PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ORDE PERTAMA BAB III TEORI PERSAMAAN LINIER DAN KUASI LINIER ORDE PERTAMA
Pada bab ini akan kita pelajari persamaan kuasi linier (dan linier) orde pertama. Teori dan metode dari solusi masalah nilai awal untuk persamaan tersebut didapatkan sebagai suatu aplikasi langsung dari teori dan metode dalam kontruksi integral kurva dan permukaan dari medan vektor yang dijelaskan pada Bab II. Pada bagian 1, kita akan mendefinisikan apa yang dimaksud solusi dari persamaan orde pertama dan kita klasifikasi/kelompokan persamaan orde pertama berdasarkan kelinieritasannya. Pada bagian 2, kita definisikan integral umum dari persamaan kuasi linier orde pertama dan metode untuk mendapatkannya. Integral umum adalah rumus yang sering menghasilkan solusi dari persamaan. Pada bagian 3, kita akan mendeskripsikan masalah nilai awal untuk persamaan kuasi linier orde pertama dan mendapatkan kondisi dimana terdapat solusi unik/tunggal untuk masalah ini. Pada bagian 4, kita akan melihat bagaimana jika kondisi tidak dipenuhi yang kemudian biasanya tidak terdapat solusi untuk masalah ini, dan pada kasus khusus dimana terdapat solusi, terdapat tak terhingga solusi yang ada. Pada bagian 5, kita mengaplikasikan teori umum untuk mempelajari hukum konservasi yang merupakan persamaan kuasi linier orde pertama yang dibangkitkan pada berbagai bagian dari fisika. Solusi dari persamaan tersebut biasanya mengembangkan diskontinuitas yang disebut shocks atau gelombang shock, yang diketahui sebagai fenomena pada gas dinamik. Dua contoh yang ada adalah pada arus lalu lintas dan gas dinamik, didiskusikan secara detail pada bagian 6. Terakhir, pada bagian 7, kita perlihatkan aplikasi penting dari persamaan linier orde pertama untuk peluang, secara spesifik untuk mempelajari proses stokastik. Kita diskusikan pada dua contoh yang detail, yaitu mengenai masalah trunking sederhana pada jaringan telepon dan kontrol dari penyakit tropis. Berbagai contoh lain juga dideskripsikan dalam soal-soal pada bagian ini.
1.
Persamaan Diferensial Parsial Orde Pertama
Sebuah persamaan diferensial parsial orde pertama dalam dua variabel independen x,y dan z yang tidak diketahui adalah persamaan yang dapat dibentuk dalam
( ) (1.1)
Fungsi
didefinisikan pada suatu domain di
kordinat untuk titik-titik di
di
adalah sebuah fungsi
sehingga dua kondisi di bawah ini harus dipenuhi:
titik
ii. Ketika
digunakan sebagai
. Solusi persamaan (1.1) di domain
yang terdefinisi dan
i. Untuk setiap
.
terdapat pada domain di fungsi
.
disubstitusikan ke persamaan (1.1) menghasilkan sebuah persamaan
identitas di
untuk setiap
Persamaan diferensial parsial orde pertama dapat dikelompokan berdasarkan bentuk
istimewa dari fungsi 1.
. Pengelompokan persamaan diferensial parsial adalah sebagai berikut:
Persamaan kuasi linier
Bentuk persamaan kuasi linier adalah
(1.2)
Pada persamaan di atas, fungsi
dengan koefisien
adalah sebuah fungsi linier pada turunan
bergantung pada variabel independen
dan
seperti pada variable
yang tidak diketahui.
2.
Persamaan hampir linier
Bentuk persamaan hampir linier adalah (1.3)
Pada persamaan di atas, koefisien dari turunan
3.
.
dan
adalah fungsi variabel independen
Persamaan linier
Bentuk persamaan linier adalah (1.4)
Pada persamaan di atas, fungsi dari
adalah linier pada
koefisien hanya bergantung kepada variabel independen
dan
dengan semua
dan y.
Apabila suatau persamaan tidak memenuhi bentuk di atas maka persamaan disebut persamaan non-linier.
Untuk lebih memahami ketiga bentuk pengelompokan yang telah dijelaskan, akan disajikan beberapa contoh bentuk persamaan serta pengelompokan sebagai berikut: 1.
Persamaan diferensial parsial berikut
(1.6) memiliki koefisien
berupa fungsi
yang bergantung dengan variabel z. Persamaan
(1.6) merupakan persamaan kuasi linier.
Persamaan diferensial parsial yang disebut euler’s relation berikut
2. (1.7)
dapat kita tulis sebagai
pada
dan
sehingga memiliki bentuk fungsi F yang linier
dengan koefisien-koefisien yang bergantung hanya pada variabel
. Sehingga, persamaan (1.7) merupakan persamaan linier.
3.
memiliki koefisien
dan
yang bergantung hanya pada variabel
ruas kanan hanya bergantung pada variabel merupakan persamaan hampir linier. 4.
dan
Persamaan diferensial parsial berikut
(1.8)
Persamaan diferensial parsial berikut
(1.9)
yaitu
dan , serta fungsi di
. Sehingga, persamaan (1.8)
tidak memenuhi ketiga pengelompokan persamaan diferensial yang ada. Sehingga, persamaan (1.9) merupakan persamaan non-linier.
Pada bab ini, kita mempelajari persamaan diferensial parsial kuasi linier orde pertama. Ingat bahwa persamaan linier dan hampir linier adalah kasus khusus dari persamaan kuasi linier. Soal 1
2
1.1 Misalkan f merupakan fungsi C pada R dan perhatikan bahwa untuk beberapa bilangan bulat n 1, f memenuhi kondisi (1.12)
1
2
Untuk semua t R dan semua (x,y) R . Maka fungsi tersebut dikatakan homogen pada derajat n.
(a) Berikan contoh fungsi yang homogen pada derajat 1, 2, dan 3
-
Contoh fungsi yang homogen pada derajat 1 adalah f (x,y) = x+y 1
karena f (tx,ty)=tx+ty= t(x+y)=t f (x,y) -
Contoh fungsi yang homogen pada derajat 2 adalah 2
2
2
2
f (x,y)=x +y 2
2
2 2
2 2
2
2
karena f (tx,ty)=(tx) +(ty) =t x +t y =t (x +y )=t f (x,y) -
Contoh fungsi yang homogen pada derajat 3 adalah 3
3
3
3
f (x,y)=x +y 3
3
3 3
3 3
3
3
karena f (tx,ty)=(tx) +(ty) =t x +t y =t (x +y )=t f (x,y) (b) Buktikan bahwa jika f homogen pada derajat n maka z=f(x,y) memenuhi persamaan diferensial parsial (1.7) [Petunjuk : Turunkan (1.12) terhadap t dan substitusi t=1.] n
n
f homogen pada derajat n artinya f(tx,ty)=t f (x,y), misalkan f (x,y)=z maka f (tx,ty)=t z
apabila masing-masing ruas diturunkan terhadap t akan didapat
apabila disubstitusi t=1 maka akan didapat
1.2 Buktikan assertion pada contoh 1.4
2.
Integral Umum dari Persamaan Kuasi Linier
Pada persamaan kuasi linier berikut (2.1)
diasumsikan bahwa fungsi
terdefinisi dan
pada suatu domain dari
dan tidak
terhubung secara simultan pada beberapa titik dalam domain. Suatu solusi dari persamaan (2.1) pada domain dari
adalah fungsi
yang terdefinisi dan
terdapat pada
sehingga dua kondisi berikut terpenuhi: (i) Untuk setiap
, titik
termasuk domain dari fungsi P, Q, R.
(ii) Saat z=f(x,y) disubstitusikan pada (2.1), hasilnya merupakan identitas pada .
Suatu solusi
(2.2)
untuk semua
( ) ( )
dari persamaan (2.1) dapat dilihat sebagai suatu permukaan dari
, yang disebut solusi
permukaan dari persamaan (2.1). Vektor normal permukaan (2.2) dapat dihitung dengan menggunakan gradien dari fungsi (2.2) pada titik
. Apabila vektor normal
sama dengan nol, sehingga vektor
yang hasilnya adalah
dikalikan dengan
hasilnya akan
ortogonal/ tegak lurus dengan vektor normal
di
setiap titik pada persamaan (2.2). Jadi, suatu permukaan S disebut suatu solusi permukaan dari
persamaan (2.1) jika S dapat dinyatakan sebagai persamaan (2.2) dan jika pada setiap titik dari S, vektor
adalah tangen/ vektor singgung dari S.
Suatu solusi permukaan dari persamaan (2.1) adalah integral permukaan dari medan vektor
yang dapat dinyatakan sebagai persamaan (2.2). Ini menyatakan bahwa untuk
mencari suatu solusi permukaan dari persamaan (2.1) perlu dicari integral permukaan
dahulu atau solusi permukaan dari persamaan diferensial parsial (2.3)
yang dapat dinyatakan sebagai persamaan (2.2).
Solusi permukaan dari (2.3) merupakan permukaan ketinggian, yaitu (2.4)
terlebih
̃
dari suatu solusi bentuk
dan
dari (2.3). Jika persamaan (2.4) dapat diselesaikan untuk
dalam
, maka hasil dari fungsinya adalah solusi dari persamaan (2.1). Sehingga
didapatkan Lemma berikut ini: Lemma 2.1
Misalkan ada pada dan perhatikan bahwa setiap titik pada ketinggian permukaan (2.4) memenuhi dua kondisi berikut : (i)
(ii) kemudian persamaan (2.4) menyebabkan definisi sebagai fungsi dari dan fungsi ini memenuhi persamaan diferensial parsial (2.1)
dan
Bukti :
Dari teorema fungsi implisit, didapatkan
dan karena itu, didapat
Lemma 2.1 memperlihatkan bagaimana mendapatkan solusi persamaan (2.1) dari solusi persamaan (2.3). Karena kita telah mengetahui solusi umum dari persamaan (2.3), Lemma 2.1 menghasilkan kelas yang lebih besar dari solusi persamaan (2.1).
Teorema 2.1 Misalkan dan
adalah dua solusi yang bebas fungsional dari persamaan 3
(2.3) pada domain pada R . Misalkan merupakan suatu fungsi C dari dua variabel dan perhatikan permukaan ketinggian (2.5)
1
Maka, setiap bagian dari permukaan ini memiliki vektor normal dengan komponen tak nol z, persamaan (2.5) mendefinisikan z secara implisit sebagai suatu fungsi dari x dan y dan fungsi ini adalah suatu solusi dari persamaan (2.1) Definisi 2.1
Persamaan (2.5) disebut integral umum dari persamaan (2.1) pada
Telah diketahui bahwa tidak setiap solusi dari persamaan (2.1) dapat dihasilkan dari integral umum (2.5) seperti yang dijelaskan pada Teorema (2.1). Oleh karena itu, persamaan
(2.5) tidak bisa disebut solusi umum dari persamaan (2.1). Pada penggunaannya fungsi
dan
yang dihasilkan dari integral umum (2.5) diperoleh
dari penyelesaian yang berhubungan dengan sistem persamaan (2.6)
seperti yang sudah dijelaskan pada BAB 2 bagian 2. Untuk lebih memahami materi di atas, perhatikan beberapa contoh berikut: Contoh 2.1
Carilah integral umum dari (2.7)
– – –
Sistem yang berhubungan dengan persamaan di atas adalah
Dan dapat diambil
. Integral umumnya adalah
(2.8)
dimana
adalah sembarang fungsi 2 variabel pada
. Jika dipilih
, (2.8)
menjadi
Selesaikan
sehingga didapatkan
dipilih atau
,
yang jelas merupakan solusi dari (2.7) pada
akan didapatkan solusi
. Jika dipilih
Bagian dari permukaan dengan
yang terdefinisi pada domain
maka persamaan (2.8) menjadi
mendefinisikan z sebagai fungsi dari x dan y,
Ini adalah solusi dari (2.7) pada salah satu domain
atau
.
. Jika
Perlu diperhatikan bahwa jika salah satu dari integral pertama yang bebas linier secara fungsional, misalkan ditulis dalam bentuk (2.9) Dimana
, tidak bergantung pada z, maka secara umum, integral umum (2.5) dapat
adalah sembarang fungsi 1 variabel pada
.
Contoh 2.2
Perhatikan persamaan linier berikut: (2.10) Dimana
dan
adalah fungsi dari
(2.10) adalah sebagai berikut (2.11) Dimana
dan tidak kosong secara silmultan. Integral umum dari
adalah sembarang fungsi 1 variabel pada
persamaan diferensial biasa
dan
adalah solusi umum dari
Tentunya, sistem dari persamaan difernsial biasa yang berhubungan dengan (2.10) adalah
Dan dua integral pertama yang bebas linier secara fungsional dari sistem ini adalah fungsi dan . Dapat ditunjukan bahwa (2.11) adalah solusi umum dari (2.10).
Soal
2.1. Untuk setiap persamaan berikut tentukan integral umum dan cari tiga solusi yang berbeda.
∫ ∫
Jelaskan pada domain bidang (x,y) yang mana solusi tersebut terdefinisi? (a) (b)
Jawaban:
Dari persamaan di atas, nilai Untuk mencari
,dan
.
, selesaikan sistem persamaan berikut:
1. Pilih persamaan
Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
merupakan solusi?
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
2. Pilih persamaan
∫ ∫ ∫ ∫ Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
3. Pilih persamaan
merupakan solusi?
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ () Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
merupakan solusi?
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
Untuk membuat suatu integral umum, gunakan 2 buah solusi dari 3 solusi yang
tersedia, misalkan diambil dan
dan
. Lakukan pengecekan terlebih dahulu apakah
bebas secara fungsional atau tidak. Cara melakukan pengecekan bebas secara
fungsional adalah dengan menghitung maka
dan
bebas secara fungsional.
, bila hasilnya bukan nol,
() Nilainya Karena dari
dengan
. Jadi,
dan
dan
dan
bebas secara fungsional.
bebas secara fungsional, kita dapat membentuk suatu integral umum
. Integral umumnya adalah
merupakan fungsi
dari dua variabel. Jika diambil
maka
sehingga didapatkan seluruh (c) (d)
.
yang merupakan solusi dari
di
∫ ∫∫
Jawaban:
Dari persamaan di atas, nilai Untuk mencari
,dan
.
, selesaikan sistem persamaan berikut:
1. Pilih persamaan
Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
2. Pilih persamaan
merupakan solusi?
∫ ∫ Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
merupakan solusi?
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
3. Pilih persamaan
Pilih
periksa apakah
Turunkan terhadap
Substitusi pada
(Bila bernilai nol, maka
merupakan solusi?
sehingga didapat
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
adalah solusi.)
Jadi,
merupakan solusi.
Untuk membuat suatu integral umum, gunakan 2 buah solusi dari 3 solusi yang tersedia, misalkan diambil dan
dan
. Lakukan pengecekan terlebih dahulu apakah
bebas secara fungsional atau tidak. Cara melakukan pengecekan bebas secara
fungsional adalah dengan menghitung maka
dan
Nilainya Karena dari
bebas secara fungsional.
. Jadi,
dan
dan
dengan
, bila hasilnya bukan nol,
dan
bebas secara fungsional.
bebas secara fungsional, kita dapat membentuk suatu integral umum
. Integral umumnya adalah
merupakan fungsi
dari dua variabel. Jika diambil
maka
sehingga didapatkan (e)
yang merupakan solusi dari
di seluruh
Jawaban:
Dari persamaan di atas, nilai Untuk mencari
,dan
.
selesaikan sistem persamaan berikut:
.
∫ ∫
1. Pilih persamaan
Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
merupakan solusi?
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
adalah solusi.)
merupakan solusi.
2. Pilih persamaan
∫ ∫ ()( ) Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
3. Pilih persamaan
merupakan solusi?
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
∫ ∫ ( ) Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
merupakan solusi?
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
adalah solusi.)
merupakan solusi.
Untuk membuat suatu integral umum, gunakan 2 buah solusi dari 3 solusi yang tersedia, misalkan diambil dan
dan
. Lakukan pengecekan terlebih dahulu apakah
bebas secara fungsional atau tidak. Cara melakukan pengecekan bebas secara
fungsional adalah dengan menghitung maka
dan
bebas secara fungsional.
, bila hasilnya bukan nol,
[( )] ⁄ )
Nilainya Karena dari
asalkan
dan
dan
dengan
. Jadi,
dan
bebas secara fungsional.
bebas secara fungsional, kita dapat membentuk suatu integral umum
. Integral umumnya adalah
merupakan fungsi
dari dua variabel. Jika diambil
maka
sehingga didapatkan di seluruh
(f) (g) (h)
yang merupakan solusi dari
.
2.2. Perlihatkan bahwa integral umum dari relasi Euler (1.7) mengarahkan kita kepada solusi dari bentuk
dimana
merupakan fungsi dari satu variabel. Periksa bahwa
solusi tersebut merupakan fungsi homogen dengan derajat
.
Jawaban:
Relasi Euler :
Dari persamaan di atas, didapat nilai Untuk mencari
.
, selesaikan sistem persamaan berikut:
∫ ∫ ∫ ∫
1. Pilih persamaan
Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
bernilai nol, maka
Jadi,
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila
adalah solusi.)
merupakan solusi.
2. Pilih persamaan
merupakan solusi?
Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila
bernilai nol, maka
Jadi,
merupakan solusi?
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
Untuk membuat suatu integral umum, gunakan 2 buah solusi yang tersedia, yaitu . Lakukan pengecekan terlebih dahulu apakah
dan
dan
bebas secara fungsional atau
tidak. Cara melakukan pengecekan bebas secara fungsional adalah dengan menghitung , bila hasilnya bukan nol, maka
dan
bebas secara fungsional.
( ) Nilainya Karena dan
asalkan
dan
. Jadi,
dan
bebas secara fungsional.
bebas secara fungsional, kita dapat membentuk suatu integral umum dari
. Karena
, dapat kita lihat
bebas dari z, sehingga integral
umum dapat ditulis sebagai berikut
dengan
adalah fungsi
dari satu variabel. Sehingga
Jadi, integral umumnya adalah
. Akan diperiksa apakah
merupakan fungsi yang homogen pada derajat
diperiksa apakah
Ambil sebarang
memenuhi
atau tidak, artinya harus
untuk setiap
Karena untuk sebarang
memenuhi
memenuhi
pada derajat .
maka untuk setiap
. Jadi,
merupakan fungsi yang homogen
2.3. Tunjukan bahwa (2.11) adalah solusi umum dari (2.10). Lebih tepat lagi, buktikan pernyataan berikut ini: Misalkan domain
di
, misalkan
merupakan suatu titik di
adalah solusi umum dari
dari solusi umum (2.10) pada
. Maka terdapat suatu fungsi
untuk semua
gunakan fakta bahwa
dan
dan misalkan
dari satu variabel sehingga
pada suatu lingkungan dari
memenuhi (2.10) dan fakta bahwa
secara simultan untuk menunjukan bahwa Bagian 9.6 dari Taylor .]
pada
. [Petunjuk:
dan
tidak kosong
= 0. Kemudian terapkan teorema V,
2.4. PDP kuasi linier
Cari satu integral pertamanya. Bukan pekerjaan mudah untuk mencari sebuah integral pertama yang kedua. Jawaban:
Dari persamaan di atas didapat nilai
mencari suatu integral pertama selesaikan sistem persamaan berikut:
Pilih persamaan
Untuk
∫ ∫ Pilih
Turunkan terhadap
Substitusi pada
bernilai nol, maka
Jadi,
, periksa apakah
merupakan integral pertama atau bukan?
sehingga didapat
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila
adalah integral pertama.)
merupakan integral pertama.
2.5. Anggap pdp kuasi linier oder pertama dalam variabel yang tak diketahui, variabel bebas (2.12)
,
dan
( ) Dimana
. Diasumsikan bahwa fungsi
suatu domain pada
terdefinisi dan
pada
dan tidak hilang secara simultan pada setiap titik
pada .
(a) Definisikan apa yang dimaksud dari solusi (2.12) di suatu domain pada
.
Untuk mencari solusi (2.12) kita mencari solusi
pada
(2.13)
Solusi ini
adalah integral pertama dari bidang vektor
atau dari sistem
PDB yang bersangkutan.
(2.14)
Dalam praktiknya,
solusi bebas secara fungsional dari (2.13) diperoleh dengan
memecahkan sistem (2.14) menggunakan metode yang dijelaskan di bab II. Sebuah tinggi permukaan solusi dari (2.13), mengatakan
(2.15)
menghasilkan sebuah solusi dari (2.12), jika (2.15) dapat diselesaikan dalam
(b) Nyatakan dan buktikan perluasan Lemma 2.1 untuk
.
dimensi.
(c) Nyatakan dan buktikan perluasan Teorema 2.1 yang dengan singkat mengatakan bahwa integral umum dari (2.12) diberikan oleh
(2.16)
Di mana adalah
adalah sebuah sembarang fungsi
dari
variabel dan (16)
integral pertama yang bebas fungsional dari (2.14). Integral umum (2.16)
mengimplikasikan sebagian besar solusi dari (2.12).
2.6. Untuk setiap persamaan yang diberikan, tentukan integral umum dan hitung tiga solusi
berbeda. (a) (b)
3.
Masalah Nilai Awal untuk Persamaan Kuasi Linier Orde Pertama. Keberadaan dan Keunikan Solusi.
