Geometría Analítica Apuntes
Díaz López Karla Viridiana Zárate Márquez Leonardo Manuel Geometría Analítica
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Contenido 1. Línea Recta------------------------------------------------------------------------------------3 1.1 Definición y aplicaciones 2. Elementos de la Recta-----------------------------------------------------------------------4 2.1 Formulario 3. Ejercicios---------------------------------------------------------------------------------------7 3.1 Distancia entre dos puntos 4. Cónicas----------------------------------------------------------------------------------------14 4.1 Definición 4.2 Circunferencia----------------------------------------------------------------------------15 4.2.1 Definición 4.2.2 Elementos de la circunferencia 4.2.3 Formulario 4.2.4 Centro en el origen 4.2.5 Centro fuera del origen 4.3 Parábola-----------------------------------------------------------------------------------28 4.3.1 Definición 4.3.2 Elementos de la parábola 4.3.3 Formulario 4.3.4 Vértice en el origen 4.3.5 Vértice fuera del origen
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Línea Recta En este documento detallamos algunos aspectos sencillos de la gráfica de una línea recta. Partimos de las gráficas de rectas más simples, como rectas constantes, y rectas que pasan por el origen, para llegar a recta que tiene la forma y = ax+b. Posteriormente vemos otras formas de la ecuación de la recta que son equivalentes. La línea recta es la figura geométrica más usada. Ésta puede representarse de muchas formas. Para poder estudiarla suponemos conocidos los conceptos de “punto” y “plano”.
Definición Definiciones de línea recta: 1. Una línea recta es la figura geométrica en el plano formada por una sucesión de puntos que tienen la misma dirección. Dados dos puntos diferentes, sólo una recta pasa por esos dos puntos. 2. Es la figura geométrica formada por un polinomio de primer grado a0 + a1x. 3. Es la figura geométrica obtenida al unir dos puntos, tal que la distancia recorrida sobre ésta figura, es la más corta.
La recta es usada en una gran cantidad de aplicaciones. 1. Con líneas rectas podemos formar, triángulos, cuadrados, rectángulos, en general todos los polígonos. 2. Los modelos más simples pueden construirse con líneas rectas, por ejemplo un objeto en movimiento con aceleración constante puede modelarse con una línea recta donde la pendiente es la aceleración.
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Elementos de la Recta
Y= EJE DE LAS ABSISAS X= EJE DE LAS ORDENADAS P1 (X1,Y1)= punto de una recta m= pendiente de una recta P2(X2,Y2)= segundo punto
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Formulario Forma general de la recta
Donde m=pendiente b=intersección en eje “y” a=intersección en eje “x”
Forma normal de la recta
Forma simétrica de la recta
Fórmula para calcular pendiente
–
En rectas paralelas En rectas perpendiculares
Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos
Punto medio de una recta
= (Xm,Ym)
Fórmula para hallar la ecuación de una recta
Donde “y0” “x0” son coordenadas de un punto (X,Y)
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Formula punto pendiente
Donde m= pendiente b= intersección en eje “y”
Fórmula para la distancia entre un punto y una recta
√ Fórmula para calcular el área de un triangulo (determinantes)
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Ejercicios 1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto J(-2,-3) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(5,4) Solución m1 = m2
– –
2.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto k(2,1) y que es perpendicular a la recta que pasa por a(-2,1) y b(-3,5) Solución
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3.- Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -2 y que pasa por las rectas 2x+3y-7=0 y 2x-2y-2=0 Solución
4.-Hallar la intersección con los ejes coordenados de la recta 2x+3y-6=0 Solución
Coordenadas (3,0)
Coordenadas (0,2)
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5.- Hallar la pendiente de la ecuación de la recta 3x+y-4=0 Solución
6.- Hallar la pendiente y ordenada al origen de la recta 2x+y-5=0 Solución
7.- Calcula la distancia del punto A(2,1) a la recta 3x-y+2=0 y las intersecciones de la recta con los ejes coordenados Solución
√ √ √ √
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8.- Encuentra la intersección de la recta 2x+3y-6=0 con los ejes coordenados con la ecuación simétrica de la recta Solución
9.- Hallar la intersección con los ejes coordenados de la recta cuya ecuación es 3x+y-2=0 Solución
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10.- A partir de la formula general de la recta obtén la pendiente, intersección con los ejes coordenados respecto a las siguientes formulas
Sea 2x-3y-5=0
X= (-5/3,0)
Y=(0,5/2)
11.- Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto j(-2,-3) y es perpendicular a la recta 2x-3y+1=0 Solución
12.- Encuentra la ecuación de la recta cuya distancia al origen es p=5 considerando que el ángulo de inclinación de la normal es α=60°
Solución
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13.- Transforma la ecuación de la recta 3x+4y-15=0 de su forma general a la forma normal Solución
14.- Calcula la distancia del punto j(2,1) a la recta 2x-y+5=0 Solución
√ √ √ √
15.- Calcula la distancia entre la recta 2x+3y-6=0 y 2x+3y+1=0 Solución
√ √ √ √
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16.- Calcula en área del triangulo cuyos vértices son j(2,1) k(8,2) y l(3,6) Solución I
17.- Calcula el área del triangulo cuyos pinches vértices son los puntos A(6,2) B(4,7) y C(1,1) Solución
|
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Cónicas Formas cónicas pueden obtenerse al cortar una superficie cónica de revolución con un plano que no pase por el vértice. El tipo de cónica obtenido dependerá de la inclinación del plano respecto al eje de dicha superficie.
