 6x1 - 7,5X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 Baris 0 Persamaan Kendala : 7x1 + 3x2 - S1 +A1 = 210 Baris 1 6x1 + 12x2 - S2 +A2 = 180 Baris 2 4x2 - S3 + A3 = 120 Baris 3 Bagi kendala pertidaksamaan pertidaksamaan jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkan pada kendala pertidaksamaan pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan persamaan (=) persamaan diatas diperoleh karena tanda ≥ harus mengurangi variable surplus. Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi : Z = 6x1 + 7,5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3

Table Table simple simplex x awal awal dibent dibentuk uk den dengan gan A1, A2, dan A3 sebagai variable basis, seperti table berikut :

Basis Z

X1

X2

S1

S2

S3

A1

A2

A3

NK

13M-6 19M-7,5 -M -M

-M

0

0

0

51 0M

RASIO

210 : 3 = 70

A1

7

3

-1

0

0

1

0

0

2 10

A2

6

12

0

-1

0

0

1

0

180 180 : 12 = 15

A3

0

4

0

0

-1

0

0

1

1 20

120 : 4 = 30

Dari Dari table table diata diatass kita kita ketah ketahui ui bahwa bahwa semua semua BFS BFS belum belum optim optimal al.. Hal Hal ini ini dikarenakan seluruh NBV masih mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien positif yang paling besar, dan A3 menjadi Leaving Variable. Rangkuman Riset Operasi

8

Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio paling kecil.

Langkah-langkah Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :

ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 2 ½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0 Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 1 11

/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2= 165

ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 3 -2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60

Konversi bentuk standard iterasi Pertama :

Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5 11

/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2 = 165

-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60 ½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15

Tabel Iterasi Pertama

Basis

X1

X2

S1

Z

-13/2M-6

0

0

A1

11

/2

0

0

A3

-2

0

0


S2

S3

A1

/12 - 15/24 -M

0

7

¼

1

/3

1

A2

A3

/24 - M

0

1

NK 225M – 112,5

0

1

- /4

0

1 65

-1

0

-1

1

60

/3

RASIO * 165 : 5,5 = 30 *

9

X2

½

1

0

-1

/12

METODE GRAFIK Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dima dimana na

hany hanyaa

per perma masa sala laha han n

terd terdap apat at ters terseb ebut ut,,

dua dua

vari variab abel el

lang langka kah h

kepu keputu tusa san. n.

pert pertam amaa

yang yang

Untuk ntuk haru haruss

meny enyeles elesai aika kan n

dila dilaku kuka kan n

adal adalah ah

memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Contoh : Peru Perusa saha haan an Kris Krisna na Furn Furnit itur uree yang yang akan akan memb membua uatt meja meja dan dan kurs kursi. i. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-. Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja Rangkuman Riset Operasi

10

dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adala adalah h 100 jam per mingg minggu. u. Bera Berapa pa jumla jumlah h meja meja dan kursi kursi yang yang sebaik sebaikny nyaa diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum? Dari Dari kasus kasus di atas atas dapat dapat diket diketahu ahuii bahwa bahwa tujua tujuan n perus perusah ahaan aan adala adalah h mema memaks ksim imum umka kan n

prof profit it..

Seda Sedang ngka kan n

kend kendal alaa

peru perusa saha haan an ters terseb ebut ut adal adalah ah

terba terbata tasny snyaa waktu waktu yang yang terse tersedia dia untuk untuk pemb pembuat uatan an dan penge pengecat catan. an. Apabil Apabilaa permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut:

Pembuatan Pengecatan Profit per Unit

Jam kerja untuk membuat 1 unit

Total waktu

produk

tersedia per

Meja

Kursi

4 2 7

2 1 5

minggu 24 0 10 0

Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam dalam rangka rangka memaksi memaksimum mumkan kan profit, profit, perusaha perusahaan an harus harus memutus memutuskan kan berapa berapa jumlah jumlah meja dan kursi yang sebaiknya sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2). 1. Fungs ungsii Tu Tujuan uan Profit = ($ 7 x jml meja yang diproduksi) + ($ 5 x jml kursi yang diproduksi) Secara matematis dapat ditulis : Maksimisasi : Z = 7 X 1 + 5 X2