Pada bagian ini, akan dibahas masalah nilai awal, atau masalah Cauchy, untuk persamaan
diferensial parsial kuasi linier orde pertama. (3.1)
Ingat kembali bahwa masalah nilai awal untuk sebuah persamaan diferensial biasa orde pertama menginginkan sebuah solusi dari persamaan yang diberikan pada sebuah titik di
. Masalah
nilai awal untuk persamaan diferensial parsial (3.1) menginginkan solusi dari (3.1) yang telah diberi nilai pada suatu kurva yang diberikan pada
.
( )
Masalah Nilai Awal
Misalkan (3.2)
sebuah kurva yang diberikan di
Di mana pada
berada pada
. Fungsi
. Misalkan
adalah sebuah fungsi yang diberikan
dapat dianggap sebagai fungsi yang mendefinisikan pada kurva
Masalah nilai awal untuk persamaan (3.1) menginginkan sebuah fungsi pada sebuah domain dari (i)
(ii) Pada kurva
(3.3)
Kurva
memuat kurva
.
terdefinisi
dan sehingga:
adalah sebuah solusi dari (3.1) pada . ,
sama dengan fungsi
yang diberikan, contohnya,
disebut kurva awal dari persoalan, sementara fungsi
(3.3) disebut kondisi awal dari persoalan.
disebut data awal. Persamaan
Gambar 3.1
Jika dipandang suatu solusi
dari (3.1) sebagai solusi permukaan dari (3.1),
dapat diberikan suatu pernyataan geometri sederhana dari masalah di atas yaitu cari sebuah solusi permukaan dari (3.1) yang memuat kurva
3
di R , dideskripsikan secara parametrik oleh
persamaan (3.4)
Teorema di bawah menegaskan bahwa pada kondisi tertentu masalah dapat diselesaikan secara lokal, yaitu dapat dicari solusi unik dari permasalahan di lingkungan pada suatu titik
dimana
kondisi tertentu dipenuhi. Solusinya dapat dicari dengan menggunakan metode untuk membentuk suatu integral permukaan dari medan vektor yang diberikan. Misalkan nilai parameter
merupakan suatu titik dari sebuah kurva
; sebagai contoh 3
merupakan domain di R yang memuat (3.5)
dan misalkan
yang bersesuaian dengan . Misalkan
merupakan suatu integral permukaan dari medan vektor solusi permukaan dari persamaan
yang memuat kurva
, atau, secara ekuivalen,
( ) (3.6)
dalam
memuat bagian dari
pada
, sebagai contoh
(3.7)
Misalkan, selanjutnya, (3.8)
Kemudian, oleh Lemma 2.1, persamaan (3.5) secara implisit mendefinisikan suatu fungsi di lingkungan
awal untuk (3.1) di
dari
, dan fungsi ini merupakan solusi dari masalah nilai
(lihat Gambar 3.2).
Gambar 3.2 Dengan menggabungkan pengamatan di atas dengan teorema 4.2 bab II diperoleh teorema dasar berikut.
Teorema 3.1.
Misalkan
dalam dari
adalah kelas
yang mengandung titik
dan misalkan bahwa
(3.9)
Maka pada lingkungan
dari
terdapat solusi yang unik dari persamaan
(3.1) yang memenuhi kondisi awal (3.3) pada setiap titik
Bukti:
yang termuat di U .
Catat bahwa kondisi pertama (3.9) menyebabkan vektor dengan kurva
pada titik
tidak bersinggungan
(mengapa?). Dengan teorema 4.2 bab II dikatakan bahwa
pada lingkungan dari
terdapat integral permukaan yang unik dari persamaan (3.6)
yang memuat bagian dari
di lingkungan ini. Integral permukaan ini dapat ditulis dalam bentuk
(3.5). Untuk menunjukkan kondisi (3.8) terpenuhi dapat diselesaikan (3.5) untuk z. Kondisi (3.8) , grad u adalah ortogonal
dilanjutkan dari kondisi (3.9). Pada kenyataannya, pada titik terhadap
(dari persamaan (3.6)) dan vektor singgung
karena itu, grad komponen komponen
sejajar dengan
dari
dari grad
terhadap
(dari persamaan (3.7)). Oleh
. Sekarang, persamaan sebelah kiri dari (3.9) merupakan
pada
. Oleh karena itu, kondisi (3.9) menyiratkan bahwa
berbeda dengan nol pada
, yang berarti bahwa kondisi (3.8)
terpenuhi.
Keunikan dari teorema dilanjukan dari fakta bahwa setiap kurva integral dari suatu titik dari
harus berada pada solusi permukaan dari (3.1) yang memuat
melewati
.
Secara geometri, kondisi (3.9) menyatakan bahwa proyeksi dari vektor bidang
tidak bersinggungan dengan kurva awal
pada
pada
.
Metode konstruksi solusi untuk masalah nilai awal terdiri atas melihat kondisi awal sebagai suatu kurva yang diberikan integral dari
3
di R dan membentuk, dengan metode bagian 4 bab II, permukaan
yang memuat kurva
. Kondisi (3.9) dari teorema 3.1 menjamin
bahwa dapat diselesaikan persamaan (3.5) dari integral permukaan untuk lingkungan
di titik
. Ukuran dari lingkungan
dalam
dan
pada
tergantung pada persamaan diferensial,
pada kurva awal berikut.
dan data awal
. Dapat diilustrasikan metode solusi ini dalam contoh
Contoh 3.1
Perhatikan persamaan kuasi linier (3.10)
Misalkan kurva awal C diberikan oleh (3.11) Cari solusi (3.12)
dari persamaan (3.10) dimana kurva awal C mempunyai nilai
Pertama, nyatakan kondisi awal (3.11) dan (3.12) dalam bentuk parametrik. Kurva C diberikan oleh (3.13)
Dan pada C solusi harus memiliki nilai (3.14)
Pada bentuk geometri masalah yang ada adalah mencari solusi permukaan persamaan (3.10) yang berisi kurva (3.15)
dari
yang diberikan oleh
Untuk persamaan (3.10), dimiliki
dan pada kurva
,
Jadi, kondisi (3.9) terpenuhi pada setiap titik dari
dan dengan teorema 3.1 diketahui bahwa ada
solusi unik/tunggal untuk masalah pada persekitaran dari setiap titik di C. Dengan menggunakan metode yang telah dideskripsikan dalam bagian 4, bab II, untuk mencari solusi. Sistem persamaan yang berkaitan dengan medan vektor
adalah
Sistem ini diselesaikan dalam contoh 2.3 bab II dimana ditemukan dua buah integral pertama
Integral pertama ini terdefinisi dan bebas secara fungsional dalam domain kurva
. Untuk mencari integral permukaan dari
yang berisi
dihitung
yang memuat
dan dengan mengeliminasi t diperoleh
Integral permukaan yang disyaratkan adalah
Persamaan ini memiliki dua solusi untuk
dan untuk memilih satu yang diinginkan, gunakan
kondisi awal persamaan (3.11)-(3.12). Jadi, didapatkan (3.17)
Ini diserahkan kepada pembaca untuk memeriksa bahwa persamaan (3.17) memenuhi persamaan diferensial parsial (3.10) dan kondisi awal persamaan (3.11) dan (3.12) dan oleh karena itu,
solusi yang diisyaratkan pada masalah nilai awal. Catat bahwa solusi (3.17) didefinisikan dalam domain
.
Kita tutup subbab ini dengan aplikasi teorema 3.1 untuk menlanjutkan masalah nilai awal khusus yang sering muncul dalam aplikasi, (3.18) (3.19) dimana
adalah fungsi yang terdefinisi untuk setiap
. Mudah diperiksa untuk kasus
itu, kondisi (3.9) selalu memenuhi setiap titik kurva awal, yang dalam kasus ini merupakan sumbu . Untuk itu teorema 3.1 mengakibatkan adanya keberadaan dan keunikan solusi. Akibat 3.1
Misalkan dan merupakan kelas di dan merupakan kelas di . Maka dalam sebuah persekitaran pada setiap titik di sumbu terdapat solusi unik masalah nilai awal (3.18), (3.19).
Soal
3.1. Selesaikan masalah nilai awal berikut. Deskripsikan dengan hati-hati domain dari solusisolusinya. (a) pada kurva awal C: (b)
∫ ∫ pada kurva awal C:
Jawaban: Pertama nyatakan kondisi awal dari soal di atas pada bentuk parametrik. Kurva C diberikan sebagai berikut dan pada C, solusi harus memenuhi nilai
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan , dari yang memuat kurva C yang diberikan oleh
Dari persamaan di atas, kita memiliki dan pada kurva C,
Karena
, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya,
selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:
1. Pilih persamaan
Pilih
Turunkan
, periksa apakah
terhadap
merupakan solusi?
∫ ∫ Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
adalah solusi.)
merupakan solusi.
2. Pilih persamaan
Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
sehingga didapat
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
merupakan solusi?
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
Lakukan pengecekan apakah
dan
bebas secara fungsional atau tidak. Cara
melakukan
secara
fungsional
pengecekan
bebas
, bila hasilnya bukan nol, maka
Nilainya
asalkan
. Jadi,
adalah
dan
dengan
bebas secara fungsional.
dan
fungsional.
Untuk mencari integral permukaan dari
yang memuat C, kita hitung
dan
Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan
Integral permukaan yang disyaratkan adalah
Selesaikan persamaan di atas
Jadi, solusinya adalah
yang terdefinisi di seluruh R kecuali di
.
menghitung
bebas secara
(c) (d)
⁄ ∫ ∫ pada kurva awal C:
pada kurva awal C :
Jawaban: Pertama nyatakan kondisi awal dari soal di atas pada bentuk parametrik. Kurva C diberikan sebagai berikut dan pada C, solusi harus memenuhi nilai
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan , dari yang memuat kurva C yang diberikan oleh Dari persamaan di atas, kita memiliki dan pada kurva C,
Karena
, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya,
selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:
1. Pilih persamaan
Pilih Turunkan
, periksa apakah terhadap
merupakan solusi?
∫ Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
adalah solusi.)
merupakan solusi.
2. Pilih persamaan
Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
merupakan solusi?
sehingga didapat
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
Lakukan pengecekan apakah
dan
bebas secara fungsional atau tidak. Cara
melakukan
secara
fungsional
pengecekan
bebas
, bila hasilnya bukan nol, maka
adalah
dan
dengan
menghitung
bebas secara fungsional.
Nilainya
asalkan
. Jadi,
dan
Untuk mencari integral permukaan dari
bebas secara fungsional.
yang memuat C, kita hitung
dan
Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan
Integral permukaan yang disyaratkan adalah
Bila persamaan di atas diselesaikan, maka akan didapatkan solusinya adalah yang terdefinisi di seluruh (e) (f)
.
pada kurva awal C :
pada kurva awal C:
Jawaban: Pertama nyatakan kondisi awal dari soal di atas pada bentuk parametrik. Kurva C diberikan sebagai berikut dan pada C, solusi harus memenuhi nilai
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan , dari yang memuat kurva C yang diberikan oleh
Dari persamaan di atas, kita memiliki dan pada kurva C,
Karena
, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya,
selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:
∫ ∫ ∫ ∫
1. Pilih persamaan
Pilih
, periksa apakah
Turunkan
terhadap
Substitusi pada
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
adalah solusi.)
merupakan solusi.
2. Pilih persamaan
merupakan solusi?
Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
merupakan solusi?
sehingga didapat
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
Lakukan pengecekan apakah
dan
bebas secara fungsional atau tidak. Cara
melakukan
secara
fungsional
pengecekan
bebas
, bila hasilnya bukan nol, maka
adalah
dan
dengan
menghitung
bebas secara fungsional.
∫∫ Nilainya
asalkan
. Jadi,
Untuk mencari integral permukaan dari
dan
bebas secara fungsional.
yang memuat C, kita hitung
dan
Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan
Integral permukaan yang disyaratkan adalah
Selesaikan persamaan di atas,
Jadi, didapatkan solusinya adalah
yang terdefinisi di seluruh . (g) pada kurva awal C:
Jawaban: Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan , dari yang memuat kurva C yang diberikan oleh
Dari persamaan di atas, kita memiliki dan pada kurva C,
Karena
, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya,
selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:
1. Pilih persamaan
∫ ∫ Pilih Turunkan
, periksa apakah terhadap
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
merupakan solusi?
adalah solusi.)
merupakan solusi.
2. Pilih persamaan
Pilih
, periksa apakah
Turunkan terhadap
merupakan solusi?
sehingga didapat
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?
(Bila bernilai nol, maka
Jadi,
adalah solusi.)
, merupakan solusi.
Lakukan pengecekan apakah
dan
bebas secara fungsional atau tidak. Cara
melakukan
secara
fungsional
pengecekan
bebas
, bila hasilnya bukan nol, maka
Nilainya
asalkan
. Jadi,
adalah
dan
dengan
bebas secara fungsional.
dan
fungsional.
Untuk mencari integral permukaan dari
yang memuat C, kita hitung dan
Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan
menghitung
bebas secara
Integral permukaan yang disyaratkan adalah
Selesaikan persamaan di atas,
Jadi, didapatkan solusinya adalah
yang terdefinisi di seluruh
.
3.2. Jawab “Mengapa?” dalam pembuktian teorema 3.1. 3.3. Periksa bahwa untuk masalah (3.18), (3.19), kondisi (3.9) selalu memenuhi pada setiap titik garis awal y=0. Jawaban:
Akan dibuktikan bahwa kondisi 3.9 selalu dipenuhi pada setiap titik pada garis awal Dalam bentuk parametrik kurva
diberikan
Berdasarkan teorema 3.9 maka diperoleh
(terbukti)
3.4. Untuk masing-masing dua masalah nilai awal berikut
Formulasikan dan buktikan hasil eksistensi dan keunikan analog dengan yang dinyatakan dalam akibat 3.1. Jawaban:
…(1)
…(2)
Akan dibuktikan dua masalah nilai awal di atas mempunyai penyelesaian dan unik. Persamaan (1)
Pada kurva
yang diberikan dengan persamaan parametrik
Berdasarkan teorema 3.9 maka diperoleh
Jadi,
mempunyai penyelesaian dan unik.
Persamaan (2)
…………………….(2)
Pada kurva
yang diberikan dengan persamaan parametrik
Berdasarkan teorema 3.9 maka diperoleh
(Mempunyai penyelesaian dan unik)
4.Masalah Nilai Awal Untuk Persamaan Kuasi Linier Orde Pertama. Tidak Ada Solusi dan Solusi Tidak Unik ( Banyak Solusi )
Dalam bagian sebelumnya, kita telah membuktikan bahwa solusi ada dan unik dari nilai masalah awal pada persamaan (3.1) P(x , y ,z )zx + Q(x, y, z)zy = R(x, y, z) dalam persekitaran dari titik (x 0 , y0) dari kurva awal C yang mana kondisi (3.9)
adalah terpenuhi. Dalam bahasa geometri, kondisi (3.9) berarti bahwa proyeksi dari vektor dalam bidang (x, y) bukan gari singgung dari kurva C di (
. Dalam bagian ini, kita akan menunjukan
bahwa jika kondisi (3.9) tidak tepenuhi, yaitu jika
(4.1)
Maka tidak akan ada solusi untuk masalah nilai awal, dan dalam persamaan ini memiliki solusi yang tak terhingga banyaknya. Kita asumsikan bahwa P dan Q yang tidak berkurang secara simultan. Perhatikan bahwa kondisi (4.1)’
mengatakan bahwa komponen vector yaitu
(4.1)’
Dimana
adalah konstanta proporsional.
,
adalah proporsional,
Karena kondisi (4.1) tidak memiliki solusi masalah nilai awal, karena dengan menggunakan persamaan differensial parsial (3.1) dan kondisi (4.1) kita akan mendapat informasi yang kita dapatkan dari kondisi awal (3.3)
() [ ]
Kemudian persamaan differensial parsial dan masalah nilai awal mungkin akan kontradiksi.
Tentu, dari kondisi awal kita tahu bahwa titik ( sama dengan
diperoleh
adalah solusi turunan sepanjang kurva awal C harus
. Tetapi dari penjabaran diatas dan dengan menggunakan persamaan (4.1)
Terjadi kontradiksi dari turunan solusi masalah nilai awal, maka muncul teorema 4.1 Teorema 4.1
Menurut kondisi (4.1)’ dan (4.2), tidak memil iki solusi untuk masalah nilai awal (3.1) – (3.3) di
persekitaran titik (
Kami menegaskan bahwa dalam membuktikan teorema 4.1 , kami menunjukan bahwa menurut kondisi (4.1), pada sisi kiri dari persamaan differensial parsial (3.1) ditaksir pada
adalah proporsional
untuk turunan dari z sepanjang kurva awal C. Karena turunan dapat diperoleh dari data awal, disana tidak terdapat solusi untuk masalah nilai awal kecuali dua nilai sama. Dalam menyatakan urutan kondisi dari teorema 4.1 secara geomet ri, misalkan V(t) dinotasikan sebagai nilai dari vector V dalam kurva C, V(t) =
̅
Dan misalkan T(t) dinotasikan sebagai garis singgung vector untuk
T(t) = (
Kondisi (4.1) berarti bahwa proyeksi dari kurva awal C pada (
dalam bidang (x, y ) adalah garis singgung untuk
. Kondisi (4.1)’-(4.2) dari teorema 4.1 berarti bahwa vector
tidak kolinear mengingat proyeksi dalam bidang (x,y) adalah kolinear (lihat gambar 4.1).
Gambar 4.1
̅
Secara alternative, kondisi dari teorema 4.1 berarti bahwa V bukan garis singgung untuk
saat proyeksi dalam bidang (x,y) adalah garis singgung untuk C pada (
.
pada
Jika, berdasarkan kondisi dari teorema 4.1, kami mencoba untuk mencari solusi untuk masalah
̅
nilai awal menggunakan metode pada bagian 3, kami akan mencari bahwa persamaan u(x, y, z) = 0 dari permukaan integral yang memuat
tidak memecahkan nilai z sejauh
karena u
=0.
Sekarang, kita misalkan bahwa kondisi (4.1) terpenuhi dan persamaan differensial parsial dari kondisi awal juaga tidak kontradiksi, yaitu
̅
(4.3)
(4.3)’
atau
Kita anggap hanya kondisi (4.3) terpenuhi di setiap titik dari (4.4)
T(t)=
, yaitu
,t
Kondisi (4.4) berarti bahwa V adalah setiap garis singgung pada
̅
atau bahwa
integral dari V. Kondisi awal (3.3) membutuhkan permukaan solusi dari (3.1) melewati memuat kurva integral V yang memuat
̅
adalah kurva harus
disini kita mendapat banyak solusi permukaan .
Teorema 4.2
Berdasarkan kondisi (4.4), masalah nilai awal (3.1)-(3.3) mempunyai banyak solusi dalam persekitaran
pada titik (
.
Contoh Soal ( Problem ) 4.1
Berdasarkan persamaan
Dan kurva awal C : x=t,
y=t; t>0
Tentukan apakah persamaan diatas memiliki solusi tunggal, tidak memiliki solusi, atau memiliki banyak solusi di persekitaran dari titik (1,1), unruk setiap masalah nilai awal dengan mengikuti data awal : A.
z = 2t di C
B.
z = t di C
Jawab :
Dan kurva awal C : x=t,
y=t; t>0
Persamaan diatas mengakibatkan : V(P, Q, R) = ( z, y, x ) Kita substitusikan nilai vector pada persamaan
Untuk : A.
z = 2t
Maka,
Karena
Maka bentuk persamaan
Dan kurva awal C : x=t,
y=t;
t>0
Memiliki tepat satu solusi. B.
z=t Mengakibatkan
Menurut teorema 4.1, bentuk persamaan
Mempunyai dua kemungkinan yaitu tidak memiliki solusi atau punya solusi banyak. Untuk menentukannya kita hitung :
Karena
Dan kurva awal Memiliki banyak solusi.
maka
C : x=t,
y=t; t>0
menurut
teorema
4.2,
bentuk
5. Masalah Nilai Awal untuk Hukum Konservasi. Perkembangan dari Shocks
Hukum konservasi adalah order pertama persamaan differensial parsial kuasi linear yang timbul dalam banyak aplikasi fisika (lihat bagian 6 untuk contoh). Mari kita perhatikan permasalahan nilai awal berikut untuk hukum konservasi,
,
,
Dimana
dan
menghasilkan fungsi
. Berdasarkan akibat 3.1, masalah ini memiliki solusi yang
tunggal pada suatu persekitaran dari setiap titik pada garis awal
. Dengan tujuan untuk
menemukan solusi kita perhatikan persamaan differensial biasa yang berhubungan dengan (5.1),
||
Dua integral pertama yang bebas secara fungsional dari sistim ini adalah ,
Dan kemudian,
Adalah suatu integral umum dari (5.1). Dengan tujuan untuk memenuhi kondisi awal (5.2) kita harus
gunakan
. Kemudian, untuk
didefinisikan oleh persamaan
sekecil mungkin, solusi dari (5.1), (5.2) secara implisit
.