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Circunferencia Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.
Elementos de la circunferencia circunferencia Radio: distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el
centro. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Arco. Es un trozo de circunferencia Secante: Recta que corta en dos puntos a la circunferencia. Tangente: Recta que toca en un punto a la circunferencia.
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Formulario
Forma cónica con centro en el origen C (h, k) = C (0,0)
Forma ordinaria con centro fuera del origen C (h,k)
Forma general
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Ejercicios 1.- Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y con un radio de 6 Solución
2.- Encuentra la ecuación de la circunferencia con el centro en el origen y con radio de 1 Solución
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3.- Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en c(-3,5) y tiene un radio de 6 Solución
( ) 4.- Dada la ecuación encuentra los valores del
centro y el radio de la circunferencia. Solución Solución completando t.c.p.
Solución con formula
√ √
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5.- Encuentra el radio y la ecuación de la circunferencia que pasa por p(3,4) y tiene centro en el origen Solución
– √ √
6.- Hallar la ecuación ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro está en c(3,4) y tiene un radio de 4 Solución
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7.- Encuentra la ecuación ordinaria y general de la circunferencia con centro en (-3,-4) y que pasa por p(0,0) Solución
– √ √
8.- Encuentra la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general con centro en c(2,3) y tangente a la recta 3x-4y+1=0 Solución
√ )| | ( √ √
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9.- Encuentra el centro y radio de la circunferencia cuya ecuación es
Solución
√ √
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10.- Encuentra el centro, el radio y las ecuaciones de la circunferencia cuyo diámetro pasa por A(-3,-5) y B(1,-3) Solución
( √ ( ) ) ( ( ) ( ) √ √
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11.- Encuentra en la forma ordinaria y general la ecuación de la circunferencia que pasa por A(1,2) B(5,4) y C(3,8) Solución Segmento AD = Diámetro
√ √
(√ ) )
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12.- A partir de la ecuación de una circunferencia calcula su longitud y la superficie del círculo limitado por la circunferencia Solución
Superficie
Longitud
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13.- Encuentra la forma ordinaria y en la forma general la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,2) y B(7,8) si la recta pasa por el centro de la circunferencia.
Solución A(3,2) y B(7,8)
√ √ (√ ) )
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14.- Si la recta cuya ecuación es pasa por el centro de una circunferencia y tenemos los puntos J(1,-2) y K(5,0) que pertenece a la circunferencia encuentra la ecuación de la circunferencia en forma general y ordinaria. Solución
– ⁄
√ √ √
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15.- Por la forma ordinaria y general encuentra el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es
Solución
16.- Dada la ecuación de la circunferencia el perímetro y el área.
√ √ encuentra
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Parábola
La parábola es el conjunto de los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija d llamada directriz.
Elementos de la parábola Vértice: Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal. Foco: Es el punto fijo, situado sobre e l eje de simetría Directriz: es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto
cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco
E j e d e s i m e t r í a : Recta Recta perpend perpendicu icular lar a la directr directriz iz y que pa sa po r el
vértice y el foco. Lado recto: Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es
perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la parábola Parámetro: La distancia entre el vértice y la directriz que es la misma distancia
entre el vértice y el foco.
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Formulario Formulario para la parábola con vértice en el origen C (0,0) horizontal y vertical respectivamente.
Formulario para la parábola con vértice fuera del origen C (h,k) horizontal y vertical respectivamente.
Forma
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Ejercicios
1.- Encuentra la ecuación de la parábola cuyo foco se encuentra en F(0,-2) y con vértice en el origen. Solución
2.- Encuentra la ecuación de la parábola cuyo foco se encuentra en F(1,0)y la ecuación de la directriz es x-1=0 Solución
3.- Encuentra todos los elementos de la parábola cuya ecuación es Solución
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4.- Hallar las ecuaciones de la parábola que tiene su vértice en el origen y su foco en F(0,-2) Solución
2)
5.- Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice esta en el origen y la ecuación de la directriz es
6.- Dada la ecuación de la parábola elementos Solución
encuentra todos sus
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7.- Encuentra los elementos de la parábola cuya ecuación es Solución
8.- Encuentra los elementos de la parábola con vértice en el origen y con ecuación de la directriz
Solución
9.- Determina la ecuación de la parábola en su forma ordinaria y en su forma general con los siguientes datos v(3,2) directriz
Solución
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10.- Determina la forma reducida de la ecuación de la parábola cuya expresión en su forma general es
Solución