2. Fungs ungsii Kend Kendal alaa •

Kendala : Waktu pembuatan

1 unit meja memerlukan 4 jam untuk pembuatan

-> 4 X1

1 unit kursi memerlukan 3 jam untuk pembuatan

-> 3 X2

Total waktu yang tersedia per minggu untuk pembuatan

-> 240 Jam

Dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis •

-> 4 X1 + 3 X2

240

Kendala : Waktu pengecatan

1 unit meja memerlukan 2 jam untuk pengecatan Rangkuman Riset Operasi

-> 2 X1 11

1 unit kursi memerlukan 1 jam untuk pengecatan

-> X2

Total waktu yang tersedia per minggu untuk pengecatan

-> 100 Jam

Dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis

-> 2 X1 + X2

100

Formulasi masalah secara lengkap : Fungsi Tujuan

: Maks. Z = 7 X1 + 5 X2

Fungsi Kendala :

4 X1 + 3 X2 ≤ 240 2 X1 +

X2

≤

100

X1 , X2

≥

0

(kendala non-negatif)

Sete Setela lah h form formula ulasi si lengk lengkap apny nyaa dibua dibuat, t, maka maka Kasus Kasus Kris Krisna na Furni Furnitu ture re tersebu tersebutt akan diseles diselesaika aikan n dengan dengan metode metode grafik. grafik. Keterba Keterbatasa tasan n metode metode grafik grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu koordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan. Langk Langkah ah perta pertama ma dalam dalam peny penyel elesa esaian ian denga dengan n meto metode de grafi grafik k adala adalah h menggam menggambark barkan an fungsi fungsi kendala kendalanya nya.. Untuk Untuk menggam menggambark barkan an kendala kendala pertama pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan pertidaksamaan menjadi tanda persamaan persamaan seperti berikut. 4 X1 + 3 X2 = 240

Untuk menggambarkan menggambarkan fungsi linear, maka cari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat X1 = 0.

Kendala I : 4 X1 + 3 X2 = 240 memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 Rangkuman Riset Operasi

12

4 X1 + 0 = 240 X1 = 240 / 4 X1 = 60. memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0 0 + 3 X2 = 240 X2 = 240/3 X2 = 80 Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 80).

Kendala II : 2 X1 + 1 X2 = 100 memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 2 X1 + 0 = 100 X1 = 100/2 X1 = 50 memotong sumbu X2 pada saat X1 =0 0 + X2 = 100 X2 = 100 Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 100).


13

Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi 2 X1 + 1 X2 = 100

->

X2 = 100 - 2 X1

4 X1 + 3 X2 = 240

X2 = 100 - 2 X1

4 X1 + 3 (100 - 2 X 1) = 240

X2 = 100 - 2 * 30

4 X1 + 300 - 6 X1 = 240 - 2 X1 = 240 - 300

X2 = 100 - 60 X2 = 40

- 2 X1 = - 60 X1 = -60/-2 = 30. Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40). Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala. Feasible Feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0; 80), B (30; 40), dan C (60; 0).

Untuk menentukan menentukan solusi yang optimal, optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu 11. dengan menggunakan garis profit (iso profit line) 22. dengan titik sudut (corner point)


14

Peny Penyel elesa esaia ian n denga dengan n mengg mengguna unakan kan garis garis profit profit adala adalah h penye penyele lesai saian an dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada pada area area laya layak k (feasi (feasibl blee regio region). n). Untuk Untuk mengg menggam amba barka rkan n garis garis profi profit, t, kita kita mengganti mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien X1) dan 5 (koefisi (koefisien en X2) adalah adalah 35. Sehingg Sehinggaa fungsi tujuan tujuan menjadi menjadi 35 = 7 X1 + 5 X2. Garis Garis ini akan memoton memotong g sumbu sumbu X1 pada titik titik (5, 0) dan memotong memotong sumbu X2 pada titik (0, 7).

Iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan dan kenda kendala la II (kare (karena na titi titik k B merup merupak akan an perpot perpotong ongan an antar antaraa kendal kendalaa I dan dan kendala II). Dengan menggunakan eliminiasi eliminiasi atau subustitusi subustitusi diperoleh nilai X1 = 30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa bahwa keputusa keputusan n perusaha perusahaan an yang yang akan akan memberi memberikan kan profit profit maksim maksimal al adalah adalah memprod memproduksi uksi X1 seban sebanya yak k 30 unit, unit, X2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410. Rangkuman Riset Operasi

15

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0). Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0. Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400. Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410. Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350. Kare Karena na keun keuntu tung ngan an tert tertin ingg ggii jatu jatuh h pada pada titi titik k B, maka maka seba sebaik ikny nyaa perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar 410.