Menggunakan teorema fungsi implisit, mudah untuk menunjukkan (lihat soal 5.1) bahwa solusi dari(5.1), (5.2) ada dan didefinisikan secara implisit dengan (5.3) asalkan kondisi
| |
dipenuhi.Perhatikan bahwa (5.4) selalu dipenuhi jika persamaan (5.1) kita artikan suatu fungsi turunan turunan
dan
sekecil mungkin. Berdasarkan solusi dari
. Dari rumus pada soal (5.1) kita lihat bahwa
cenderung tak terbatas sebagai sisi kiri dari (5.4) cenderung nol. Kenyataannya ketika
sisi kiri dari (5.4) menjadi nol, solusi berkembang secara diskontinu dikenal sebagai
.
Perkembangan dari shock dikenal sebagi fenomena dalam dinamika gas.Analisis matematika dari shocks memerlukan generalisasi dari konsep solusi dari persamaan differensial parsial memungkinkan untuk diskontinu. (Pada dinamika gas, kondisi ini dikenal sebagai kondisi entropy dari peningkatan gas setelah melalui garis diskontinu).Dalam buku ini kita tidak melanjutkan lebih jauh ke materi tentang shock.Sebagai ganti kita mengacu kepada ketertarikan siswa untuk menyelidiki artikel oleh P.D L ax.
Dengan tujuan untuk melihat dan menghitung nilai dari solusi yang didefinisikan secara implisit oleh (5.3) dan pada waktu yang sama meningkatkan pemahaman kita tentang perkembangan shock. Mari
kita perhatikan titik
pada sumbu aksis
dan
. Maka himpunan dari titik-titik
memenuhi pasangan dari persamaan ,
,
Juga memenuhi persamaan (5.3).ini berarti bahwa garis lurus pada ruang
didefinisikan dengan
pasangan dari persamaan (5.3) berada pada permukaan yang didefinisikan oleh persamaan (5.3). ini memenuhi bahwa sepanjang garis
pada bidang
melewati titik
sama dengan
, solusi
dari masalah nilai awal (5.1), (5.2) adalah konstan dan
(lihat gambar 5.1). Dalam permasalahan fisika variabel
dan kita biasanya kemudian tertarik reaksi dari solusi (setelah pasangan awal garis pada (5.6) yang berpotongan pada setengah bidang suatu fungsi turunan
menunjukkan waktu ). Jika tidak ada dua
kita simpulkan bahwa solusi ada sebagai
. Jika dua garis pada (5.6) berpotongan ketika
, maka pada titik
perpotongan kita memiliki sebuah ketidakserasian karena solusi tidak bisa sama dengan dua nilai berbeda. Sebagai contoh, misalkan
dan
dan andaikan bahwa
Berpotongan pada titik
dan
, misalkan
. Maka garis-garis
dimana
(lihat gambar 5.2). pada titik sama dengan
adalah dua titik pada garis awal
kita memiliki sebuah ketidakserasian karena
dan
tidak
pada waktu yang sana. Jadi, solusi tidak ada sebagai fungsi turunan untuk
dan Shock berkembang.
Garis-garis pada
sering disebut
untuk masalah nilai awal
Bab V, bagian 4.)
Contoh 5.1 solusi dari masalah nilai awal
,
,
Ada dan secara implisit didefinisikan oleh
. (lihat
Asalkan kondisi
,
Dipenuhi. Dalam kasus ini persamaan (5.9) dengan mudah dapat diselesaikan untuk , .
Jelas solusi terpecahkan dan shock berkembang ketika dan solusinya konstan dan sama dengan
Melewati titik
. Perhatikan semua garis
. Pada titik
sepanjang garis
melewati titik
.
dari sumbu ,
,
6. Aplikasi pada Arus Lalu Lintas dan Dinamika Gas
Disini ditampilkan dua buah aplikasi pada analisis mengenai MNA untuk hukum kekekalan.Hukum kekekalan muncul dalam banyak topik di bidang fisika dan dalam topik mengenai fluida tidak ental yang dapat dipadatkan.Aplikasi pertama yang berkaitan dengan hukum kekekalan adalah topik mengenai arus lalu lintas pada sebuah jalan raya.Aplikasi kedua berkaitan dengan aliran bergantung waktu satu dimensi pada fluida yang dapat dipadatkan dibawah asumsi tekanan yang konstan. Arus Lalu Lintas pada Jalan Raya
Model arus lalu lintas yang didiskusikan saat ini didasarkan pada asumsi bahwa pergerakan sebuah mobil dapat dianalogikan dengan arus pada fluida yang kontinyu. Dimisalkan sumbu dan arus lalu lintas pada arah yang positif.
Misal
adalah kecepatan(rate) arus (mobil per satuan waktu) dimana arus mobil melewati
pada waktu .
keluar dari jalan raya dan
Dapat diturunkan sebuah hubungan antara
sebagai
adalah jalan raya
adalah kepadatan (mobil per satuan jarak) pada posisi ke- di jalan raya dalam waktu
. Dan
Misalkan
dan
dibawah asumsi bahwa mobil tidak akan masuk atau
adalah fungsi
dari .
adalah ruas dari sebuah jalan raya. Jumlah total mobil pada ruas jalan ini didefinisikan
∫ dan perubahan waktu dari perubahan jumlah mobil pada ruas jalan ini adalah
Perubahan ini sama dengan
∫ ∫
dimana ini dapat mengukur waktu mobil ketika masuk ruas jalan pada ketika keluar pada
. Sehingga
dikurangi dengan waktu mobil
∫
atau
∫ ∫ ∫
(6.1)
Karena integral pada (6.1) dan karena (6.1) ada pada setiap sehingga
maka jelas integralnya dapat hilang,
Selajutnya, akan diperkenalkan asumsi tambahan yaitu validitas yang didukung oleh pertimbangan teoritik sebagaimana data hasil eksperimen. Mengacu pada asumsi ini, kecepatan arus bergantung pada
dan dapat dipandang hanya dengan melihat , yaitu
atau secara sederhana (6.3)
( )
yang
untuk beberapa fungsi G. Asumsi ini terlihat beralasan karena kepadatan kendaraan di sekitar kendaraan tertentu juga mengontrol kecepatan (speed ) dari kendaraan tersebut. Hubungan antaras dan
bergantung pada banyak faktor seperti karakteristik jalan, kondisi cuaca, batas k ecepatan, dan lain
sebagainya. Salah satu hubungan antara
(6.4)
dan
adalah
dimana
merupakan kepadatan maksimum (mobil per satuan jarak ketika lalu lintas sangat padat,
hingga diibaratkan bumper bertemu bumper) dan
adalah rata-rata kecepatan bebas dimana kecepatan
bebas adalah kecepatan dari sebuah kendaraan ketika kendaraan itu bergerak bebas dari interfensi
* +
(pengaruh) kendaraan lain. Pada umumnya,
dapat didekati oleh batas kecepatan dari sebuah jalan
raya. Ingat, berdasarkan persamaan (6.4)
jika
atau
.
Akan disubstitusikan (6.4) ke persamaan (6.2), yaitu sebagai berikut:
(6.5)
Persamaan (6.5) dapat disederhanakan dengan membagi dengan bahwa
(6.6)
pada kedua ruas dan didefinisiskan
untuk memperoleh
Persamaan (6.6) merupakan salah satu contoh hukum kekekalan. Jika diberikan kepadatan normal awal (6.7)
maka, berdasarkan bagian 5, solusi MNA dari (6.6) dan (6.7) terdefinisi secara implisit, untuk cukup kecil dengan persamaan (6.8) Jika
adalah fungsi
(6.8) jika kondisi
( ) maka solusi ada dan berbentuk fumgsi
yang
serta terdefinisi secara implisit oleh
(6.9)
( )
dipenuhi. Jika kondisi ini pernah tidak dipenuhi, shock s akan dihasilkan pada kondisi dimana turunan dari kepadatan mobil menjadi tak berhingga dan kepadatan menghasilkan shock yang diskontinyu. Jika
kondisi (6.9) dipenuhi
. Ini mengarah pada kesimpulan bahwa jika kepadatan mobil
awal adalah konstan atau turun pada arah arus lalu lintas maka shock tidak akan pernah dihasilkan dan arus lalu linta s akan berjalan lancar secara kontinyu.
Sebaliknya, jika ICD (Initial Card
Density =Kepadatan Mobil Awal) bertambah pada setiap jarak di jalan raya maka akibatnya shock akan dihasilkan. Sebagai ilustrasi akan terlihat pada contoh dibawah ini. Contoh
Misalkan ICD didefinisikan oleh fungsi dibawah ini, y aitu:
{
Grafik dari fungsi diatas terlihat pada gambar dibawah ini:
Turunan dari karena
memiliki shock pada
bukan lah anggota
. Selanjutnya,
mengganti setiap sudut pada grafik
dan teori yang dimiliki tidak dapat diaplikasikan
dapat dihaluskan didekat
dan
dengan
dengan kurva belok yang halus.Oleh karena itu, penghalusan
ini dapat menemui banyak kesulitan saat perhitungan solusi dari masalah
ini.Untungnya, efek yang
dihasilkan oleh shock pada turunan dari data awal adalah jump pada turunan solusi yang melewati sebuah garis di bidang
solusi masih terdefinisi secara implisit untuk sebuah
yang cukup kecil,
dengan menggunakan persamaan (6.8).untuk menghitunya akan digunakan informasi bahwa solusinya
konstan disepanjang garis pada bidang maka selanjutnya akan digunakan Jika
dan
pada
(6.12)
pada
disepanjang garis
Karena dua garis ini berpotongan pada titik
seperti yang terlihat pada gambar dibawah ini.
dan
selalu dikalikan oleh kecepatan bebas ,
untuk menggantikan tempat sepanjang
(6.11)
Sehingga, diperoleh
. Karena variabel
atau:
disepanjang garis
.
maka shock muncul pada titik tersebut
* + Jika
(6.13)
maka
sepanjang
atau
sepanjang
Perhatikan bahwa garis pada persamaan (6.13) melewati membagi setengah atas bidang
. Garis
ke dalam empat bagian, yaitu bagian kiri
dan dalam bagian segitiga dengan
Seperti terlihat pada gambar di bawah ini:
dan
, bagian kanan
diperoleh dari persamaan (6.13).
Selanjutnya, mengeliminasi
(6.14)
dari persamaan (6.13) akan diperoleh:
Akibatnya, pada bagian shock solusinya memiliki jump diskontinyu san nilai dari solusi tidak dapat dihitung dengan menggunakan analisis ini. Gambar di bawah ini menunjukkan grafik dari empat macam nilai
.
dan
pada
Kompresibel Aliran Fluida di Bawah Tekanan Konstan
Mari kita perhatikan aliran yang bergantung pada waktu dari fluida kompresibel berdimensi satu di bawah asumsi p tekanan konstan. Jika u menunjukkan kecapatan fluida, ρ kecepatan dan e energi internal per satuan volume, persamaan dasar dinamika gas :
(6.15)
+
(6.16) (6.17)
= 0,
+
= 0,
+
+(
= 0.
Kita ingin memecahkan persamaan hal ini ke persamaan / kondisi awal (6.18)
u( x , 0) = f ( x )
(6.19)
ρ( x ,
(6.20)
e( x , 0) = h( x )
dimana f , g dan h diberikan fungsi
0) = g( x )
. Menurut bagian 5, solusi dari masalah nilai awal (6.15), (6.18)
selalu ada untuk t yang cukup kecil dan didefinisikan secara implisit oleh persamaan (6.21)
u = f ( x – ut )
Jika
( x )
0 untuk semua x , solusiya ada sebagai fungsi
untuk semua t
0. Sebaliknya solusi
akhirnya berkembang secara diskontinuitas yang dikenal sebagai shocks, studi yang melibatkan generalisasi konsep larutan (see Noh and
for details). Setelah u diketahui, dapat diganti atau
disubstitusikan ke dalam persamaan (6.16) dan masalah nilai awal (6.16), (6.19) kemudian dapat diselesaikan untuk mendapatkan kepadatan
ρ.
Hal ini berguna untuk mendapatkan formula untuk
dalam u (atau dipandang sebagai atau dari segi u). Untuk melakukan hal ini kita perhatikan bahwa (dalam hal ini), muncul dalam persamaan (6.16) dan dari (6.21) kita peroleh/punya,
(6.22)
ρ
Ini menunjukkan bahwa fungsi dari bentuk
(6.23)
ρ=
mungkin menjadi solusi dari persamaan (6.16) (lihat juga masalah 6.5). Agar (6.23) memenuhi kondisi awal (6.19), fungsi G harus diambil untuk menjadi g. Itu kini tersisa sebagai latihan (masalah 6.6) untuk menunjukkan bahwa
(6.24)
ρ=
tidak hanya memenuhi kondisi awal (6.19) tetapi juga pdp (6.16) asalkan fungsi f adalah
. Dalam
pandangan teorema keunikan kita mengenai solusi dari masalah nilai awal (6.16), (6.19), kita menyimpulkan bahwa solusi dari masalah ini harus diberikan oleh (6.24). Samahalnya dengan, solusi dari masalah nilai awal (6.17), (6.20) yang diberikan oleh
(6.25)
7. Metode Fungsi Hasil Probabilitas. Penggunaannya dalam Masalah Sambungan Jaringan Telepon dan Kontrol Penyakit Tropis
Pada bagian ini kita akan membahas penggunaan persamaan diferensial parsial linear orde satu untuk menyelesaikan masalah probabilitas/kemungkinan, yaitu masalah yan timbul pada penyelidikan proses tertentu seperti proses skolastik. Masalah Sambungan pada Jaringan Telepon
Jaringan telepon yang ideal memiliki jumlah saluran tak terbatas, dan asumsinya awal mula dan akhir panggilan berada dalam interval waktu *0, ∞+ berdasarkan hipotesis tertentu yang kita jabarkan di bawah ini. Diketahui bilangan bulat non-negatif n, yang digunakan dalam waktu t, 0 < t <∞, dengan probabilitas awal Pn(0), 0 ≤ n < ∞, carilah probabilitas Pn(t). Dalam menyatakan hipotesis yang berkenaan dengan permulaan dan penghentian panggilan telepon dalam jaringan, kita gunakan simbol o(h) untuk menunjukan kuantitas yang menghentikan lebih cepat daripada h pada h=0; i.e.,
*+
. Kelayakan dan validitas hipotesis ini dibahas dalam buku
Feller. Hipotesisnya adalah sebagai berikut: (i)
Bila sambungan terjadi pada waktu t, kemungkinan akhir percakapan selama interval waktu (t, t + h) adalah µh + o(h), dimana µ konstan.
(ii)
Kemungkinan awal percakapan selama interval waktu (t, t h) adalah λh o(h), dimana λ konstan.
(iii)
Kemungkinan dua atau lebih pergantian (awal atau akhir panggilan) selama interval waktu (t, t + h) adalah o(h).
Langkah awal penentuan kemungkinan Pn(t) adalah memperoleh sistem persamaan diferensial biasa yang dipenuhi oleh Pn(t). Nilai t adalah tetap dan probabilitas Pn(t) berlaku untuk semua n, 0 ≤ n < ∞, dan mari kita tentukan Pn(t + h), probabilitas yang mana nilai n digunakan dalam waktu t + h. Misalkan n ≥ 1. Akan ada beberapa sambungan sebanyak n dalam waktu t h hanya jika kondisi-kondisi berikut ini terpenuhi: (1) Dengan waktu t, sambungan n – 1 digunakan dan satu kali panggilan bermula selama interval waktu (t,t + h).
(2) Dengan waktu t, sambungan n + 1 digunakan dan satu kali panggilan berakhir selama interval waktu (t,t + h). (3) Dengan waktu t, sambungan n digunakan dan tak ada pergantian yang terjadi dalam jaringan selama interval waktu (t,t + h), dan (4) Dua atau lebih pergantian terjadi selama interval waktu (t,t + h). Berdasarkan hipotesis kami, probabilitas poin (4) adalah o(h) sedangkan probabilitas poin (1) adalah
– – –
Probabilitas poin (2) yaitu
Dan probabilitas poin (3) adalah
Karena probabilitas poin (1), (2), dan (3) saling terpisah, jika di j umlahkan akan menjadi seperti ini (7.1)
Dengan menggunakan rumus (7.1) untuk membentuk [Pn(t + h) – Pn(h)] / h dan memisalkan h 0, kita dapatkan persamaan diferensial biasa (7.2)
Yang mana berlaku untuk semua n ≥ 1 dan 0 < t < ∞. Akan muncul persamaan berikut ini jika n = 0 (7.3)
Karena probabilitas awal Pn(0), 0 ≤ n < ∞, diasumsikan telah diketahui, masalah menemukan probabilitas Pn(t) untuk semua t > 0 telah berkurang menjadi seperti persamaan (7.2), (7.3). Pertanyaan mengenai ada tidaknya dan keunikan dari masalah nilai awal ini tidaklah mudah. Sekarang, kita akan menjabarkan metode menemukan solusi untuk masalah nilai awal dalam persamaan diferensial parsial linear orde satu.
∑
(7.4)
Rumus diatas dikenal sebagai fungsi hasil probabilitas untuk probabilitas Pn(t). Sebagai konsekuensi sistem o.d.e.’s (7.2), G(t,s) mesti memenuhi persamaan difere nsial parsial linear orde satu. Dengan mendiferensiasikan rumus (7.4), kita dapatkan r umus:
(7.5)
(7.6)
∑ ∑ ∑
Substitusi rumus (7.2) dan (7.3) untuk Pn’(t) ke dalam rumus (7.6), diikuti dengan penyusunan ulang dan identifikasi rumus (7.4) dan (7.5) menghasilkan p.d.e. untuk G
(7.7)
Di sisi lain, pengetahuan tentang probabilitas awal Pn(0) menyebabkan kondisi awal G sej alan dengan t = 0 dari bidang (t,s), (7.8) Dimana (7.9)
∑
Untuk mendapatkan solusi masalah nilai awal rumus (7.7) dan (7.8). Sistem asosiasi o.d.e.’s dari rumus (7.7) adalah
( – )
Dan dua rumus integral fungsional independen pertama yaitu
(7.10)
karenau1 tidak bergantung dengan nilai G, integral umum untuk rumus (7.7) adalah u2 = f (u1)
1
dimana f adalah fungsi C dari variabel tunggal. Dengan mensubstitusikan rumus (7.10) dalam integral umum dan penyelesaian nilai G, kita dapatkan solusi rumus (7.7),
(7.11)
Kondisi awal rumus (7.8) menentukan fungsi f . Dengan mengatur t = 0 dalam rumus (7.11) dan dengan menggunakan rumus (7.8) menghasilkan
dan selanjutnya,
(7.12)
Terakhir, dengan mensubstitusikan rumus (7.12) ke dalam rumus (7.11) dan menyederhanakannya, kita dapatkan solusi permasalahan nilai awal (7.7) dan (7.8)
(7.13)
– * +
Ketika fungsi hasil probabilitas G(t,s) te lah ditemukan, probabilitas Pn(t) dapat ditemukan dari r umus yang sudah lazim untuk koefisien Taylor (7.4)
(7.14)
* +
Untuk mengilustrasikan metode fungsi hasil probabilitas (p.g.f.), digunakanlah t = 0 yang berarti seperti berikut (7.15) Maka, (7.16)
∑
Substitusi rumus (7.16) ke dalam (7.13) menghasilkan rumus p.g.f.
(7.17)
– * +
Probabilitas Pn(t) dapat ditentukan menggunakan rumus (7.14). Untuk nilai n = 0 dan n = 1 kita dapatkan
* + * + - µt µt
P0(t) = G(t,0) = (1 - e ) exp
P1(t) =
=[
2
+
) ] exp
Masalah Mengontrol Penyakit Tropis
Schistosomiasis adalah penyakit infeksi parasit yang diperkirakan menjangkiti lebih dari dua ratus juta orang di negara tropis dan subtropis di dunia.Hal ini ditandai dengan kelemahan jangka panjang yang dianggap oleh banyak kalangan, menjadi kendala yang signifikan untuk kemajuan negara-negara terbelakang
di
mana
banyak
segmen
besar
penduduk
kurang
lebih
terinfeksi
secara
permanen.Persistensi infeksi di wilayah ini tergantung pada siklus kejadian yang kompleks yang melibatkan manusia, cacing pipih parasit tertentu (schistosomes (schistosomes), ), dan spesies siput tertentu.Sebuah penelitian tentang probabilitas dari siklus peristiwa telah dimuat dalam jurnal Nasell dan Hirsch.Hasil dari penelitian ini memungkinkan adanya perbandingan keefektifan relatif dari berbagai prosedur yang ditujukan untuk pengendalian atau pemberantasan penyakit.Di sini kami tunjukan masalah yang muncul di banyak penelitian mengenai penentuan fungsi hasil probabilitas tertentu. Fungsi hasil probabilitas G(t,s) harus memenuhi p.d.e.
(7.18)
Dan kondisi awalnya (7.19)
dengan t = t0 dalam (t,s). Maka selanjutnya diberikan fungsi Y(t), dengan nilai µ dan v konstan v konstan dan m adalah bilangan bulat nonnegatif. Ini latihan yang mudah untuk mendapatkan integral pertama dari rumus (7.18),
(7.20)
u1 = e
-µt
(s – (s – 1),
dimana
∫ Sekarang, integral umum dari rumus (7.18) adalah
(7.21)
1
dimana f adalah nilai sembarang fungsi C . Dengan menyelesaikan rumus (7.21) untuk G, kita dapatkan penyelesaian rumus (7.18),
( ) [ ] G(t,s) =
Kondisi awal rumus (7.19) menentukan fungsi f fungsi f karena karena memerlukan persamaan
(7.22) Dimisalkan z =
m
s =
, kita dapatkan s = 1 + z f (z) (z) = (1 +
Maka,
dan rumus (7.23) menghasilkan
exp [
dan dengan substitusi rumus (7.22), kita dapatkan solusi masalah nilai awal (7.18)dan (7.19), (7.24) G(t,s) =
m
exp {
Deret Taylor, Fungsi Analitik
Misalkan
sebuah fungsi
sembarang titik di I. Deret
dari suatu variabel
pada interval buka
dan misalkan
disebut deret Taylor dari fungsi menyatakan turunan ke-
di sekitar titik
dari
.
. Untuk sembarang fungsi
, Deret Taylor (1.1) mungkin
tidak konvergen atau jika ia konvergen, belum tentu konvergen terhadap memiliki deret Taylor yang konvergen terhadap
untuk semua
. Fungsi
di sekitar
khusus yang
, disebut analitik pada
.
Definisi 1.1 Misalkan
dimana
Jika deret Taylor (1.1) dari
maka
adalah interval terbuka dari
di sekitar
disebut analitik pada
. Jika
, dan misalkan
konvergen terhadap
analitik di setiap titik pada
untuk setiap maka
sembarang titik pada . pada persekitaran
,
disebut fungsi analitik pada
interval . Contoh
Deret Taylor dari fungsi
di sekitar titik asal adalah
Deret di atas konvergen terhadap
untuk setiap
. Maka, fungsi
Selanjutnya, fungsi tersebut analitik di seluruh garis bilangan real
Contoh lain Fungsi
dan
analitik pada
dan
sehingga
analitik pada titik asal.
Misalkan
sebuah fungsi
sembarang titik pada
yang terdefinisi pada beberapa domain
dan misalkan
. Deret
|| || disebut deret Taylor dari , dan
disekitar
.
bilangan bulat non-negatif,
Deret (1.2) dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih singkat dengan notasi
maka deret Taylor (1.2) dari
disekitar
dapat dituliskan dalam bentuk
Definisi 1.2 Misalkan
dimana adalah sebuah domain pada
Jika deret Taylor (1.3) dari maka
disebut analitik pada
di sekitar . Jika
konvergen terhadap
dan misalkan
untuk semua
analitik pada setiap titik di maka
sembarang titik pada . dipersekitaran
suatu fungsi analitik di .
,
Teorema Cauchy Kovalensky
Misalkan fungsi
analitik pada persekitaran titik asal dari
persekitaran titik
Cauchy (2.7)-(2.8) memiliki solusi asal di
dan misalkan fungsi dari
analitik pada
Maka masalah
yang terdefinisi dan analitik pada persekitaran di titik
dan solusinya unik dalam kelas fungsi analitik.
Misalkan diketahui
adalah masalah nilai awal untuk persamaan diferensial biasa berorde satu dengan variabel yang tidak diketahui
dan variabel bebas .
Akan dicari solusi memuat titik
dari masalah (2.1)-(2.2) yang terdefinisi di beberapa interval pada sumbu- yang
.
Asumsikan bahwa fungsi
analitik pada persekitaran titik
deret Taylor yang konvergen terhadap
untuk setiap titik
, sehingga
memiliki
pada persekitaran titik
Maka teorema Cauchy-Kovalevsky menunjukkan masalah nilai awal (2.1)-(2.2) memiliki solusi terdefinisi dan analitik pada interval yang memuat titik
Bagaimana mencari deret Taylor
di sekitar titik
Selanjutnya, misalkan diketahui
.
yang
?
adalah masalah nilai awal atau masalah Cauchy untuk
persamaan diferensial parsial berorde satu dengan variabel
tidak diketahui
dan dua variabel bebas
. Diberikan
fungsi
yang terdefinisi pada beberapa interval
dari
sumbu-
yang memuat titik asal. Akan dicari suatu solusi
dari masalah Cauchy (2.4)-(2.5) yang terdefinisi
untuk
di beberapa domain
memuat kurva awal .
– Asumsikan bahwa fungsi
pada bidang-
yang
yang diberikan, analitik pada
persekitaran titik asal di sumbu- . Maka, dari kondisi awal (2.5) dapat dihitung seluruh turunan parsial dari terhadap
pada titik asal,
Asumsikan juga bahwa fungsi
analitik di persekitaran titik
Cauchy-Kovalevsky menyatakan bahwa masalah (2.4)-(2.5) memiliki solusi analitik pada persekitaran titik asal dari bidang
.
di
. Maka teorema
yang terdefinisi dan
Untuk mencari deret Taylor dari turunan parsial
pada titik asal.
Turunan dari (2.4) nilai turunan
di sekitar titik asal, harus dihitung nilai dari semua
dapat dihitung dari kondisi awal (2.5). Dengan mensubstitusikan pada
,
dan nilai
yang telah diperoleh sebelumnya. dan
pada titik asal.
pada (0,0), diperoleh nilai
∑
untuk memperoleh nilai
, turunkan (2.4) terhadap
sehingga diperoleh
kemudian substitusikan
dan nilai
Selanjutnya, untuk mencari
, turunkan (2.4) terhadap ,
dan substitusikan
pada (0,0) yang telah diperoleh sebelumnya.
dan nilai
dan
pada titik asal yang telah diperoleh
sebelumnya.
Dengan menurunkan (2.4) terhadap semua nilai turunan parsial dari Deret Taylor untuk
dan
dan mensubstitusikan nilai
dan turunannya, diperoleh
pada titik asal.
di sekitar titik asal adalah
Teorema Cauchy-Kovalevsky menunjukkan bahwa deret ini konvergen untuk semua persekitaran
dari domain asli dan mendefinisikan solusi
fungsi yang didefinisikan oleh (2.6) memenuhi p.d.p. (2.4) untuk setiap untuk setiap titik
dari
yang termuat di
Misalkan diketahui
di beberapa
.
dan kondisi awal (2.5)
( ) ( ) ( ) ( )
adalah masalah nilai awal (masalah Cauchy) yang melibatkan sebuah persamaan diferensial parsial orde satu dalam satu variabel yang tidak diketahui
dan
adalah sebuah fungsi dari
variabel bebas
. Fungsi
variabel.
Teorema (Cauchy-Kovalevsky)
Misalkan fungsi
analitik pada persekitaran titik asal dari
dan misalkan fungsi
pada persekitaran titik
analitik
dari
Maka masalah Cauchy (2.7)-(2.8) memiliki solusi
pada persekitaran di titik asal di
.
yang terdefinisi dan analitik
dan solusinya unik dalam kelas fungsi analitik.
Teorema ini menyatakan 2 hal yaitu :
1. Terdapat solusi analitik di beberapa persekitaran
titik asal
2. Solusi unik pada kelas fungsi analitik
Maksud dari keberadaan adalah terdapat sebuah fungsi
( )
analitik di persekitaran U dari titik asal di memenuhi termuat di
( ( ) ) ( )
yang terdefinisi dan
sehingga pada setiap titik titik
dari
memenuhi (2.7) dan pada setiap titik
memenuhi (2.8) kondisi awal.
pada bagian
yang
bukti keberadaan menunjukan bahwa koefisien deret taylor adalah
Contoh 2.1
Temukan semua suku yang berorde ≤ 3 dalam deret Taylor di sekitar titik asal dari solusi masalah nilai awal (2.10) (2.11)
Pada masalah ini
dan fungsi fungsi adalah fungsi fungsi
sumbu-x (pada kenyataannya analitik di seluruh sumbu-x). Selain itu,
analitik pada persekitaran titik asal dari .
dan fungsi ini analitik di persekitaran dari (0,0,1,0) di
fungsi tersebut analitik di seluruh
(pada kenyataannya
). Oleh karena itu, dengan menggunakan teorema Cauchy-
Kovalevsky, masalah Cauchy (2.10)-(2.11) memiliki solusi analitik di persekitaran titik asal pada bidang .
. Kita harus menghitung semua turunan dari
Dari (2.11) kita memiliki
berorde ≤ 3 di titik asal.
Oleh karena itu,
dari (2.10) kita mempunyai
dan dengan menggunakan nilai yang telah diperoleh sebelumnya kita diperoleh
dari (2.10) didapat
dan dengan menggunakan nilai yang telah dperoleh sebelumnya diperoleh
akhirnya dari (2.10) didapat
oleh karena itu
Deret Taylor untuk
di sekitar titik asal adalah
BAB V PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL LINEAR KARAKTERISTIK, KLASIFIKASI DAN BENTUK KANONIK
1. Operator Parsial Diferensial Linear dan Kurva Karakteristik dan Permukaan Karakteristiknya
Beberapa notasi yang perlu diingat: merupakan sebuah titik di
merupakan operator parsial diferensial Misalkan
definisikan
| |
Maka
merupakan
dan
Misakan
-tuple bilangan bulat non-negatif. Kemudian kita
|| ||| | ||
menotasikan penjumlahan komponen-komponen dari
adalah monomial dari orde
operator parsial diferensial dari orde
pada koordinat
,
, dan
adalah sebuah
. Berdasarkan notasi sebelumnya, maka:
| |
Contoh :
Jika
Maka:
= 3 dan
= (2, 1, 3)
=2+1+3=6
adalah monomial dari orde 6
Persamaan diferensial parsial linear dari orde
di
.
adalah persamaan dengan bentuk
(1.1) Dimana
||
|| || ||
dan
merupakan koefesien dari bentuk
merupakan sisi kanan dari persamaan
adalah fungsi dari
Penjumlahan dari sisi kiri pada persamaan tersebut bernilai mungkin untuk indeks vector dengan
. Jadi,
adalah orde tertinggi dari turunan yang terlihat dalam persamaan.
Operator diferensial parsial linear dari sisi kiri pada persamaan (1.1) akan dinotasikan dengan ,
(1.2)
Jika koefesien
konstan, hanya ditulis
.
Contoh 1.1
Diberikan persamaan di (1.3)
merupakan persamaan diferensial parsial linear orde kedua.
Karena persamaan ini merupakan persamaan diferensial parsial linear di persamaan diferensial parsial linear orde kedua maka
dan merupakan
. Kombinasi
yang mungkin adalah (0, 0); (0, 1); (0, 2); (1, 0); (1, 1); (2, 0). Maka diperoleh koefesienkoefesian yaitu :
,
,
,
,
Operator dari persamaan (1.3) adalah (1.4)
Contoh 1.2
Bentuk umum operator parsial diferensial linear orde pertama di
:
Sebagai contoh, bentuk umum operator orde pertama di
adalah
(1.5)
Contoh 1.3
Bentuk umum operator parsial diferensial linear orde kedua di
:
Beberapa contoh penting operator persamaan diferensial linear parsial dengan koefesien konstan adalah operator Laplace di dua variabel (1.6)
,
operator gelombang di satu variabel ruang (1.7)
,
dan operator panas di satu variabel ruang (1.8) Dalam (1.7) dan (1.8),
.
adalah variabel ruang dan
adalah variabel waktu.
Contoh lainnya adalah operator Tricomi yang muncul dalam hidrodinamik, (1.9)
.
Contoh 1.4
Bentuk umum operator parsial diferensial linear orde kedua di
:
Kasus khusus yang penting dengan koefisien konstan adalah operator Laplace dalam tiga variabel (1.10)
,
operator gelombang di dua variabel ruang (1.11)
,
dan operator panas di dua variabel ruang (1.12)
Dalam (1.10) dan (1.11),
.
dan
adalah variabel ruang dan
adalah variabel waktu.
Contoh 1.5
Operator biharmonik di (1.13)
:
Adalah operator parsial diferensial linear orde ke-4 yang muncul dalam studi elastisitas.
Principal part
Principal part adalah solusi dari PDP linear yang hanya bergantung pada orde tertinggi dari persamaan yang diberikan. P( x, D)
(1.14)
a
( x). D
m
Bentuk Persamaannya menjadi: Pm ( x, D)
(1.15)
a
( x).D
m
Principal part untuk operator diferensial
P( x, D) D12 sin( x1 x2 ) D22 x22 D1 D2 x1 D2 e
x12
x12
karena yang digunakan adalah orde tertinggi yaitu yang berorde 2 sehingga x1 D2 e dihilangkan. Jadi, persamaannya menjadi: P2 ( x, D) D12 sin( x1 x2 ) D22 x22 D1D2
Kemudian Untuk orde 1 dari persamaan P( x, D) a1 ( x) D1 a2 ( x) D2 c( x) karena orde tertinggi 1 maka konstanta c dihilangkan. Sehingga persamaan menjadi: P1 ( x, D) a1 ( x) D1 a2 ( x) D2
(1.15)
Principal part untuk operator laplace dan operator gelombang akan sama dengan operator sebelumnya. Sementara itu principal part untuk operator panas P( D) D12 D2 adalah : P2 ( D) D12
(1.16) Terdapat vektor
yang semuanya tak nol ( 1 , 2 ,..., n ) R n . Jika terdapat
vektor dan arahnya sama. Arah yang di definisikan dari vektor tak nol di R karakteristik di titik yaitu: (1.17)
yang berhubungan dengan
Pm ( x, ) 0
n
0,
adalah
. Dengan persamaan karakteristik
Persamaan karakteristik Pm ( x, ) 0 pada Sisi kiri pada operator parsial P(x,D) yaitu D ( D1 , D2 ,..., Dn ) diganti oleh ( 1 , 2 ,..., n ) Sehingga persamaan karakteristik menjadi:
a
Pm ( x, )
( x). 0
m
Sebagai contoh persamaan karakteristik dari operator (1.4) menjadi 12 sin( x1 x2 ) 22 x 22 1 2 0
( ) √
Arah ( 1 , 2 ) (0,1) adalak karakteristik di titik
cocok dengan operator diatas.
Kemudian untuk persamaan karakteristik untuk operator gelombang adalah
Dengan arah
adalah karakteristik disetiap titik di
di
.
Secara umum, jika koefisien dari principal part adalah sebuah operator yang konstan kemudian arah karakteristiknya juga bebas dari x di
.
Permukaan Karakteristik
Misalkan ada permukaan mulus S di R n dan x 0 adalah titik di S. Permukaan S dikatakan karakteristik di x 0 yang bersesuaian dengan P(x,D). Jika vektor normal S di x 0 mendefinisikan arah yang bersesuaian dengan P(x,D) dan jika permukaan S adalah karakterisiti yg bersesuaian dengan P(x,D) di semua titik di S maka S disebut permukaan karakteristik. Kurva karakteristik merupakan bagian dari permukaan karakteristik yang titik-titiknya berada di R 2 dan semua titiknya karakteristik.
√√
Sebuah garis di
di
bersesuaian dengan operator norlanya (0,1)pada garis
adalah karakteristik di titik
P( x, D) D12 sin( x1 x2 ) D22 x22 D1 D2 x1 D2 e
adalah sebuah arah karakteristik pada titik x1
dengan operator P( x, D) D12 sin( x1 x2 ) D22 x22 D1 D2 x1 D2 e 2 . Bidang
gelombang. Karena dengan
di
x12
yang
karena vektor
yang bersesuain
adalah permukaan karakteristik pada operator
pada bidang yang semua titiknya karakteristik yang bersesuain
Gambar 1.1
Gambar 1.2
Soal
Tuliskan principal part
untuk masing-masing operator parsial diferensial (1.6) – (1.13),
Jawab:
Principal part untuk masing-masing persamaan (1.6) – (1.13) adalah:
2. Metode untuk menentukan permukaan dan kurva karakteristik, Contoh-contoh
Langkah pertama untuk mencoba menemukan kurva atau permukaan karakteristik dari sebuah operator differensial parsial linear adalah dengan menuliskan persamaan karakteristik.
Jika koefisien dari principal part dari operator adalah konstant kemudian persamaan karakteristik adalah sebuah polinomial homogen dalan
dengan koefisien konstanta. Ini
memungkinkan untuk mendapatkan arah karakteristik dan menentukan permukaan karakteristik dengan geometric reasoning sederhana. Berikut ini 5 contoh dalam ini.
mengilustrasikan metode
Contoh 2.1
Dalam
misalkan
dan principal part adalah
Dengan orde
.
Persamaan karakteristik adalah Sehingga arah
adalah arah karakteristik pada setiap titik pada
. Kurva karakteristik
adalah berupa garis
Contoh 2.2
Dalam
selesaikan operator Laplace
Persamaan karakteristik adalah Yang cocok dengan
.
.
.
Maka akibatnya tidak terdapat arah karakteristik sehingga operator Laplace tidak memiliki kurva karakteristik.
Contoh 2.3
Selesaikan operator Panas Principal Part adalah
pada
.
Dan persamaan karakteristik adalah :
Seperti halnya dalam contoh 2.1, kurva karakteristik adalah garis
Contoh 2.4
Selesaikan operator gelombang Persamaan karakteristik adalah Kurva tangent:
Sehingga
pada
.
dan
0
. Kurva karakteristik adalah berupa garis lurus membentuk sudut 45 garis
dan
( lihat gambar 2.1). catatan bahwa setiap titik
tepat dua kurva karakteristik. Seperti pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1
melewati
Contoh 2.5
Persamaan Dimana
adalah konstanta disebut persamaan telegraph.disini kita gunakan
menetapkan dari dapat ditulis :
Persamaan karakteristik :
.
Kurva karakteristik berupa garis lurus
dalam
. Principal part dari operator differensial parsial (p.d.o). persamaan
Vektor yang tepat adalah vektor
bidang
dan
. Ambil setiap titik pada
yang tepat melewati dua kurva karakteristik.
Contoh 2.6
Di
misalkan
P( x, D) a1 ( x) D1 a2 ( x) D2 c( x) .
Orde m 1 , principal partnya adalah
P( x, D) a1 ( x) D1 a2 ( x) D2 dan persamaan karakteristiknya adalah
a1 ( x) 1
a2 ( x) 2
0.
Misalkan, C adalah kurva karakteristik dengan parameter
x1
f 1 (t ), x2
f 2 (t ) .
dx dx1 dx2 dx , , maka 2 , 1 adalah normal di C. dt dt dt dt
Garis singgung kurva ini ditentukan oleh Oleh karena itu, a1 ( x1 , x2 )
dx2 dt
a2 ( x1 , x2 )
dx1 dt
0.
Jadi, kurva karakteristik bisa diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial a1 dx 2 a 2 dx1 0 .
Misalnya, kurva karakteristik dari D1 D2 adalah solusi dari persamaan dx2 dx1 0
yaitu garis x 2 x1 c .
(1)
Kurva karakteristik dari D1 x1 D2 adalah solusi dari persamaan dx 2 x1 dx1 0 (2) yaitu parabola x 2 x12 2 c . (Lihat Gambar 2.2)
Gambar 2.2
Contoh 2.7
Di
operator 2 2 P ( x, D) x 2 D1 D2
disebut operator Tricomi dan muncul dalam hidrodinamika. Persamaan karakteristiknya adalah x 2 12 22 0 .
Di setengah bidang atas, x 2 0 , tidak ada arah karakteristik sehingga tidak ada kurva karakteristiknya. Untuk x 2 0 , arah karakteristik di setiap titik x1 , x 2 diberikan oleh vektor
1, x2 . Seperti dalam contoh 2.6 kita menyimpulkan bahwa kurva karakteristik adalah
solusi dari persamaan
Solusi persamaan ini adalah
(3)
Jadi, kurva karakteristik dua parameter satu keluarga kurva diilustrasikan pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3
Sekarang kita beralih untuk contoh dalam dimensi yang lebih tinggi.
Contoh 2.8
Di
kita pandang operator Laplace
.
Persamaan karakteristiknya adalah
satu-satunya solusi yaitu
. Oleh karena itu, tidak ada arah karakteristik
dan permukaan karakteristiknya.
Contoh 2.9
Pandang operator panas di
,
dimana kita menggunakan t untuk variabel ke (n+1). Pricipal partnya adalah
dan persamaan karakteristiknya adalah
Satu-satunya
arah
karakteristik
karakteristiknya adalah bidang
adalah .
dan
permukaan
Contoh 2.10
Di
⁄√
pandang operator gelombang
dimana kita menggunakan t untuk variabel ke (n+1). Persamaan karakteristiknya adalah .
Untuk mencari panjang vektor unit yang memenuhi persamaan ini, kita harus memisalkan
maka kita harus punya
. Karena komponen dari sebuah vektor yang membentuk
sudut terhadap koordinat axis-nya adalah cosinus dari sudut tersebut, maka arah karakteristiknya membentuk sudut
terhadap sumbu t.
Setiap permukaan n dimensi yang normal di setiap titik yang membentuk sudut sumbu t adalah karakteristik. Misalnya, bidang
dan
terhadap
adalah karakteristik. Permukaan kerucut ganda
adalah permukaan karakteristik yg berperan penting dalam mempelajari operator gelombang, atau disebut juga characteristic cones. Gambar 2.4 menunjukkan sebuah characteristic cones dalam ruang tiga dimensi, dimana setiap titik cones-nya.
adalah puncak dari characteristic
Umumnya, untuk menentukan permukaan karakteristik pada tiga dimensi atau lebih adalah hal yang sulit.