16

LINEAR PROGRAMMING SEJARAH

Linea inearr

Prog Progra ram mming ming pert pertam amaa

kali kali dice dicetu tusk skan an oleh oleh seor seoran ang g

ahli ahli

matematika matematika asal Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam bukunya yang berjudul ”MATHEMATICAL METHODS IN THE ORGANIZATION AND PLANNING OF PRODUC PRODUCTIO TION”. N”. Dengan buku ini, ia telah telah merumus merumuskan kan pertama pertama kalinya kalinya persoalan “Linear Programming”. Namun, cara-cara pemecahan persoalan in di Rusia tidak berkembang dengan baik dan ternyata para ahli di negara Barat dan AS yang menggunakan cara ini dimanfaatkan dengan baik. Pada tahun 1947, seorang ahli matematika matematika dari AS yang bernama George menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan-persoalan persoalan-persoalan linear B. Dantzig menemukan prog progra ramm mming ing.. Cara Cara pemeca pemecahan han ini ini dinam dinamaka akan n ” Simp Simplex lex Metho Method”, d”, yang yang diuraikan dalam bukunya ”LINEAR PROGRAMMING AND EXTENTION”.

LINEAR PROGRAMMING (LP)

Linear Linear program programmin ming g adalah adalah teknik teknik matema matematika tika yang yang dirancan dirancang g untuk untuk membantu dalam merencanakan dan membuat keputusan. Linear Programming memiliki empat ciri khusus, yaitu : 1.

Peny Penyel elesa esaian ian masalah masalah mengar mengarah ah pada pada pencap pencapai aian an tujua tujuan n maksi maksimi misa sasi si atau atau minimisasi. 2. Kendala Kendala yang yang ada memb membata atasi si tingkat tingkat pencapa pencapaian ian tujuan tujuan 3. Ada beberapa beberapa alterna alternatif tif penyele penyelesaia saian n 4. Hubungan Hubungan matemat matematis is bersifa bersifatt lini linier er


17

Untuk Untuk membent membentuk uk suatu suatu model model linear linear program programmin ming g perlu perlu diterapk diterapkan an asumsi-asumsi dasar, yaitu : 1.

Linearity Fungsi obyektif dan kendala haruslah merupakan fungsi linier dan variabel keputusa keputusan. n. Hal ini akan mengaki mengakibatk batkan an fungsi fungsi bersifa bersifatt proporsi proporsional onal dan additif, misalnya untuk memproduksi 1 kursi dibutuhkan waktu 5 jam, maka untuk memproduksi 2 kursi dibutuhkan waktu 10 jam.

2.

Divisibility Nilai variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Apabila diinginkan solusi berupa bilangan bulat (integer), aka harus digunakan metoda untuk integer programming.

3.

Non negativity variable Nilai variabel keputusan haruslah tidak negatif ( ≥ 0)

4.

Certainty Semua konstanta (parameter) diasumsikan mempunyai nilai yang pasti. Bila nilai nilai-ni -nilai lai param paramet eter erny nyaa probab probabil ilist istik ik,, maka maka harus harus diguna digunakan kan formu formula lasi si pemrograman masalah stokastik.

 Contoh soal

Ibu Angel membuat dua macam jenis, kue nastar dan putrie salju. Bahan baku gula dan tepung untuk untuk memproduksi memproduksi 3 ons kue nastar diperlukan diperlukan 2 bagian gula dan dan 4 bagia bagian n tepun tepung, g, kemudi kemudian an untuk untuk memp mempro roduk duksi si 3 ons kue putri putriee salju salju diperlukan diperlukan satu bagian gula dan 3 bagian tepung, untuk gula tersedia tersedia tersedia 250 dan dan tepu tepung ng 200. 200. 1 ons ons kue kue nast nastar ar diha diharg rgai ai Rp.1 Rp.10. 0.00 000, 0,00 00 dan dan putr putrie ie salj salju u Rp.15.000,00?  Jawab:

Pada Pada kasus kasus ini saya saya akan akan mengg mengguna unaka kan n meto metode de lini linier er Progr Program aming ing,, hal hal ini dikarenakan dikarenakan pada kasus ini pertidaksamaan pertidaksamaan pembatasnya pembatasnya menggunakan menggunakan ≤ (kurang dari sama dengan). Rangkuman Riset Operasi

18

Bagi kendala pertidaksamaan pertidaksamaan jenis jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala. Z= 10000x1 + 15000x2

10000x1 + 15000x2 + X3 + X4

2x1 + x2 ≤ 250

2x1 + x2 + x3 = 250 4x1 + 2x2 + x4 = 200

4x1 + 3x2 ≤ 200 1.