Gambar 2.4
3. Bagian Terpenting pada Karakteristik. Sebuah Contoh yang Sangat Sederhana
Pada bagian ini kita akan mengilustrasikan bagian terpenting dari sebuah karakteristik
dengan mendiskusikan operator diperensial parsial yang paling sederhana yang mungkin, operator
pada bidang
. Seperti yang telah kita lihat pada bagian sebelumnya,
(0,1) hanya merupakan arah karakteristik dan karakteristiknya merupakan garis konstanta.
Pertama – tama kita lihat bahwa karakteristik adalah pengecualian untuk masalah (nilai awal) Cauchy. Masalah Cauchy untuk suatu persamaan diferensial parsial orde pertama pada dua variabel bebas menginginkan suatu solusi u dari persamaan pada suatu domain yang memuat kurva c pada nilai dari u yang diberikan. Kurva c dinamakan kurva awal (manifold awal) dari
permasalahan dan pemberia, nilai u pada C dinamakan data awal. Pertama perhatikan bahwa kurva awal C bukan karakteristik terhadap
. Kemudian vector normal terhadap C pada setiap
titik harus memiliki komponen yang tidak nol pada arah x dan oleh karena itu C harus memenuhi persamaan dengan bentuk
Misalkan masalah nilai awal
Dimana f(y) fungsi yang telah diberikan, persamaan diferensial (3.2) mengakibatkan sepanjang garis y = konstanta, u(x,y) adalah konstan, bebas dari x. Oleh karena itu u(x,y) = dari kondisi awal (3.3) kita lihat bahwa
dan
Ini merupakan solusi tunggal (unik) dari masalah (3.2), (3.3) . Perhatikan bahwa sekarang kurva awal c adalah kurva karakteristik, misalkan garis y = 0 dan anggap masalah Cauchy
Gambar 3.1
Andaikan (3.2)
kurva awal yang karakteristik, misalkan garis
(3.4)
Dimana
adalah fungsi yang diberikan. Jika
. Anggap masalah Cauchy
merupakan fungsi yang tidak konstan maka
tidak dapat dijadikan sebagai solusi untuk masalah (3.2) dan (3.4) karena persamaan diferensial pada (3.2) kontradiksi dengan kondisi awal (3.4) pada garis awal , sedangkan
Jika
fungsi
untuk setiap
).
maka untuk sebarang fungsi
( konstan,
yang memenuhi kondisi
,
⁄ adalah solusi untuk masalah (3.2) dan (3.4), definisikan
, dengan
jadi
ini
.
dan
merupakan
memilikibanyaksolusi.Ketikakurvaawal
solusi.
, karena
Karena
jadi
adalah karakteristik maka solusi untuk masalah
Cauchy yang diberikan tidak akan ada solusi atau memiliki tak hingga banyaknya solusi.
Ciri penting karakteristik adalah karakteristik merupakan suatu solusi persamaan diferensial parsial atau turunan fungsi yang tidak kontinu. Untuk kasus operator variabel tunggal, maka
. Jika
adalah solusi dari persamaan diferensial
memiliki fungsi yang tidak kontinu tangga di titik tidak kontinu tangga di garis
maka solusi
maka
. Jika
memiliki fungsi yang
yang merupakan garis karakteristik. Jika
fungsi tidak kontinu tangga di titik
fungsi dengan
memiliki
memiliki fungsi tidak kontinu tangga di garis
yang merupakan garis karakteristik.
Karakteristik berperan penting dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial orde pertama. Sebagai contoh, solusi dari persamaan (3.5)
Diberikan oleh (3.6)
Dimana integral tersebut merupakan integral garis yang menjadi kurva karakteristik = konstanta. Perhatikan bahwa jika kurva karakteristik
= konstanta maka persamaan
diferensial parsial (pdp) pada (3.5) sebenarnya merupakan persamaan diferensial biasa (pdb). Fakta ini umumnya benar untuk semua pdp linear orde pertama dan untuk menyelesaikan masalah nilai awal persamaan ini, dapat diselesaikan dengan menyelesaikan masalah nilai awal untuk pdb. Karakteristik dapat digunakan untuk mengenalkan koordinat baru dalam persamaan diferensial yang memiliki bentuk yang sederhana yang disebut persamaan bentuk kanonik (bentuk alternatif).
Soal
Anggap masalah nilai awal untuk persamaan Perhatikan bahwa kurva ini karakteristik di
dengan kurva awal parabola
.
tapi tidak karakteristik di titik lainnya.
Tunjukkan bahwa kecuali data awal yang memenuhi kondisi ini, masalah nilai awalnya tidak
memiliki solusi global. Bagaimanapun, jika dengan
sebarang titik dari kurva awal yang berbeda
, tunjukkan bahwa masalah nilai awal selalu memiliki sebuah solusi dalam suatu
persekitaran (yang cukup kecil) dari
. Apakah benar untuk
?
Jawab:
dengan
sehingga titik
konstanta memiliki kurva karakteristik
terletak di kurva tersebut.
. Karena
(dari titik
karakteristik hanya di Misalkan
maka
konstanta
maka
yang memenuhi hanya untuk
. Jadi kurva
.
, sedangkan
maka
jelas bukan
merupakan solusi, jadi tidak memiliki solusi global. Misalkan
, karena
maka persekitaran
terletak pada kurva
maka
akan ada sebuah solusi yaitu yang memuat titik
, untuk
dan kurva
.
Untuk
dan untuk
memuat titik
4.
dan kurva
maka persekitaran
akan ada sebuah solusi yaitu yang
.
Masalah Nilai Awal untuk Persamaan Linear Orde Pertama dalam Dua Variabel Bebas
Dalam subbab ini kita memandang masalah nilai awal untuk persamaan linear orde pertama dalam dua variabel bebas secara umum. Karena persamaan linear adalah kasus khusus dari persamaan quasi-linear, maka cara untuk menentukan keberadaan dan solusi tunggal yang bisa didapat mengikuti cara dari bab sebelumnya, yakni tentang persamaan quasi-linear. Masalah Nilai Awal
Misalkan diberikan kurva awal C secara parametris oleh persamaan :
Dimana
. Temukan suatu fungsi
suatu domain yang memuat C, sedemikian sehingga:
yang didefinisikan dalam
( ) solusi di untuk persamaan
i)
(4.2) ii)
Pada kurva C, (4.3)
Untuk (4.2), kita asumsikan bahwa
, dan
adalah koefisien dari principal part
dari (4.2) yang tidak nol secara bersamaan pada titik di .
Teorema 4.1
Misalkan
adalah titik dari kurva awal C, dan anggap C bukan karakteristik pada
yang mengacu pada persamaan (4.2). maka suatu persekitaran U dari
, adalah
suatu solusi tunggal dari (4.2), yang memenuhi (4.3) disetiap titik di C yang dimuat di U Jika
nilai awal kurva parameter t sesuai dengan titik normal terhadap C pada
artinya
, maka vector
, dan C bukan karakteristik pada
tidak memenuhi persamaan karakteristik dari (4.2) pada
, yaitu
Ini memenuhi kondisi (3.9) pada Teorema 3.1 di BAB III khusus untuk menyajikan kasus linear.
Secara singkat, Teorema 4.1 menegaskan keberadaan dan ketunggalan solusi dari masalah nilai awal (4.2), (4.3) di persekitaran dari setiap titik dari awal kurva C dimana C bukan karakteristik sehubungan dengan persamaan. Perbedaan antara kasus linear dan quasi-linear harus secara cermat dicatat. Pada kasus quasi-linear, kondisi dasar (3.9) pada Teorema 3.1 pada BAB III tidak hanya melibatkan persamaan diferensial dan kurva tetapi melibatkan juga data awal. Pada kasus linear, kondisi awal (4.4) hanya melibatkan persamaan dan kurva awal dan tidak melibatkan data awal. Kata “karakteristik” dapat digunakan (dan sering digunakan) pada kasus quasi-linear dan
nonlinear serta dalam kasus linear. Sehingga kondisi awal (3.9) pada Teorema 3.1 dapat dinyatakan dengan mengatakan bahwa kurva awal C bukan karakteristik pada
sehubungan dengan persamaan diferensial dan diberikan data awal. Namun pada buku ini kita telah memilih untuk menggunakan kata karakteristik hanya pada kasus linear. Berikut ini masalah nilai awal khusus yang sering muncul dalam aplikasi:
(4.5) (4.6)
Perhatikan bahwa kurva awal pada masalah ini adalah sumbu-x. Karena vector (0,1) normal terhadap sumbu-x dan karena
Sumbu-x adalah bukan karakteristik sehubungan dengan persamaan (4.5). Oleh sebab itu, Teorema 4.1 menghasilkan Akibat.
Akibat 4.1
Misalkan kelas
dalam suatu himpunan buka yang memuat
suatu interval buka yang memuat dari masalah nilai awal (4.5), (4.6).
Selesaikan masalah nilai awal
(4.8)
Penyelesaian:
Persamaan (4.7) bersesuaian dengan persamaan (4.5)
dimana
dan persamaan (4.8) bersesuaian dengan persamaan (4.6)
dimana
dan ϕ adalah dari kelas
. Maka, dalam persekitaran
Contoh 4.1
(4.7)
adalah sebarang titik pada sumbu x dan misalkan a, c, dan f adalah dari dalam
terdapat solusi tunggal
Berdasarkan Akibat 4.1 maka, terdapat solusi tunggal dari masalah ini pada persekitaran di setiap titik pada sumbu x. Akan dicari sebuah solusi umum yang valid pada bidang
. Dengan
menggunakan sistem persamaan diferensial biasa yang berkaitan dengan persamaan diferensial
∫∫
parsial (4.7), yaitu
dengan (4.9)
, maka
Misal dimulai dari persamaan diferensial biasa
(4.10) Jadi,
Apakah
solusi?
(Apakah
Substitusi
Jadi, Jadi,
Misal
integral pertama dari (4.9)?)
ke
adalah integral pertama dari (4.9). adalah solusi.
∫ ∫
maka,
substitusi pada persamaan diferensial biasa
Substitusi
ke
(4.11) Jadi,
Apakah
solusi?
(Apakah
Substitusi
integral pertama dari (4.9)?)
ke
Jadi, Jadi,
adalah integral pertama dari (4.9). adalah solusi.
Apakah
dan
adalah solusi yang bebas linear
secara fungsional?
Jadi,
secara fungsional.
Karena
dan
adalah solusi yang bebas linear
tidak bergantung pada u, maka integral umum dari persamaan
diferensial parsial (4.7)
(4.12)
dimana F adalah fungsi mensubstitusikan
(4.13)
dengan variabel tunggal. Kondisi awal (4.8) menentukan F . Dengan
dan
ke (4.9), maka
Sehingga,
(4.14)
Jadi, solusi tunggal dari (4.7) dan (4.8) adalah
Kasus berikutnya dimana kurva awal C diberikan oleh (4.1) adalah karakteristik yang bersesuaian dengan persamaan diferensial parsial (4.2) pada titik Maka vektor normal di
, yaitu
atau (4.15)
( )
harus memenuhi persamaan karakteristik dari (4.2)
Teorema 4.2
Misalkan kurva awal C adalah karakteristik sehubungan dengan (4.2) di
(4.16)
Dimana
.
dan
adalah nilai umum dari rasio di (4.15). maka tidak ada solusi untuk nilai awal masalah
(4.2),(4.3) di semua persekitaran dari titik
.
Teorema 4.3
Misalkan kondisi (4.17)
Terpenuhi untuk semua t persekitaran dari
yang tak berhingga.
(atau setidaknya untuk semua t di persekitaran
). Maka
masalah nilai awal dari (4.2),(4.3) mempunyai solusi
5.
Masalah Umum Cauchy. Teorema Cauchy-Kovalevsky dan Ketunggalan Teorema Holmgren
Masalah Umum Cauchy
Dengan mempertimbangkan persamaan diferensial parsial berorder m, (5.1)
∑ | | | |
dimana koefisien
dan
pada ruas kanan merupakan fungsi dari
S adalah permukaan mulus di
dan
. Diberikan
menotasikan unit vector normal ke S di x.
Misalkan nilai u pada S dan semua turunan berarahnya pada arah n dan berorder lebih dari m-1 diberikan sebagai berikut. (5.2) Dimana
|
adalah fungsi yang terdefinisi di S. Dengan menemukan solusi u pada
persamaan (5.1) yang terdefinisi pada domain yang memuat S dan memenuhi persamaan (5.2) pada S.
Permukaan S disebut permukaan awal dan kondisi (5.2) disebut kondisi awal. Fungsi yang terdefinisi pada S disebut data awal.
Teorema Cauchy-Kovalevsky mensyaratkan semua fungsi yang muncul pada pernyataan n
masalah serta permukaan awal S haruslah analitik. Permukaan S di R dikatakan analitik jika S
ketinggian permukaan pada fungsi analitik, yakni jika digamabarkan dengan persamaan berikut:
dimana F adalah fungsi analitik dengan gradien tidak nol.
Teorema 5.1 (Teorema Cauchy-Kovalevsky)
Misalkan
awal
adalah titik pada permukaan awal S. Koefisien
∑||
,f pada ruas kanan, data
dan permukaan awal S semuanya analitik di persekitaran
permukaan awal S tidak karakteristik di (5.3)
. Selanjutnya
berhubungan dengan persamaan (5.1) yaitu:
Maka masalah Cauchy (5.10)-(5.2) memiliki solusi u(x) yang terdefinisi dan analitik di persekitaran
, dan solusinya tunggal di kelas fungsi analitik.
Teorema ini memiliki dua pernyataan yaitu:
1. Ada solusi analitik di persekitaran di
2. Solusinya tunggal di kelas fungsi analitik
Dengan kata lain pernyataan ini menjelaskan bahwa ada fungsi u yang terdefinisi dan analitik di persekitaran U dari
dan setiap titik
, u memenuhi persamaan (5.1) dan di setiap titik x
bagian S mengandung U, u memenuhi kondisi awal (5.2).
Pernyataan ketunggalan tersebut menyatakan bahwa dua solusi analitik pada persamaan (2.7)
(2.8)
0
harus tepat berada di persekitaran x . Pernyataan ketunggalan ini masih berlaku jika adanya kemungkinan lebih dari satu solusi problem Cauchy, dimana solusinya belum tentu analitik. Sebagai contoh misalkan ada dua atau lebih solusi yang berbeda dalam kelas fungsi dimana C
m
0
ada dalam persekitaran x .
Teorema 5.2 (Teorema Ketunggalan Holmgren)
Asumsikan Teorema Cauchy-Kovalevsky terpenuhi., lalu ada 2 solusi Cauchy pada persamaan
(5.1)-(5.2) yang terdefinisi dan ada pada kelas s di persekitaran
6.
.
pada persekitaran
, haruslah tepat sama
Bentuk Kanonik dari Persamaan Diferensial Orde Pertama
Pertimbangkan bentuk umum persamaan diferensial parsial orde pertama dalam dua variabel bebas: (6.1)
Dimana koefisien-koefisien andaikan bahwa
dan
di
didefinisikan di beberapa daerah asal dari
. Kita
dan tidak nol secara simultan pada sebarang titik dari . Kita
akan menunjukkan bahwa di sebuah persekitaran dapat mengenalkan koordinat- koordinat baru
pada sebarang titik
dan
diferensial parsial (6.1) mengambil bentuk sederhana (6.2)
.
dalam istilah
pada , kita
yang mana persamaan
Sehingga, dalam koordinat-koordinat yang baru, persamaan diferensial parsial (6.1) menjadi sebuah persamaan diferensial biasa dengan
sebagai variabel bebas dan
sebagai
sebuah parameter yang mungkin dipandang sebagai sebuah konstanta. Persamaan (6.2) disebut bentuk kanonik (alternatif) dari persamaan (6.1). Kita juga katakan bahwa di
, koordinat-
koordinat persamaan dalam bentuk kanonik (alternatif). Seringkali bentuk kanonik (6.2) dapat
secara mudah terintegralkan dan, setelah mengembalikan pada koordinat-koordinat awal yaitu dan
, solusi umum dari persamaan diferensial parsial (6.1) dapat dihasilkan. Contoh 6.1
mengilustrasikan tahap- tahap ini.
Misalkan koordinat- koordinat yang baru koordinat awal (6.3)
dan
dihubungkan dengan koordinat-
oleh persamaan
Karena kita hanya tertarik dengan transformasi tak singular yang mulus dari koordinatkoordinatnnya , kita harus menginginkan bahwa fungsi-fungsi Jacobiannya tidak sama dengan nol, yaitu (6.4)
Jika kondisi (6.4) dipenuhi pada titik persekitaran dari (6.5)
di
dan
dari , maka kita ketahui bahwa di sebarang
kita juga memiliki hubungan invers : .
Sekarang dari aturan rantai, kita punya (6.6)
Dan dengan mensubstitusikan (6.5) dan (6.6) ke persamaan (6.1) kita menghasilkan persamaan (6.7) dimana (6.8)
Dari (6.8) kita lihat pertama (6.9)
jika
adalah sebuah solusi dari persamaan diferensial orde
Persamaan (6.9) memiliki solusi-solusi tak hingga banyaknya. Kita dapat menemukan salah satu dari mereka dengan menetapkan nilai awal pada kurva awal nonkarakteristik dan
menyelesaikan hasil masalah nilai awal mengikuti metode yang dijelaskan pada bab III atau sub bab 4 di bab ini. Andaikan untuk contoh bahwa (6.10)
, kita boleh menetapkan
.
Karena kurva awal
adalah bukan karakteristik dengan menghubungkan (6.9) pada
, terdapat sebuah solusi tunggal dari (6.9), (6.10) di sebuah persekitaran
[jika
dari
.
adalah solusi dari (6.9) dan (6.10) di sebuah persekitaran pada
.
kita sederhanakan ulang peran dari
Misalkan
Kita bebas mengambil fungsi
.]
hanya untuk kondisi (6.4) yaitu
. Dari (6.10) kita
punya
dan jika kita ambil
kondisi (6.4) dipenuhi pada
. Sedemikian sehingga (dengan kekontinuan) itu jjuga
dipenuhi di sebuah persekitaran di yang mana jika
. Misalkan
adalah sebuah persekitaran dari
terdefinisi dan pada waktu yang bersamaan
pada beberapa titik dari
. Maka
, maka pada titik tersebut (karena
(6.8) akan membentuk sebuah sistem persamaan linear homogen di merupakan determinan dari koefisien-koefisiennya. Karena
pada titik tersebut, mengkontradiksi pengandaian awal kita bahwa simultan. Akhirnya, karena
dan
di
juga ) persamaan
dan
,
. Untuk
dengan
dan
dan
secara jelas
keduanya harus nol
tidak nol secara
kita dapat membagi persamaan (6.7) oleh
dan menghasilkan bentuk kanonik yang diinginkan (6.2). Itu harus diperluas bahwa fungsi-fungsi
dan
menjelaskan transformasi
dari koordinat-koordinat (6.3) yang mana hasil dari bentuk kanonik (6.2) dapat dipilih secara banyak (faktanya takhingga banyaknya) cara. Bagaimanapun, karena persamaan (6.9), tingkatan kurva-kurva
harus memenuhi
, selalu kurva karakteristik dari
persamaan (6.1). sehingga, himpunan pertama dari kurva-kurva koordinat yang baru adalah kurva karakteristik dari (6.1). himpunan kedua dari koordinat kurva-kurva
boleh diambil menjadi sebarang sebuah keluarga parameter dari kurva-kurva mulus yang mana
tempat bersinggungan dengan kurva-kurva karakteristik (lihat gambar 6.1). Dalam perbincangan di atas ,himpunan kedua dari koordinat-koordinat kurva-kurva telah dipilih untuk menjadi himpunan dari garis-garis paralel pada sumbu-y
Gambar 6.1
Contoh 6.1
Perhatikan persamaan (6.11)
Tentukan bentuk kanonik dan solusi umum dari persamaan diferensial parsial (6.11).
Penyelesaian
Dimana Fungsi (6.12)
,
,
,
harus memenuhi
dan kita boleh mengambik kondisi awal (6.13)
, dan
. Kita boleh mengambil
.
Solusi umum dari
adalah
, dan berdasarkan contoh 2.2 dari Bab III, solusi
umum dari (6.12) adalah
. Untuk memenuhi (6.13) kita harus mengambil
dengan demikian kita memperoleh solusi dari (6.12), (6.13)
(6.14)
yang termuat dalam
. Jika kita ambil
(6.15)
kita lihat bahwa Jacobiannya adalah
Oleh karena (6.14), (6.15) memberi sebuah transformasi nonsingular dari koordinat dalam dan hubungan inversnya
dan
Sekarang,
dan
Dan dalam koordinat baru
persamaan diferensial parsial (6.11) menjadi
(6.16)
Solusi umum dari (6.16) adalah (6.17)
dimana
adalah sebuah fungsi dari
. Kembalikan ke variabel
dan
kita peroleh solusi
umum dari (6.11) (6.18)
Masalah
6.1
Gunakan solusi umum (6.18) dari (6.11) untuk mencari solusi dari masalah nilai awal dari
persamaan diferensial parsial (6.11) berikut a)
Penyelesaian
Solusi umum (6.18)
Dalam kasus ini
Sehingga, solusi umum untuk masalah nilai awal
adalah
b)
Penyelesaian
Solusi umum (6.18) Dalam kasus ini
Sehingga, solusi umum untuk masalah nilai awal
7.
adalah
Klasifikasi dan Bentuk Kanonik Persamaan Orde Dua dalam Dua Variabel Bebas
Bentuk umum persamaan diferensial parsial linear orde dua dalam dua variabel bebas
adalah (7.1)
dimana
dan
dan
adalah anggota
adalah fungsi dalam variabel
. Pada bagian ini kita asumsikan
dan tidak nol secara simultan.
Kita akan mempelajari persamaan (7.1) di domain
dengan diskriminannya
adalah
(7.2)
yang bernilai positif, negatif atau nol.
Persamaan (7.1) akan dibuat dalam koordinat baru
dari titik
dan
pada suatu persekitaran
sehingga memiliki bentuk principal part yang lebih sederhana atau yang
biasa disebut kanonik.
Misalkan koordinat baru dinotasikan oleh
yaitu
melalui persamaan
yang menggantikan koordinat lama
(7.3) Misalkan
( ) dan
merupakan fungsi-fungsi di
dan memiliki nilai
Jacobian yang tidak sama dengan nol
(7.4)
maka ada relasi invers
dan
.
Kemudian dengan menggunakan aturan rantai diperoleh, (7.5) dan (7.6)
Pada persamaan diatas untuk turunan dari
yang berorde kurang dari dua, dituliskan sebagai
titik-titik agar lebih sederhana. Dengan mensubstitusikan (7.4) dan (7.5) diperoleh (7.7) dimana
Persamaan (7.9) memiliki diskriminan
Berdasarkan (7.3)
, maka tanda dari sama dengan tanda dari . Dari hasil ini
menurunkan teorema berikut.
Teorema 7.1
Tanda dari diskriminan persamaan diferensial parsial linear orde dua dalam dua variabel bebas akan sama (invariant) dalam transformasi koordinat baru.
Definisi 7.1
Misalkan adalah diskriminan dari persamaan diferensial parsial linear orde dua dalam
dua variabel bebas. a) Jika b) Jika c) Jika
pada pada pada
, maka persamaan disebut hiperbolik pada , maka persamaan disebut parabolik pada , maka persamaan disebut eliptik pada
Persamaan disebut hiperbolik, parabolik, atau eliptik pada domain di hiperbolik, parabolik, atau eliptik di setiap titik di .
jika berturut-turut
Contoh 7.1
1) Persamaan gelombang
hiperbolik di
.
2) Persamaan kalor
parabolik di
.
3) Persamaan Laplace
eliptik di
.
Bentuk kanonik dari persamaan orde dua (7.1) akan diklasifikasi berdasarkan definisi 7.1 dan dijelaskan melalui teorema-teorema berikut. Teorema 7.2
Misalkan persamaan (7.1) hiperbolik di domain
titik
di
di
, dalam koordinat baru
dan
. Maka pada persekitaran
dari sebarang
bentuk kanonik dari persamaan tersebut adalah
. Bentuk kanonik lain dari persamaan hiperbolik dapat dihasilkan dari bentuk (7.13) dengan
merotasi koordinat-koordinat baru. Bentuknya adalah
.
Jadi, pada persekitaran dari sebarang titik di
, dengan koordinat baru, setiap persamaan
hiperbolik dalam dua variabel bebas dapat diubah dalam bentuk kanonik yang memiliki principal part sama seperti persamaan gelombang.
Pembuktian:
Untuk mendapatkan bentuk persamaan kanonik (7.7) maka harus dipilih fungsi
dan
sedemikian sehingga koefisien
bersamaan.
dan
pada persamaan (7.6) nol secara
Sekarang pandang persamaan kuadrat
memiliki nilai diskriminan
Karena ∆ > 0 akan memiliki 2 akar yang berbeda .
Kemudian persamaan di atas substitusikan ke persamaan (7.8). Akan di cek A = C = 0
Periksa Jacobiannya
0
Karena
maka ia memiliki dua akar yang berbeda.
maka
dan
juga
0 , maka J
0
Contoh 7.2
Tentukan solusi persamaan gelombang Jawab:
Berdasarkan contoh 7.1, persamaan gelombang di atas adalah hiperbolik di
berdasarkan Teorema 7.2, bentuk kanoniknya adalah dahulu fungsi
diperoleh
Untuk
dan
Akibatnya
. Namun harus dipilih terlebih
dari persamaan kuadrat
dan
, sehingga
dipilih dari solusi persamaan diferensial
diperoleh Untuk ;
diperoleh
Ini berarti
dan
akibatnya titik-titik persamaan kanoniknya adalah 0, sehingga
diperoleh
Integralkan terhadap , diperoleh
Integralkan kembali terhadap , diperoleh
Lalu kembalikan ke dalam koordinat lama yaitu gelombang
dan , maka diperoleh solusi dari persamaan
Teorema 7.3
Andaikan persamaan (7.1) parabolik di domain . Maka di beberapa persekitaran sebarang titik
pada , kita dapat memperkenalkan koordinat baru
kanonik dari persamaan tersebut adalah
(7.3) di
.
dan
dari
dan bentuk
Jadi, pada persekitaran dari sebarang titik di dengan koordinat baru, setiap persamaan
parabolik dalam dua variabel bebas dapat diubah dalam bentuk kanonik yang memiliki principal part sama seperti persamaan heat .
Pembuktian:
Sebelumnya kita lihat terlebih dahulu Persamaan heat : uxx + uy = 0
kanonik
konsep principal part orde tertinggi disini adalah orde 2 maka
sama dengan persamaan parabolik.
Misalkan
sebarang titik di . Karena
hilang secara bersamaan di
bentuk
, kita bisa asumsikan a dan c tidak
. Di lain pihak b bisa saja hilang di
. Hal ini
kontradiksi dengan asumsi awal di (7.1) bahwa a,b,c tidak boleh hilang secara bersamaan. di persekitaran U dari
Kita misalkan persamaan (7.15)
Mempunyai akar tunggal yaitu
Dan misalkan (x,y) adalah solusi dari persamaan
Mengapa di pilih
?
. Karena
, maka dari
karena
dan telah kita misalkan bahwa
Dari persamaan (7.9) kita ingin menunjukan bahwa
maka akan ditunjukan
.
atau tidak.
dari persamaan (7.15)
Untuk
kita dapat gunakan sembarang fungsi yang independen dari
Untuk contoh kita ambil
,
Kita akan menunjukan bahwa Jacobian ≠ 0
(7.11)
dari (7.12)
Dari persamaan (7.12)
diketahui dari perhitungan sebelumnya C = 0
(agar Jacobian
di U .
Terbuti
persamaan parabolik
Akhirnya dari persamaan pertama (7.9) kita mempunyai
di U.
Karena di awal dikatakan A≠0 dan membagi (7.8) oleh A, kita dapatkan bentuk kanonik yang di inginkan. Diketahui C = 0 dan B = 0
Pers. Parabolik dari bentuk
diketahui di atas B=C=0
Maka teorema diatas terbukti.
Teorema 7.4
Andaikan bahwa persamaan (7.1) eliptik di domain . Maka di beberapa persekitaran dari sebarang titik
pada , kita dapat memperkenalkan koordinat baru
bentuk kanonik dari persamaan tersebut adalah (7.4) di
.
dan
dan
Jadi, pada persekitaran dari sebarang titik di , dengan koordinat baru, setiap persamaan
eliptik dalam dua variabel bebas dapat diubah dalam bentuk kanonik yang memiliki principal part sama seperti persamaan Laplace.
Catatan:
Sebelumnya kita lihat terlebih dahulu Persamaan Laplace
konsep pricipal part adalah mengambil orde tertinggi, orde tertinggi disini adalah 2
Jadi
maka bentuk kanonik
persamaan eliptik.
sama dengan
Contoh Soal: PERSAMAAN HIPERBOLIK
Contoh :
Secara lengkap di jabarkan:
Berdasarkan contoh 7.1, persamaan gelombang di atas adalah hiperbolik di berdasarkan Teorema 7.2, bentuk kanoniknya adalah dahulu fungsi
diperoleh
dan
dan
Akibatnya
. Namun harus dipilih terlebih
dari persamaan kuadrat
, sehingga
dipilih dari solusi persamaan diferensial
Untuk
diperoleh
Untuk ;
diperoleh
Ini berarti
dan
akibatnya titik-titik persamaan kanoniknya adalah 0, sehingga
diperoleh
Integralkan terhadap , diperoleh
Integralkan kembali terhadap , diperoleh
Kembalikan ke dalam koordinat lama
dan , maka diperoleh solusi dari persamaan gelombang
Contoh Soal PERSAMAAN HEAT
Dengan cara yang sama seperti diatas, soalini pun dapat diselesaikan.
... (7.23) yang parabolik in
a = 1, b = 0, c = 0, e = -1 Dari persamaan
punya satu akar persamaan yaitu
Dari yang tadi kita peroleh
Dan kita punya
8.
Persamaan Orde Dua dalam Dua atau Lebih Variabel Bebas
Bentuk umum persamaan diferensial parsial linear orde dua dalam adalah
variabel bebas
∑ ∑ * + (8.1)
dimana koefisien
dan
adalah fungsi dalam variabel bebas
. Pada
persamaan dua variabel bebas (7.1), klasifikasi bentuk kanonik didasarkan diskriminaan . Pandang koefisien dari principal part pada persamaan (7.1) sebagai matriks
(8.2)
Nilai eigen dari matriks tersebut adalah akar-akar dari persamaan
atau
(8.3)
Misalkan
adalah solusi akar dari persamaan tersebut. Perhatikan bahwa
(8.4)
Sehingga dapat disimpulkan bahwa, a)
b)
c)
tak nol dan bertanda saling berlawanan.
minimal salah satu dari
adalah nol.
tak nol dan bertanda sama.
Jadi, klasifikasi persamaan orde dua dalam dua variabel bebas dapat didasarkan
terhadap tanda dari nilai-nilai eigen koefisien matriks dari principal part -nya. Dari hasil persamaan dalam dua variabel bebas ini, dapat digeneralisasi untuk persamaan dalam lebih dari dua variabel bebas.
Nilai eigen
koefisien matriks dari principal part persamaan yang lebih dari dua
variabel yang didefinisikan pada persamaan (8.1), didefinisikan sebagai akar-akar dari
persamaan
(8.5)
Definisi 8.1
Misal
adalah nilai eigen dari koefisien matriks
untuk principal part pada
persamaan (8.1). a) Jika
tidak nol dan memiliki tanda yang sama di titik
tersebut disebut elliptic di b) Jika
.
tidak nol dan memiliki satu tanda yang berbeda di titik
persamaan tersebut disebut hyperbolic di c) Jika
, maka persamaan
.
tidak nol dan setidaknya memiliki dua tanda positif dan dua tanda
negatif di titik , maka persamaan tersebut disebut ultrahyperbolic di
d) Jika
, maka
bernilai noldi titik
.
, maka persamaan tersebut disebut parabolic di
Persamaan (8.1) disebut elliptic, hyperbolic, dsb. di domain Ω pada
apabila
persamaan tersebut elliptic, hyperbolic, dsb. secara berturut-turut pada setiap titik di Ω.
Contoh 8.1 Persamaan Laplace :
Persamaan ini disebut elliptic di
Karena memiliki nilai eigen,
,
.
atau
yang artinya semua bertanda sama.
Persamaan Gelombang :
Persamaan ini disebut hyperbolic di
, dimana
,
Karena memiliki nilai eigen,
yang artinya memiliki satu tanda yang berbeda.
adalah variabel waktu t .
Persamaan Kalor :
, dimana
Persamaan ini disebut parabolic di
adalah variabel waktu t .
,
Karena memiliki nilai eigen,
atau
tetapi
.
dan persamaan dibawah ini disebut ultrahyperbolic di
(karena memiliki setidaknya dua
tanda positif dan dua tanda negatif)
Kita dapat melihat pada pembahasan sebelumnya, bahwa untuk membuat
transformasi koordinat, setiap persamaan diferensial parsial orde dua dengan dua variabel bebas dapat direduksi menjadi bentuk kanonik pada setiap titik di persekitarannya. Pada umumnya, hal ini tidak dapat dilakukan untuk persamaan dengan dua variabel
∑
bebas. Tetapi, jika kita menggunakan teorema aljabar linear, hal itu dapat dilakukan. Misalkan diberikan titik (8.6)
di
, maka ada transformasi linear
∑ ∑
sedemikian sehingga dalam koordinat baru (8.7)
dimana di titik , nilai dari koefisien
(8.8)
Teorema 8.1
Misalkan koefisien
, persamaan (8.1) memiliki bentuk
adalah
pada persamaan (8.1) adalah konstan di beberapa domain
, maka terdapat suatu transformasi linear kooordinat dalam bentuk (8.6) dengan
[] ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
matriks nonsingular
sedemikian sehingga dalam koordinat baru
persamaan (8.1) memiliki bentuk kanonik (8.9) di
, dimana
bernilai salah satu dari
persamaan (8.1) adalah elliptic di
atau
di
. Khususnya, jika
, persamaan tersebut dapat direduksi menjadi bentuk
kanonik (8.10)
di
. Jika persamaan (8.1) adalah hyperbolic di
menjadi bentuk kanonik (8.11) di
.
, persamaan tersebut dapat direduksi
Definisi 8.2
[] ∑ [ ] ∑ [] [] Misalkan
adalah matriks simetrik. Polynomial homogeny
berorde dua berikut pada variabel (8.12)
disebut bentuk kuadratik yang berasosiasi dengan matriks simetrik adalah titik-titik di
Misalkan pula,
. Bentuk kuadratik (8.12) disebut definite positif jika
Sebuah teorema aljabar linear menyatakan bahwa nilai eigen dari matriks simetrik
adalah positif jika dan hanya jika bentuk kuadratik yang berasosiasi dengan
adalah positif definite. Dalam pandangan teorema tersebut, definisi eliptisitas tersebut pada domain ekuivalen dengan definisi yang telah diberikan sebelumnya. Asumsikan bahwa
∑
tanda di depan persamaan (8.1) telah dipilih sehingga
pada domain , persamaan
(8.1) dikatakan eliptik pada jika bentuk kuadrat (8.14)
definite positif
.
Persamaan eliptik orde kedua biasanya muncul pada studi masalah-masalah fisika yang berkaitan dengan fenomena keadaan tetap ( steady state phenomena). Sebagai contoh,
jika
adalah temperatur keadaan tetap ( steady state temperature) pada titik dari
isotropic nonhomogen tubuh, maka pada tiap titik interior ke tubuh, persamaan eliptik orde dua
haruslah memenuhi
∑ * +
(8.15)
Fungsi
selalu positif dan disebut koefisien konduktivitas termal dari tubuh pada
titik . Jika tubuh homogeny,
konstan, dan persamaan (8.15) menjadi persamaan
Laplace.
Fenomena perambatan gelombang ( wave propagation phenomena) seperti rambatan dari suara atau dari gelombang elektromagnetik dideskripsikan sebagai persamaan hiperbolik orde kedua dari bentuk umum
∑
(8.16)
Dimana titik-titik terdapat pada bentuk dari order kurang dari dua dan bentuk kuadrat berasosiasi dengan matriks
[]
adalah definite positif. Pada persamaan (8.16), terdapat
variabel bebas, n “ruang” variabel
dan satu variabel “waktu” . Untuk
menunjukkan bahwa persamaan (8.16) adalah hiperbolik sesuai dengan Definisi 8.1. Fenomena seperti arus panas ( flow of heat ) atau difusi dari cairan melewati poros medium biasanya dideskripsikan dengan persamaan parabolik orde dua
∑ ∑ []
(8.17)
dimana bentuk kuadrat berasosiasi dengan matriks persamaan (8.17) terdapat
adalah definite positif. Pada
variabel bebas. Perhatikan baik-baik peran khusus dari
variable waktu . Principal part dari persamaan tersebut tidak meliputi turunan yang berkaitan dengan
dan koefisien dari derivative orde pertama
adalah -1. Persamaan
(8.17) jelas parabolik menurut Definisi 8.1, dan karena karakter khususnya, terkadang disebut juga parabolic in the narrow sense. Kita tutup bahasan ini dengan beberapa catatan mengenai permukaan karakteristik dari persamaan orde dua. Perhatikan bahwa jika persamaan (8.1) adalah eliptik, maka tidak memiliki permukaan karakteristik. Nyatanya, vector tak nol
mendefinisikan arah yang karakteristik berkaitan dengan (8.1) jika (8.18)
∑ []
Menggunakan definisi dari eliptisitas pada bentuk ke-definite positif-an dari bentuk kuadrat berasosiasi dengan
dapat dilihat bahwa (8.18) tidak dapat dipenuhi oleh vector
tak nol . Oleh karena itu, persamaan eliptik orde dua tidak memiliki arah-arah karakteristik. Oleh karena itu, tidak memiliki permukaan karakteristik. Sifat ketidak adaan karakteristik ini biasanya mendefinisikan persamaan diferensial partial linear eliptik dengan berorde banyak.
Perhatikan persamaan parabolic selanjutnya dalam bentuk (8.17). vector tak nol
( )
mendefinisikan arah yang karakteristik berkaitan dengan (8.17)
jika (8.18) terpenuhi. Ke-definite positif-an dari bentuk kuadrat pada (8.18) mengakibatkan
. Oleh karena itu,
( )
karakteristik dari (8.17). oleh karena itu, hyperplane permukaan karakteristik dari (8.17).
adalah satu-satunya arah adalah satu-satunya
Karakteristik dari persamaan hiperbolik dari bentuk (8.16) lebih rumit lagi. Vector tak nol
( )
mendefinisikan arah yang karakteristik berkaitan dengan (8.16)
∑
jika
Terdapat tak hingga banyaknya arah yang memenuhi persamaan tersebut dan struktur dari permukaan karakteristik lebih rumit lagi dengan kenyataan bahwa koefisien
mungkin
fungsi dari . Karena persamaan gelombang kasus khusus dari (8.16), pembaca harus mengingat kembali diskusi dari karakteristiknya pada Contoh 10 Bahasan 2. Tiap titik di
adalah puncak kerucut karakteristik dari persamaan gelombang. Hal tersebut adalah
dua kerucut dengan parallel axis ke -axis dan generatornya membuat sudut axis. Ini membagi ruang
umum (8.16) lain, tiap titik di
dalam tiga domain (kecuali ketika
dengan -
). Untuk persamaan
adalah puncak dari “konoid” karakteristik. Ketika
koefisien
adalah variable, konoid karakteristik tidak terbangun (not generated) oleh
garis lurus, tapi tetap membagi
dalam tiga domain (kecuali ketika
).
Prinsip Superposisi
∑|| ∑|| ∑|| ∑||
Misalkan (9.1) dimana (9.2) dan (9.3)
adalah operator diferensial parsial linier orde
. Misalkan
dan
di
,
sebarang konstanta, maka
atau dapat ditulis (9.4) Fungsi
dan
merupakan dua buah fungsi yang cukup terdiferensialkan.
Dalam aljabar linear, dapat dinyatakan bahwa pada persamaan (9.4)
bekerja pada fungsi
sebagai transformasi linear. Lebih tepatnya , jika kita hanya mempertimbangkan m
n
C (), di mana adalah domain di R , maka () ke ruang vektor
fungsi dalam
adalah transformasi linear dari ruang vektor C
m
0
C (). Sebagai konsekuensi dari properti linearitas (9.4) dari P, solusi
dari
persamaan homogen (9.5)
Memiliki ciri superposisi, jika homogen dan
dan
dan
sebarang konstanta, maka kombinasi linearnya,
merupakan solusi persamaan tersebut. Kombinasi tersebut disebut superposisi. Prinsip superposisi dapat digenerlisasi untuk sebanyak yaitu jika
(9.6)
juga
solusi yang dibuat kombinasi linearnya,
merupakan solusi persamaan diferensial (9.5), maka
juga merupakan solusi. Karena
adalah sembarang dua solusi dari persamaan diferensial
dipilih secara sebarang.
Contoh 9.1
Persamaan Laplace
memiliki solusi
prinsip superposisi, maka
dan
adalah solusi untuk persamaan laplace tersebut. Untuk bentuk superposisi pada jumlah yang tak terbatas, misalkan untuk
dan seterusnya.Misalkan deret
. Berdasarkan
merupakan solusi
∑ ∑
konvergen. Akan ditunjukkan
(
Perhatikan bahwa
(
(
= ( =
(
(
) +
(
)+…
=
=0
Kita juga dapat membentuk superposisi keluarga satu-parameter solusi dari (9.5). Misalkan 1
untuk setiap nilai parameter λ pada interval I di R , fungsi
adalah solusi dari (9.5), yaitu
= 0 , untuk setiap
Lebih lanjut, g fungsi bernilai real yang terdefinisi pada I, Misalkan integral
konvergen. Maka fungsi
* + Juga merupakan solusi untuk (9.5) dengan ketentuan =
Yaitu asalkan
dapat ditukar. Kita juga dapat membentuk solusi superposisi untuk (9.5) yang
bergantung pada beberapa parameter. Misalkan
,
merupakan keluarga satu-parameter untuk solusi (9.5), dan anggap
superposisi dari
Yang merupakan solusi untuk (9.5) juga bergantung pada parameter h. Andaikan limit
ada. Maka fungsi
juga solusi untuk (9.5) asalkan
Saat valid, semua metode superposisi memungkinkan kita untuk menambah koleksi solusi dari persamaan homogen ke sebuah koleksi solusi yang lebih besar. Kita akan melihat banyak contoh mengenai hal ini di bab selanjutnya. Ini menunjukkan bahwa prinsip superposisi berlaku untuk persamaan diferensial parsial yang linear dan tidak valid untuk persamaan diferensial parsial yang tidak linear. Soal 9.1
Misalkan
merupakan operator persamaan diferensial parsial nonlinear di R
2
→ → → Tunjukkan bahwa fungsi
homogen
dan
dimana
+
Jawab :
,
,
Jadi,
dan
solusi.