X1 = X2 = 0

2.

X1 = X3 = 0

X3 = 250, X4 = 200

X2= 250

Z1=10000(0)+15000(0)+250(0)+200(0)=

2x2 + X 4= 200, 2(250) + X4

0

= 200 500 + X4 = 200 X4 = -300 Z2 ≠ (tidak dihitung)

3.

X1 = X4 = 0

4.

X2 = X3 = 0

2X2 = 200, X2= 100

2X1 = 250, X1 = 125

X2 + X3= 250, 200 + X3= 250

4X1 + X4 = 200

X3= 50

4(125) + X4 = 200

Z3=1000 =10000( 0(0) 0) + 15000 15000(10 (100) 0) + 0(50) 0(50) +

500 + X4 = 200

0(0)

X4= -300

=1.500.000 5.

X2 = X4 = 0

Z4 ≠ (tidak dihitung) 6.

X3 = X4 = 0

4X1= 200

2X1 + X2= 250,

X1= 50

X1=

2X1 + X3= 250

200

2(50) + X3= 250

125-1/2X2 + 2X2= 200

X3= 150

125 + 3/2X2= 200

Z5= 10000(50) + 15000(0) + 0(150) +

3/2X2= 200 - 125

0(0)

3/2X2= 125

=100000


½ (250 (250-X -X2 + 2X2=

X2= 125 . 2/3

19

= 83 1/3 X1= ½ (250=83 1/3) = ½ (166 2/3) = 83 1/3



KESIMPULAN:

Jadi diantara pemecahan fisibel ada satu nilai Z yang terbesar aitu Z6= 1.500.000 dengan kesimpulan:





X1= 83 1/3 , produk A diproduksi 83 1/3 unit.



X2= 83 1/3 , produk B diproduksi 83 1/3 unit.



X3= 50 , bahan baku pertama dipakai 50 dari dalam proses produksi.



X4= 0 , bahan baku kedua habis dipakai dalam proses produksi.

Contoh Soal: Perusahaan industri PT MULIA menghasilkan dua jenis produk yaitu P1 dan P2 masing-masing memerlukan dua macam bahan baku, A dan B. Harga jual tiap satuan P1 sebesar Rp 150,- dan P2 sebesar Rp 100,-. Bahan baku A yang tersedia sebanyak 600 satuan dan B 1.000 satuan. Satu satuan P1memerlukan satu satuan A dan dua satuan B, sedangkan satuan P2 memerlukan satu satuan A dan satu satuan B.