Untuk
+
Jadi,
,
+
bukan solusi.
merupakan solusi persamaan
bukan merupakan solusi.
Pertanyaan-Pertanyaan:
Mengapa kita tidak boleh mengasumsikan bahwa a,b,c tidak boleh hilang secara bersamaan? Karena di Teorema (7.1) sudah dijelaskan bahwa a,b,c tidak boleh hilang hilang secara simultan secara bersama-sama. Pada klasifikasi bentuk kanonik orde pertamapun sudah dijelaskan bahwa a,b,c tidak boleh hilang secara bersamaan. Menurut pendapat kami, jika a,b,c hilang secara bersama-sama maka hasilnya akan tidak ada atau nol. Dan pengerjaan tidak dapat dilakukan.
Mengapa Jacobian tidak boleh sama dengan nol? Tujuannya agar persamaan yang di olah kedalam bentuk kanonik dapat di balik atau dikembalikan seperti persamaan awal. Membuat persamaan menjadi bentuk kanonik agar lebih mudah di selesaikan dibanding jika persamaan masih dalam bentuk persamaan diferensial biasa
BAB VI PERSAMAAN-PERSAMAAN PERSAMAAN-PERS AMAAN FISIKA MATEMATIKA
Pada Bab ini kita akan membicarakan tiga dari banyaknya persamaanpersamaan diferensial parsial orde dua yang paling pentingyang adadalam fisikamatematika:persamaankalor/panas,
persamaan
Laplace,
danpersamaangelombang. Pada bagian 1 kita akan mengingat kembali pernyataanteorema divergensidankitamemperolehdua integral identitas yang berguna yang dikenalsebagaiIdentitas Green. Pada bagian 2, kita memperoleh persamaan konduksi kalor/panas dan menggambarkan berbagai macam masalah nilai
batas
awal
yang
dikaitkan
dengannya.
Pada
bagian
3,
kita
memaparkanfenomena yang berkaitan dengan fisika, dikenal sebagai fenomena 4 , kita akan keadaan tetap, yang diatur dalam persamaan Laplace’s. Pada bagian 4, memaparkan memaparkan tentang fenomena fisika untuk satu, dua, dan tiga dimensi persamaan gelombang. Terakhir, pada bagian 5 kita mendefinisikan apaitumasalah well posed yang yang dikaitkandenganpersamaandiferensialparsial,dan diberikan contoh yang well-posed dan dan yang tidak. 1. Teorema Divergensi dan Identitas Green
Teorema divergensi adalah salah satuteorema yang paling berguna dalam persamaan diferensial parsial. Teorema Divergence ini biasanya dipelajari di Kalkulus lanjutan. Pada bab ini kita mengingat kembalipernyataan teorema Divergensi dan mencoba untuk mengaplikasikannya. Misalkan
Ω
merupakan
domain
yang
kondisisebagaiberikut kondisisebagaiberikut : (a) Pembatas
terbatas
di
dengan
dari Ω terdiri dari sejumlahpermukaanmulus yang
berhingga. (ingat lagi bahwa permukaan mulus adalah permukaanketinggian dari fungsi di (b) Sebarang memotong
dengan gradien yang taknol.)
garis
lurus
yangsejajarkesebarangsumbu-sumbukoordinat
disejumlahtitik-titik yang berhinggaatau mempunyaiseluruh
interval yang bersamaan dengan .
1
Misalkan
merupakan
mengarah langsung ke bagian luar dari
vektor
normal
satuanterhadap
(lihat gambar 1.1).Misalkan
( ) ∭ Gambar 1.1
merupakanmedanvektor
yang
terdefinisipadapenutup dari
sehingga setiap komponen-komponen fungsi
berada di
sedemikian
dan
,
danandaikanbahwa integral dari
adalah konvergen. Berdasarkanasumsi-asumsi diatas pada bahwa
dan , teorema divergensi menyatakan
2
∭ ∬( ) ∭ ∬ dimana
adalah bagian dari permukaan
persamaan
. Integran pada sebelah kiri dari
dikenal sebagai divergensi dari medanvektor
dan dinotasikan
sebagai
Dimana
. Integranpada sebelah kanan dari
persamaan
adalah komponen dari
untuk batas
yang memberi arah dari bagian luar
. Jika dinotasikan sebagai vektor maka persamaan
bisa
dituliskan sebagai
atau, dalamnotasi yang lebihkompak,
∫ ∫
Teoremadivergensimenyatakanbahwajika
domain
danmedanvektor memenuhikondisi-kondisi di atas, maka integral atas
divergensi dari
adalah sama dengan integral atas batas
dari
dari
dari komponen
yang mengarah vektor normal luar terhadap . Kondisi
domain dapat
dan
bukan merupakan kondisi yang paling umum pada
yang memenuhi teorema divergensi.Kondisi-kondisi yang lebih umum
ditemukan,
contohnya,
memenuhikondisiumuminidisebut
dalambukuKellog.Domain-domain “normal”.Tentunyasemua
yang domain
yangdipertimbangkandalambukuiniadalah normal.
3
DuapenerapandariteoremadivergensidikenaldenganIdentitas
Green.Kita
gunakannotasibiasadarikalkulusvektor.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Jika
, maka gradien
dan divergen gradien
didefinisikan dengan
didefinisikan dengan
Operator differensial parsial
dikenal sebagai operator Laplace dan juga
disimbolkan oleh
.
Identitas differensial
.
Andaikan
dan
dan integral
konvergen. Maka, pengintegralan dari persamaan (1.9) atas
Pengaplikasian teorema divergensi untuk integral pertama (dengan medan vektor ) dan penggunaan fakta bahwa
akan diperoleh identitas Green pertama
adalah turunan langsung
, maka
4
∫ Pertukaran
dengan
(pada persaman 1.9) dan pengurangan kedua
persamaannya akan menghasilkan (1.11) Jika
.
dan
dan integral
konvergen, maka pengintegralan persamaan (1.11) atas
dan pengaplikasian
teorema divergensi akan menghasilkan identitas Green kedua (1.12)
.
Identitas Green iniakandigunakandalammempelajaripersamaan Laplace (Bab VII). Teoremadivergensidanidentitas Green benaruntukmedanvektordanfungsifungsidarisebarangvariabel-variabelbebas. Masalah-Masalah
1.1.Periksaidentitasdiferensial
.
Solusi : Akan ditunjukkan
Perhatikanpersamaan di sisikiri
5
kemudian,
karena
maka, terbuktibahwa
1.2. Misalkan
berada di
terbatas yang normal di
dan di
, dimana
adalah domain
, dan andaikan bahwa di
dimana adalah batas dari
. Tunjukkan bahwa
identitas Green pertama atur atas
di
. [petunjuk: pada
juga gunakan fakta bahwa jika integral
dari fungsi kontinu yang nonnegatif sama dengan nol, maka fungsi
teridentifikasi di 1.3. Misalkan
.
berada di
terbatas yang normal di
dan di
, dimana
adalah domain
, dan andaikan bahwa di
6
Tunjukkanbahwa
konstan di
1.4. Misalkan
dimana
menjadi solusi nontrivial dari
adalah domain terbatas yang normal, dan
Tunjukkan bahwa
adalah konstanta.
.
2. PersamaanKonduksiKalor
Padabagianini,
kitaperolehpersamaandiferensialparsial
yangharusdipenuhiolehsuatufungsi
yang
menggambarkandengan
proses
konduksikalor disebuahbenda.Kitakemudianakanmembicarakantentangkondisitambahanharusdip
∫∬ ⁄ enuhidalammenentukandistribusisuhupadabenda.
Misalkan menotasikanbagiandalambendadanfungsi
nsebagaisuhu
di
asumsikanbahwa variabel
dan
titik
pada
anggota
di
benda
fungsi
dinotasika
pada
yang
saat
bergantung
padaa
permukaan mulus
dinotasikanvektor normal pada . Jumlah kalor (energi termal)
keluarmenembus
Kita
denganfungsi yang bergantungpadavariabel .
Proses konduksikalormengikutihukumfisika. Misalkan
di dan
.
ke sisi vektor normal
pada interval waktu
yang
sampai
diberikan
Pada (2.1)
dinotasikanturunan
pada
dan
pada
di titik
saat
.
bernilaipositifdandisebutkonduktivitastermalpadabenda
Fungsi titik
terhadap vektor normal
.
asumsikankonduktivitastermal
rgantungterhadapvektor normal
di
Kita
adalahfungsipadaposisi
padapermukaan
di titik (
dantidakbe
. Jadi, suatu
7
benda dikatakan isotropik jika konduktivitas energi tidak bergantung terhadap
∭ ∫ ∬ ∭ ∫ ∬ ∫ ⁄ vektor normal
.
Misalkan
luar normal
daerah bagian
dibatasi permukaan tertutup
. Perubahan jumlah kalor pada daerah bagian
dari
dengan bagian sampai
diberikanoleh
(dipresentasikanolehAyu Indri Astuti) Pada persamaan
,
adalah kalor jenis dan
suatu benda pada titik
. Dengan mengikuti aturan konservasi energi
termal, perubahan kalor pada melalui batas
adalah kerapatan
harus sama dengan jumlah kalor yang masuk ke
pada interval waktu
sampai
, dan jumlah kalor
diberikan oleh
Menyamakanjumlah persamaan
dan
, kita peroleh
Sekarang,
dan, karena
teorema divergensi diterapkan untuk medan vektor
8
∬ ∭ ∫∭ ∫∭ ∫ ∭ ⁄ Akibatnya, persamaan
menjadi,
atau
Karena integran pada persamaan benar untuk daerahbagian
masalah
adalah kontinu dan karena persamaan
dan pada setiap interval
), yaitu integran harus sama dengan nol untuk setiap
, (lihat dalam di
dan
untuk setiap . Kemudian,
atau
Persamaan
disebut persamaan konduksi panas pada suatu benda
isotropik. Disebut juga Persamaan kalor atau persamaan difusi. Jika benda adalah isotropik homogen, maka
dan
adalah konstan dan persamaan
membentuk
Persamaan
dapat disederhanakan dengan mengubah skala waktu : atur
dan kemudian membuangkoefisienutamapada
menjadi
9
Kita simpulkan bahwa jika suatu fungsi
distribusi suhu pada tubuh isotropik homogen ditentukan, maka
menggambarkan
selama interval waktu yang
memenuhi persamaan
pada bagian dala tubuh
dan untuk setiap
Bagaimana pun persamaan
untuk setiap
pada interval waktu tersebut.
mempunyai takhingga banyak solusi. Untuk
memilih dari solusi yang takhingga ini, solusi khusus yang menggambarkan distribusi suhu tubuh yang sebenarnya, kondisi tambahan harus dinyatakan dengan jelas. Dari
pertimbangan
fisika,
cukup
untuk
mengharapkan
spesifikasidari distribusi suhu pada benda di suatu waktu spesifikasi dari distribusi suhu pada batas
dari benda untuk setiap
Kondisi
Fungsi dari
, bersama dengan
secara lengkap menentukan distribusi suhu pada benda untuk setiap
Yang menentukan distribusi suhu pada saat
bahwa
. Kondisi
dikenal sebagai kondisi batas. Fungsi terdefinisi untuk
pada batas
dari benda untuk setiap
adalah fungsi yang diberikan yang
dan untuk setiap
solusi dari persamaan diferensial parsial dan kondisi batas
.
yang dikenal sebagai kondisi awal.
adalah fungsi yang diberikan yang terdefinisi pada penutup
yang menentukan distribusi suhu pada batas
,
. Masalah mencari
yang memenuhi kondisi awal
dikenal sebagai masalah nilai awal batas. Dapat
ditunjukkan dibawah suatu asumsi tambahan, yaitu masalah ini mempunyai solusi tunggal
yang didefinisikan untuk setiap
pada
dan untuk
10
setiap
(Lihat pada bab IX). Fungsi ini menyatakan distribusi
suhusebelumnya pada bendauntuk setiap
Kondisi persamaan dengan kondisi awal
.
tidak hanya kondisi batas, yang bersama-sama
, menentukan sebuah solusi tunggal dari persamaan
kalor. Terlebih dalam menentukan suhu pada batas dari tubuh, seseorang mungkinberharapuntukmenentukankalorfluks
yang
melaluibatas.Inimengarahkepadakondisibatas
⁄
Dimana
mennotasikan turunan berarah dari
terhadap .
Fungsi
diberikanterdefinisiuntuk yang terisolasi,
pada vektor normal
adalahfungsi
pada
dan untuk
yang
. Pada kasusbatas
Kondisi batas lain dapat dispesifikasikan. Pengetahuan
tentang suhu pada medium di sekitar benda dandari kalorfluksmelaluibatas mengarah kepada kondisi
Fungsi
dan
diberikan dan terdefinisi pada dan
diberikan danterdefinisi
pada
, dan
.
Sekarang misalkan kita pertimbangkan lempengan dari ketebalan konstan
dengan dua permukaan bidang yang terisolasi. Jika distribusi suhu awal tidak berbedamelalui ketebalan lempengan, maka setiap waktu berikutnya suhu pada
lempengan tidak berbedamelalui ketebalannya,dan jika kita memilih sistem koordinat
dengan
sumbu- tegak
lurus
dengan
lempenganadalah fungsi yang hanya bergantung pada (2.8) untuk lempengan menjadi
lempengan,
suhu
pada
dan . Persamaan kalor
11
Akhirnya, mari kita mempertimbangkan silinderbatang dengan permukaan silindernya terisolasi dan suhu awal yang konstan di setiap bagian yang
bersebrangan. Jika kita memilih sistem koordinat dengan garis tengah pada batang sepanjang sumbu- , maka suhu tidak berbedaatas bagian yang bersebrangan dan hanya akan menjadi fungsi dari
dan saja. Persamaan kalor untuk silinder ini
Pada penutupan bab ini, disebutkan bahwa persamaan (2.6) dan (2.8)
jugaterdapat pada materi difusi darifluidamelalui porous medium dandipelajaridari proses difusi lain yang memuat cairan dan gas. Masalah-Masalah
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2.1. Misalkan
fungsi kontinu pada suatu domain
andaikan bahwa untuk setiap daerah bagian
Tunjukkanbahwa
di
pasti nol secara identikdi
positif pada suatu titik dari bola yang berpusat pada
. Karena
dan
,
. [Petunjuk: Andaikan
kontinu,
. Pertimbangkan
dari
akan positif pada suatu
ketika diambil untuk
menjadi bola tersebut.] Solusi: Andaikan
positif, yaitu
maka
12
∫ ∫ inikontradiksidenganpernyataanpersamaan
.
Oleh
karenanya,
haruslah
.
2.2. Turunkanpersamaan
dari
.
Solusi : Diketahui
Misalkan
, maka
Perhatikanbahwa
substitusikepersamaan (2.8) diperoleh
kemudianganti
, diperoleh
13
2.3. Tulismasalahnilaiawalbatas
yang
harusdiselesaikanuntukmengetahuidistribusisuhusebelumnyapadasilinderbat ang yang panjangnya
diberikandistribusisuhuawaldaribatangpadasaat ujung batang untuk setiap
dengan permukaan silinder yang terisolasi,
.
dan suhu pada bagian
3. Persamaan Laplace
Persamaan Laplace
Berkembang dari studi tentang kelas besar dari fenomena fisika yang diketahui sebagai fenomena keadaan tetap. Fenomena-fenomena ini dikarakterisasi oleh
kenyataan bahwa fenomena-fenomena tersebut tidak bergantung pada variabel
waktu . Mari kita pertimbangkan kasus fungsi distribusi suhu dalam keadaan tetap yang homogen dan isotropik. Karena fungsi
variabel waktu
,
tidak bergantung pada
dan persamaan konduksi kalor menjadi persamaan
laplace (3.1).Jika adalah notasi untuk bagian dalam benda, fungsi temperatur keadaan tetap
pasti memenuhi persamaan (3.1) pada setiap titik
pada .
Persamaan (3.1) memiliki banyak solusi tak terbatas. Untuk menentukan
solusi khusus yang mendeskripsikan distribusi temperatur yang sebenarnya pada benda, kondisi tambahan harus dispesifikkan. Kenyataan ini sangat kontras dengan persamaan kalor (2.8) yang mendeskripsikan fenomena yang bergantung pada waktu, tidak ada kondisi awal yang dibutuhkan untuk menspesifikkan persamaan (3.1). Formula yang tidak bergantung pada waktu pada kondisi terbatas (2.10), (2.11) dan (2.12) adalah
14
Masalah mencari solusi dari Persamaan Laplace (3.1) yang memenuhi
salah satu dari kondisi batas (3.2), (3.3), atau (3.4) disebut Masalah Nilai Batas. Lebih spesifiknya, masalah masalah mencari solusi dari (3.1) yang memenuhi kondisi batas (3.2) dikenal sebagai Masalah
Dirichlet . Masalah untuk
menyelesaikan subjek (3.1) terhadap kondisi batas (3.3) dikenal sebagai Masalah Neumann. Terakhir, masalah untuk menyelesaikan subjek (3.1) terhadap kondisi
batas (3.4) dikenal sebagai Masalah Campuran atau Masalah Nilai Batas Ketiga. Masalah-masalah ini akan lebih lanjut dipelajari pada Chapter VII. Dalam kasus sebuah lempengan dengan ketebalan yang konstan, temperatur keadaan tetap u adalah fungsi dengan hanya dua variabel dan memenuhi Persamaan Laplace Dua Dimensi.
2u 2u 2 0 2 x y
...(3.5)
Persamaan Laplace dua dimensi mengatur bentuk dari sebuah selaput lentur seperti contoh selaput drum. Selaput tersebut merupakan selaput
yang
tahan akan segala jenis perentangan atau penarikan ke segala arah tanpa mengubah bentuk aslinya .Misalkan selaput lentur tersebut menempati daerah pada bidang (x,y) yang dibatasi oleh kurva mulus C, dan menyatakan interior dari daerah tersebut. Sumbu u ortogonal ke bidang (x,y)(lihat Gambar 3.1). Misalkan batas kurva mulus C diparametrikkan oleh persamaan
x x(s),
y y(s);
s I .
15
Misalkan setiap titik di batas selaput dipindahkan sepanjang garis tegak ~ lurus bidang (x,y) dan batas tersebut terikat di sepanjang kurva . C ~ Kurva C memproyeksikan bidang (x,y) atas kurva C dan diberi persamaan
x x(s),
y y( s),
u (s);
s I .
Selaput tersebut kemudian mengambil bentuk permukaan yang diberikan oleh persamaan berbentuk
u u ( x, y );
~ ( x, y ) .
Sekarang kita membuat asumsi: (a)
Pada saat kita memindahkan selaput dari bidang (x,y) ke bentuk akhirnya yaitu u = u(x, y), setiap titik di selaput bergerak hanya pada sepanjang garis yang paralel ke sumbu u.
(b)
Selaput bentuknya hanya berubah sedikit, oleh karena itu nilai turunan
u x dan u y adalah kecil. Dari kedua asumsi (a) dan (b) dapat ditunjukkan bahwa fungsi u(x, y) haruslah memenuhi Persamaan Laplace Dua Dimensi (3.5).Jadi, untuk menentukan bentuk akhir dari selaput tersebut kita harus menyelesaikan Masalah Dirichlet .
2u 2u 0; x 2 y 2 u(x, y) ( x, y);
(x, y)
(x, y) C
16
Gambar 3.1
Persamaan Laplace juga muncul dalam pembelajaran medan gaya yang “dapat diturunkan dari sebuah potensial”. Sebagai contoh misalakan F adalah medan gaya yang disebabkan dari distribusi muatan listrik di ruangan. F( x, y, z) adalah vektor gaya yang bertindak sebagai sebuah unit muatan yang ditempatkan di titik ( x, y, z). Dapat ditunjukkan bahwa F dapat diturunkan dari sebuah fungsi potensial u; sebagai contoh, terdapat fungsi u sebagai berikut F = - grad u.
Potensial u memenuhi Persamaan Laplace di setiap titik di ruangan yang bebas dari muatan listrik. Medan gaya gravitasi oleh karena distribusi massa di ruangan tersebut juga dapat diturunkan dari sebuah potensial dan fungsi potensial itu sendiri memenuhi Persamaan Laplace di setiap titik di ruangan yang bebas dari massa.