Contoh Tabel sebagai berikut : Jenis Produksi

Produksi Bahan


P1

Bahan Yang P2

Tersedia

20

A

1

1

600

B

2

1

10 0 0

Harga Jual

15 0

10 0

Masa Masala lahn hnya ya adal adalah ah mene menent ntuk ukan an alok alokas asii baha bahan n A dan dan B seba sebany nyak ak mungkin, atau dengan kata lain dengan menentukan jumlah produksi P1 dan P2 Sehingg Sehinggaa mencapa mencapaii tujuan tujuan perusaha perusahaan an yaitu yaitu meraih meraih keuntung keuntungan an semaksi semaksimal mal mungkin. Meskipun Tabel Diatas sudah menggambarkan situasi Produksi dalam masalah yang dihadapai akan tetapi penentuan jumlah produksi P1 dan P2 masih sulit. Oleh itu kita akan menerjemahkan masalah ini kedalam model matematika dengan rumusan yang sederhana Sehingga mudah dicari penyelesaianya. Misalkan Jumlah Produk jenis produk P1 dan P2 adalah penjualan satuan X1 dan X2 satuan. Maka hasil tentu saja sama dengan : F = 150 X1 dan 100 X2 Tujua Tu juan n PT muli muliaa ialah ialah mengu mengusa sahak hakan an F sebesa sebesar-b r-bes esarn arnya ya sehing sehingga ga keuntung keuntungan an juga akan akan maksim maksimal. al. Karena Karena untuk untuk menghas menghasilk ilkan an satu satuan satuan P1 diperlukan diperlukan satu satuan bahan A dan dua satuan bahan B, maka untuk sejumlah X1 satuan jenis P1 diperlukan sejumlah X1 satuan bahan A dan sejumlah 2x1 satuan bahan B. Dengan cara yang sama untik menghasilkan menghasilkan sejumlah X2 satuan jenis P2 diperlukan diperlukan sejumlah sejumlah X2 satuan bahan A dan sejumlah X2 satuan bahan B. Dengan demiki demikian an jumlah jumlah bahan bahan A yang yang diperluk diperlukan an untuk untuk menghas menghasilk ilkan an sejumla sejumlah h X1 satuan P1 dan sejumlah X2 satuan P2 adalah (X1 + X2) satuan. Bahan B yang diperlukan ialah (2x2 + x2) satuan. Karena bahan A dan bahan B masing-masing hanya tersedia tersedia 600 dan 1000 satuan, maha (X1 + X 2) dan (2x2 + x2) masing-masing tidak mungkin melebihi 600 dan 1000 satuan. Pernyataan tersebut dapat ditulis dengan bentuk : Rangkuman Riset Operasi

21

(X1 + X2 ) ≤ 600 dan (2x2 + x2) ≤ 1000 Atau X1 + X2 - ≤600 2x2 + x2 - ≤ 1000

Kalau semua keterangan ini dikumpulkan, maka akan sampai kepada satu bentuk model matematika yang menggambarkan masalah produksi yang sedang dihadapi PT MULIA, yaitu : F = 150 x1 + 100 x2 G = X1 + X2 - 600 H = 2x2 + x2 – 1000

Tujuan dari model ini adalah menentukan jumlah produksi P1 (=X1) dan jumlah produksi P2 (=X2) sehingga sehingga hasil hasil jumlah jumlah penjual penjualan an F = 150 x1 + 100 x2 maksimal sesuai dengan keterbatasan yang ada.

Sacara simgkat dapat ditulis : tentukan X1 dan X2 yang memenuhi batasan F = 150 x1 + 100 x2 X1 + X2 ≤ 600 2x2 + x2 ≤1000 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0


22

METODE TRANSPORTASI Meto Metode de

tran transp spor orta tasi si

merup erupak akan an

meto metode de

yang ang

digu diguna naka kan n

untu untuk k

mengaturdistribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk, ketempat yang membutuhkan secara optimal. Alokasi produk ini harus diatur sedemikaian rupa, karene terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari suatu sumber ke suatu tempat tujuan yang berbeda-beda, dan dari suatu sumber ke suatu tempat yang berbeda beda juga. Metode Stepping Stone  Contoh Soal :

Suatu Suatu perusa perusahaa haan n memp mempuny unyai ai 3 buah buah pabri pabrik k di W,H W,H dan P. Peru Perusah sahaa aan n mengalami masalah alokasi hasil produksinyake gudang-gudang penjualan di A,B dan C. Kapasitas pabrik , kebutuhan gudang dan biaya pengangkutan dari tiap pabrik kegudang adalah sebagai berikut : Pabrik

Kapasitas produksi tiap bulan

W

90 ton

H

60 ton

P

50 ton

Jumlah

200 ton


23

Gudang

Kapasitas produksi tiap bulan

A

50 ton

B

110 ton

C

50 ton

Jumlah

40 ton

Biaya tiap ton ( Dalam Ribuan Rp. ) Dari Gudang A

Gudang B

Gudang C

Pabrik W

20

5

8

Pabrik H

15

20

10

Pabrik P

25

10

9

 Penyusunan Tabel Alokasin :

Ke

Gudang

Gudang

Gudang

Kapasitas

A

B

C

Pabrik

Dari

20 Pabrik

X11

5 X12

8 X13

90

W 15 Pabrik

X21

P


20 X22

10 X23

60

24

25 Pabrik

X31

10 X32

19 X33

50

H

Kebutuhan

50

Gudang

11 0

40

2 00

Prosedur Alokasi Sete Setela lah h data data ters tersus usun un dala dalam m tabe tabell maka maka lang langka kah h sela selanj njut utny nyaa adal adalah ah mengalo mengalokasi kasikan kan produk produk dari pabrik-p pabrik-pabri abrik k ke gudang-gu gudang-gudang dang.. Pedoma Pedoman n yang yang digunakan adalah pedoman sudut barat laut, Mulai dari sudut kiri atas dari table :  Alokasi tahap pertama dengan pedoman sudut barat laut.

Ke Dari

Gudang

Gudang

Gudang

Kapasitas

A

B

C

Pabrik

20 Pabrik

50

5

8

40

90

W 15 Pabrik

20

10

60

60

P 25 Pabrik H


10 10

19 40

50

25

Kebutuhan Gudang

50

11 0

40

2 00

Besarnya pengangkutan untuk alokasi tahap pertama = 50 (20) + 40 (20) + 60 (20) + 10 (10) + 40 (19) = 3260

Mengubah Alokasi Secara Trial Dan Error Terlihat pada kokom gudang A , sel SH belum terisi,maka diciba untuk diisi satu satuan (ton). Tentu saja perlu memindahkan memindahkan dari sel yang lain, misalnya misalnya dari WA agar jumlah gudang tetap 50. Disamping itu juga mempengaruhi sel WB dan HB.

Perubahan biaya yang diakibatkan adalah sebagai berikut : 

Tambahan biaya

Dari H ke A = 15 Dari W ke B = 5 + Jumlah Jumlah

 Pengurangan biaya

= 20

Dari H ke A = 20 Dari W ke B = 20 + Jumlah Jumlah

= 40

Tambahan Tambahan 20 dan pengurangan 40 berarti penghematan 20 untuk pemindahan pemindahan 1 unit ke sel HA dan WB dari WA dan HB. Berdasarkan kenyataan ini, bila


26

jumlah alokasi yang dipindah lebih banyak maka penghematan tentunya akan lebih banyak juga.

 Perbaikan pertama dengan trial dan error

Ke Dari

Gudang

Gudang

Gudang

Kapasitas

A

B

C

Pabrik

20 Pabrik

50 (-)

5

8

40(+)

90

W 15 Pabrik

(+)

20

10

60 (-)

60

P 25 Pabrik

10

19

10

40

50

11 0

40

2 00

H

Kebutuhan Gudang

50


27

 Perbaikan kedua dengan trial dan error

Ke Dari

Gudang

Gudang

Gudang

Kapasitas

A

B

C

Pabrik

20 Pabrik

5

8

90

90

W 15 Pabrik

50

20

10

10

60

P 25 Pabrik

10

19

10

40

50

11 0

40

2 00

H

Kebutuhan Gudang

50


28

Perubahan alokasi ini dapat juga dilaakukan dengan mengubah alokasi pada sel yang tidak berdekatan. Misalnya alan diisi sel WC maka sel yang lain yang ikut berubah dapat berupa sel WB, PB dan PC. Seperti pada table transport = 50 (5) + 40 (8) + 50 (15) + 10 (20) + 50 (10) = 2020. Demikian seterusnya diadakan perubahan , bila dengan peruhaban itu dapat mengurangi biaya. Sampai akhirnya diperoleh biaya transport yang terendah (optimal).

 Perbaikan dengan alokasi sel yang berdekatan.

Ke Dari

Gudang

Gudang

Gudang

Kapasitas

A

B

C

Pabrik

20 Pabrik

5 50

8 40

90

W 15 Pabrik

50

20

10

10

60

P 25 Pabrik

10

19

50

50

H

Kebutuhan Gudang

50


11 0

40

2 00

29

PENUTUP Kesimpulan Riset Riset operasi operasi adalah adalah metode metode untuk untuk memform memformulas ulasikan ikan dan merumu merumuskan skan permasalahan sehari-hari mengenai bisnis,ekonomi,sosial maupun bidang lainya dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal. Demikian kilasan tentang Riset operasi , kami sadar bahwa perjuangan kami masih panjang dan masih banyak hal yang perlu diperjuangkan terus agar generasi bangsa Indonesia menjadi generasi yang unggul.


30

Daftar Pustaka

1.Bambang Yuwono, Bahan kuliah Riset Operasi,2007 2. Pangestu dkk, Dasar-Dasar Riset Operasi , BPFE, 1783, Yogyakarta 3. Hamdy Taha, Operation Research An Introduction, Edisi 4, Macmillan, New York 4. Aminnudin, Prinsip-Prinsip Riset Operasi, Erlangga, 2005


31


32

rangkuman riset operasi edit

Recommend Documents