17
Bab VI PERSAMAAN FISIKA MATEMATIKA
4. Persamaan Gelombang Fenomena getaran dan perambatan gelombang dapat dibentuk sebuah persamaan diferensial parsial yang dikenal sebagai persamaan gelombang. Misalkan kita pertimbangkan getaran pertama pada sebuah bidang benang atau dawai seperti dawai pada gitar. Andaikan panjang pada dawai adalah L dan ketika dawai dalam keseimbangan, dawai tersebut menempati bagian dari sumbu x dari x = 0 sampai x = L (lihat Gambar 4.1)
Kita asumsikan dawai tersebut bergetar pada sebuah bidang, bidang
,
dan setiap titik pada pergerakan dawai hanya sepanjang garis yang tegak lurus
dengan sumbu x (parallel dengan sumbu u). pada saat
dari titik pada ditempatkannya dawai di x (ketika dalam
keseimbangan). Dibawah penambahan asumsi
kecil (yaitu getaran pada dawai
memiliki amplitude yang kecil) dapat ditunjukan persamaan diferensial parsial
menotasikan perpindahan
harus memenuhi
18
dimana
adalah tegangan pada dawai dan
adalah kepadatan linear. Persamaan
(4.1) dikenal dengan persamaan getaran dawai atau persamaan dawai. Ini juga dikenal dengan persamaan gelombang satu dimensi. Dengan membuat
persamaan (4.1) menjadi
Seperti yang akan kita lihat pada Bab VIII,
,
adalah kecepatan rambatan
gelombang pada dawai. persamaan (4.2) dapat disederhanakan dengan mengganti skala waktu. Atur Dengan
, maka
kemudian turunkan, (4.2) menjadi :
atau
19
Sehingga
Sehingga persamaan
Misalkan kembali
Fungsi
sehingga,
menggambarkan sejarah dari pergerakan pada dawai harus
memenuhi persamaan (4.3) untuk setiap titik
pada interval terbuka
dan untuk setiap . Persamaan (4.3) memiliki tak terhingga banyaknya solusi dan supaya memilih solusi khusus yang menggambarkan getaran yang sebenarnya
pada dawai kondisi tambahan harus ditentukan. Seperti dalam kasus persamaan kalor, kondisi ini berada dalam dua kategori, kondisi awal dan kondisi batas.
20
Berbeda dengan persamaan kalor, dua kondisi awal perlu ditetapkan pada saat awal
,
Kondisi (4.4) menentukan pemindahan awal pada dawai, sementara kondisi (4.5) menentukan kecepatan awal. Beberapa jenis batasan kondisi pada ujung-ujung dan
pada dawai yang mungkin, tergantung pada cara dimana
ujungnya diikat atau dilepas. Kondisi ini menentukan nilai dari pada ujung-ujung dawai untuk semua
atau turunan
. Untuk contoh, jika kedua ujung
dawai tetap, maka
Masalah menemukan solusi dari persamaan gelombang (4.3) bergantung pada kondisi awal (4.4), (4.5), dan untuk kondisi batas (4.6) adalah sebuah masalah nilai awal terbatas. Jika dawai tak terhingga tidak ada batas kondisi harus ditentukan, dan masalah menemukan solusi dari persamaan gelombang (4.3) bergantung pada
kondisi awal
adalah sebuah masalah nilai awal atau masalah Cauchy (bandingkan dengan Bab IV). Solusi dari masalah ini dapat diperoleh menggunakan solusi umum (7.22) dari persamaan gelombang yang berasal di Bab V.
Persamaan Gelombang Dimensi 2
Salah satu contoh gelombang pada dimensi 2 adalah pada membrane yang bergetar. Karena ketebalan nya sangat tipis maka diabaikan sehingga hanya ada
ukuran panjang dan lebar, maka persamaan gelombangnya ada pada dimensi 2. Misalkan
berlokasi pada
menunjuka perpindahan saat lihat gambar berikut
pada titik dalam membran yang
21
Dengan asumsi lokasi pada bagian 3 (persamaan la place), dapat ditunjukan bahwa
Dimana
harus memenuhi persamaan
,
adalah tegangan membrane dan
adalah kerapatan
permukaan. Persamaan (4.9) dikenal sebagai persamaan dari getaran membrane atau persamaan gelombang dua dimensi. Sebagaimana halnya pada getaran dawai, 2 kondisi harus ditetapkan,
Juga batas-batas kondisi bermacam-macam dapat ditetapkan, tergantung kecepatan menggetarkan membran. Untuk contoh, kondisi batas dipercepat
22
sepanjang kurva bidang saat melayang pada bidang
, batas kondisi harus
ditetapkan sebagai
Persamaan Gelombang Dimensi 3
Terakhir kita ingat kembali getaran dari gelombang suara atau bunyi. Ini merupakan getaran yang kecil dari gas, seperti udara, menempati sebuah daerah
pada ruang dimensi tiga. Misalkan menotasikan bagian dalam dari daerah ini dan misalkan
menotasikan deviasi/penyimpangan dari tekanan
lingkungan (normal) dari gas pada titik
beberapa hipotesis, ini dapat ditunjukan bahwa differensial parsial,
Dimana
dari dan saat
. Dibawah
harus memenuhi persamaan
adalah kecepatan merambat suara di udara.persamaan (4.13) dikenal
sebagai persamaan bunyi atau persamaan gelombang dimensi tiga. Kondisi awal dan kondisi batas dihubungkan dengan persamaan (4.13) sama halnya pada kasusu persamaan gelombang dimensi satu dan dua. Getaran yang lain dan phenomena perambatan gelombang seperti pada getaran gelombang elektromagnetik yang dapat digambarkan oleh persamaan gelombang. Masalah 4.1
Pada bab V sub b 7, kita telah menunjukkan bahwa solusi umum dari persamaan
gelombang dimensi 1 (4.3) sebagai berikut:
Dimana F dan G adalah sembarang fungsi satu variabel.
a) Gunakan solusi umum ini untuk menentukan solusi dari masalah nilai awal (4.3), (4.7), (4.8) dengan
23
∫
b) Tunjukkan dengan subtitusi langsung bahwa (4.14) memenuhi persamaan gelombang (4.3) dan kondisi awal (4.7) dan (4.8) dengan t 0 = 0. Jawab :
∫ ∫ Persamaan gelombang:
Masalah nilai awalnya adalah
Solusi umum
Misalkan
Sehingga persamaan (1) dapat ditulis menjadi Perhatikan bahwa
Akibatnya,
Dari
persamaan
peroleh
(4.8)
kita
.
Dengan
mengintegralkan kedua ruas diperoleh
,
Dari (4.7) kita peroleh
Selesaikan persamaan (2) dam (3)
24
∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ () () ∫ Sehingga diperoleh Karena
Merupakan solusi khususnya.
, persamaan (4.7) terpenuhi.
, persamaan (4.8) terpenuhi.
25
∫
Sehingga
Persamaan (4.3) terpenuhi.
5. Masalah Well Posed Pada pembahasan sebelumnya,kita telah melihat banyak fenomena fisika
yang mengandung Persamaan Diferensial Parsial. Sebagai contoh bisa kita lihat pada dua permasalahan sederhana berikut. Jika
merupakan distribusi
keadaan mantap temperatur dalam ruang yang dibatasi plat homogen isotropik dan jika temperatur pada plat yang dibatasi itu diketahui, maka u haruslah solusi masalah nilai terbatas.
26
Dimana adalah bagian dalam dari plat dan
adalah batas. Jika u(x,t)
merupakan perpindahan dari dawai yang “tak hingga” dan jika perpindahan dan kecepatannya diketahui pada t awal nilai awal
, maka u haruslah solusi dari masalah
Hal ini masuk akal, untuk mengetahui temperatur pada batas plat untuk
menentukan temperatur pada setiap titik plat. Begitu juga, untuk permasalahan
selanjutnya, yaitu kita mengetahui perpindahan dan kecepatan pada dawai pada waktu awal
untuk menentukan gerakan dawai untuk setiap
.
Definisi 5.1
Masalah yang melibatkan persamaan differensial parsial dikatakan masalah well posed jika jika memenuhi tiga syarat: syarat:
(a) Ada solusi (b) Solusi tunggal (c) Solusi tergantung pada kekontinuan data dari masalah Mempelajari fenomena fisika dengan menjadikan masalah yang melibatkan persamaan diferensial parsial, tidak cukup membuat masalah memiliki solusi tunggal. Ini penting untuk mengetahui bahwa solusi tergantung pada kekontinuan data
dari
masalah.
Sebaliknya
kita
tidak
yakin
solusi
dari
masalah
menggambarkan menggambarkan fenomena fisika diperlukan tingkat ti ngkat ketelitian. Tujuan mempelajari persamaan diferensial parsial adalah: 1. Menentukan kondisi masalah well-posed 2. Menggambarkan cara menemukan solusi atau pendekatan solusi dari masalah well-posed
3. Menentukan sifat-sifat umum dari solusi Kita akan menunjukkan pada Bab VIII bahwa memenuhi asumsi masalah nilai batas (5.1), (5.2) adalah well-posed . Memenuhi asumsi, masalah nilai awal (5.3),
27
(5.4), (5.5) juga well-posed. Nyatanya kita sudah menentapkan solusi pada masalah 4.1 karena (4.14) adalah solusi dari masalah. Pada bab VIII kita akan menunjukkan solusi tunggal (4.14). Menggunakan rumus solusi, kita juga akan menunjukkan solusi tergantung pada kekontinuan data. Perlu ditekankan bahwa tidak setiap masalah dikatakan well-posed . Sebagian besar fenomena fisika mengarah pada masalah nilai awal, atau batas, atau batas awal yang well-posed. Ternyata setiap persamaan diferensial parsial memiliki beberapa masalah yang berkaitan dengan well-posed walaupun masalah lain tidak well-posed . Supaya mengilustrasikan hal ini, kita perhatikan lagi masalah nilai batas (5.1), (5.2) dan masalah nilai awal (5.3), (5.4), (5.5). Masalah ini well-posed , meskipun persamaan Laplace dan persamaan gelombang hanya berbeda tanda. Periksa juga masalah nilai awal (masalah Cauchy) untuk persamaan Laplace dan masalah nilai batas (masalah Dirichlet) untuk persamaan gelombang. Ternyata masalah ini bukan well-posed. Masalah nilai awal untuk persamaan Laplace bukan well-posed yang ditunjukkan Hadamard (lihat masalah 5.2). Kita tahu dari teorema CauchyKovalevsky bahwa masalah memiliki solusi tunggal jika data awal diasumsikan analitik. Tetapi, masalah tersebut bukan well-posed karena solusi tidak tergantung pada kekontinuan data awal. Contohnya masalah nilai batas untuk persamaan gelombang yang bukan well-posed digambarkan dalam masalah 5.3. Masalah ini bukan well-posed karena memiliki solusi tak terhingga.
Masalah 5.3
Masalah Dirichlet untuk persamaan gelombang,
dimana rasio T/Ladalah bilangan rasional, katakan T/L = m/n dimana m dan n adalah bilangan bulat positif.
28
adalah solusi dari permasalahan setiap konstan C yang berubah-ubah, dan selain itu masalah ini memiliki solousi tak berhingga.
Masalah 5.2
Contoh Hadamard, Hadamard, bagian a dan c a.
2
Perhatikan masalah Cauchy untuk persamaan Laplace di R
dimana n bilangan bulat positif, tunjukkan bahwa
merupakan suatu solusi
c.
Misal f dan g analitik, u1 solusi dari masalah Cauchy
dan u2 solusi dari masalah Cauchy
tunjukkan bahwa
Jawab :
a.
Akan ditunjukkan
29
Jadi, terbukti bahwa
Akan ditunjukkan
Jadi, terbukti bahwa
Akan ditunjukkan
Dari pengerjaan sebelumnya didapat :
dengan demikian
Sedangkan untuk
Oleh karena itu
30
Jadi terbukti bahwa
Karena
memenuhi
maka terbukti bahwa
c.
merupakan suatu solusi.
Diketahui : solusi dari masalah Cauchy (5.8)
dari pengerjaan soal bagian a, kita dapatkan
merupakan solusi dari masalah Cauchy
Kita misalkan
sehingga
31
Akan dibuktikan
Jadi terbukti bahwa
Akan dibuktikan
Jadi terbukti bahwa
Akan dibuktikan
Karena f dan g analitik maka u 2 haruslah sama dengan
Sehingga didapat
Jadi terbukti
LapLace’s Equation
32
Bab ini dikhususkan mempelajari persamaan Laplace. Persamaan ini mempunyai ketertarikan yang sangat besar oleh matematikawan, insinyur, dan i lmuwan, karena persamaan ini bangkit dalam pembelajaran banyak fenomena fisika. Dalam subbab 1, fungsi harmonik didefinisikan sebagai solusi persamaan Laplace yang turunan keduanya kontinu. Dalam subbab 2 dan 3, banyak fungsi harmonik yang diperoleh dengan menggunakan metode pemisahan variabel, pergantian variabel dan invers yang bekerja pada lingkaran dan bola. Pada subbab 4, masalah nilai batas yang berkaitan dengan persamaan Laplace dijelaskan dan diilustrasikan dengan contoh fisika. Pada bab 5, ... 1.
Fungsi Harmonik Persamaan Laplace
Merupakan persamaan diferensial parsial dari elliptic type yang sangat sederhana dan sangat penting. Definisi 1.1 Misal
merupakan domain di
persamaan Laplace di
. Sebuah fungsi
disebut fungsi harmonik di
yang memenuhi
.
Fungsi harmonik didefinisikan sebagai fungsi kontinu yang memenuhi persamaan Laplace. Teorema 1.1 Misal
adalah solusi dari persamaan Laplace yang kontinu di domain
analitik di .
. Maka
Problems 1.1 Buktikan bahwa semua fungsi linear
Adalah harmonik di
.
33
Karena fungsi linear
kontinu di
dan dapat didiferensialkan dua kali serta
memenuhi persamaan Laplace, jadi
adalah fungsi harmonik di
.
Problems 1.2 (a)
Tunjukkan bahwa
2.
dan
harmonik di
.
•
Beberapa Fungsi Harmonik Dasar Metode Pemisahan Variabel
Telah Dibahas pada bab VI bahwa potensial elektrostatis pada sebarang titik , berkaitan dengan sebuah unit charge pada titik asal di
adalah sebanding dengan dengan
merupakan jarak
,
dari titik asal. Ini dikenal di Fisika dimana potensial berkaitan dengan
sebarang distribusi dari charges yang memenuhi persamaan Laplace pada sebarang titik di space free from charge.
adalah sebuah fungsi harmonik di
kecuali di titik asalnya.
Fungsi (2.1) dibedakan oleh simetrinya pada titik asal, ini hanya bergantung
pada jarak radial .
dari titik asal dan tidak bergantung pada variabel sudut
dan
34
35
adalah operator Laplace di
di
).
Di
,
Di
dengan
Dimana
yang berkaitan dengan koordinat bola (koordinat polar
,
adalah operator diferensial parsial orde kedua yang hanya berkenaan
dengan variabel sudut.
Karena fungsi harmonik hanya bergantung pada memenuhi persamaan
di
, fungsi harmonik
Fungsi
harus
adalah dua solusi untuk persamaan di atas yang bebas linear dan solusi umumnya mengandung seluruh kombinasi linear dari fungsi-fungsi di atas. Di
, dengan
fungsi harmonik
harus memenuhi persamaan
dan dua solusi bebas linear untuk persamaan di atas adalah
.
Penggunaan metode pemisahan variabel atau fourier method untuk memperoleh 2
fungsi harmonik lainnya. Pada R , metode ini dimulai dengan mencoba menemukan fungsi harmonik u(r,θ) yang memiliki bentuk khusus u(r,θ) = R(r) ϴ(θ)
(2.9)
Asumsikan u(r,θ) adalah hasil perkalian dari fungsi r dan fungsi θ. Substitusi (2.9) ke persamaan Laplace di koordinat polar, diperoleh R”ϴ R’ϴ+
Rϴ” = 0 2
Dengan membagi persamaan dengan Rϴ dan mengalikan dengan r , diperoleh
(2.10)
Sisi kiri persamaan 2.10 adalah fungsi dari r dan sisi kanan adalah fungsi dari Maka 2.10 adalah setara dengan
.
.
36
Atau dengan pasangan persamaan
Dimana
konstan. Dapat disimpulkan bahwa untuk u(r,θ) dari bentuk (2.9) untuk
memenuhi persamaan Laplace, fungsi R dan φ harus memenuhi persamaan diferensial biasa (2.11) dan (2.12). Persamaan 2.11 dikenal sebagai persamaan Euler dan memiliki dua solusi bebas linear.
√ √ √ √ (2.13)
Dua solusi bebas linear dari (2.12) adalah
(2.14)
tidak dapat diasumsikan bahwa, untuk setiap nilai μ dan untuk fungsi (2.13) dan (2.14) bentuk berikut
(2.15)
2
terdefinisi sebagai sebuah fungsi harmonik di setiap domain dari R . Hal ini hanya 2
berlaku jika (2.15) adalah fungsi yang ‘well defined’ (C ) di .
Ini berarti bahwa agar (2.15) untuk menentukan fungsi ‘nilai tunggal’ di harus periodik dengan periode
, fungsi
(misalkan) dan harus memenuhi kondisi berikut (2.16)
Jika adalah domain yang berisi kurva mengelilingi titik asal, fungsi angular yang dapat digunakan dalam (2.15) untuk menentukan fungsi harmonik di adalah
(2.17)
Fungsi radial yang sesuai
(2.18)
(2.19)
2
Jika tidak mengandung titik asal R , semua fungsi di (2.19) harmonik di . Jika mengandung titik asal, hanya fungsi pada baris pertama adalah harmonik di . 2
Misalkan adalah domain dari R yang tidak mengandung titik asal. Maka
37
u(r,θ) = θ
(2.20)
Pada koordinat segiempat, fungsi harmonik (2.20) adalah
(2.21)
(2.22)
Menerapkan metode pemisahan variabel untuk mendapatkan fungsi harmonik dalam 3
domain dari R . Dalam hal ini dicari fungsi harmonik u(r,θ,φ) dari bentuk u(r,θ,φ) = R(r)Y(θ,φ)
(2.23)
Dengan mensubstitusi (2.23) ke persamaan laplace, diperoleh
–
Dua solusi bebas linear dari (2.24) adalah
Dimana α1 dan α2 adalah akar dari persamaan
(2.24) (2.25)
Persamaan (2.25) memiliki solusi nontrivial hanya ketika μ sama dengan salah satu dari nilai μn = n(n1), n=0,1,2,… Untuk setiap μn , ada 2n+1 solusi bebas linear dari (2.25), disimbolkan dengan Solusi ini disebut harmonik Laplace bola, dimana μ=μn , maka fungsi radial nya n
r ,r
-n-1
; n=0,1,2,…
dan fungsi harmonik (2.23) adalah
38
3. Mengganti Variabel Untuk Menghasilkan Fungsi Harmonik Baru Invers Terhadap Lingkaran dan Bola Pada bagian sebelumnya kita memperoleh koleksi fungsi harmonik dengan metode pemisahan variabel. Dengan prinsip superposisi semua kombinasi linear dar i fungsi ini juga harmonik. Dalam bagian ini dijelaskan cara untuk memperoleh fungsi harmonik baru dari satu yang diketahui dengan merubah variabel. 2
Pertama-tama kita pertimbangkan fungsi harmonik di R . Diberikan dan ’ adalah 2
domain di R , misalkan ada pemetaan satu-satu dari ke ’ diberikan oleh : x’ = x’(x,y)
y’=y’(x,y),
(3.1)
dengan pemetaan invers dari ’ ke diberikan oleh : x=x(x’,y’)
y=y(x’,y’)
(3.2)
2
Kita asumsikan fungsi x’(x,y) dan y’(x,y) ada di C (), sedangkan fungsi x(x’,y’) dan 2
y(x’,y’) ada di C (’). Diberikan u(x,y) adalah fungsi yang terdefinisi di dan u(x’,y’) adalah fungsi yang terdefinisi di ’ dengan rumus : u(x’,y’) = u(x(x’,y’) , y(x’,y’))
(3.3)
pemetaan (3.1), (3.2) dapat dikatakan sebagai transformasi koordinat atau perubahan variabel. Transformasi Dasar : 1. Translasi x’ = x x 0,
y’ = y y 0;
x = x’ – x0,
y = y’ – y0, 2
dimana (x0, y0) adalah titik yang ditetapkan di R . 2. Rotasi x’ = (cos α)x + (sin α)y, y’ = -(sin α)x + (cos α)y; x = (cos α)x’ – (sin α)y’, y = (sin α)x’ (cos α)y’, dimana α adalah sudut yang ditetapkan.
39
3. Refleksi : refleksi garis lurus di R
2
contoh : x’ = x, y’ = -y;
x = x’, y = -y’
merupakan refleksi terhadap sumbu-x x’ = -x, y’ = y;
x = -x’, y = y’,
merupakan refleksi terhadap sumbu-y dan x’ = y, y’ = x;
x = y’, y = x’,
merupakan refleksi terhadap garis x = y. 4. Transformasi yang dilatasi x’ = λx, y’ = λy;x = (1/ λ)x’, y = (1/ λ)y’, dimana λ adalah konstanta yang tak nol. Contoh 3.2 Dengan rotasi bentuk (2.19) menjadi
2
Fungsi pada baris pertama harmonik di R . Dimana, fungsi pada baris kedua juga 2
harmonik di R kecuali di titik (0,0). 2
Pada transformasi dasar yang telah kita definisikan di R memiliki analog yang jelas 3
dalam R dan dalam ruang dimensi yang lebih tinggi. Contoh, 2
2
2 -1/2
(x + y + z ) 3
fungsi ini harmonik dalam R kecuali di titik asal dan dengan translasi [(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2]-1/2 3
fungsi ini harmonik dalam R kecuali titik (x0, y0, z0). Pada notasi vector, r =(x,y,z), r0 =(x0,y0,z0), fungsi tersebut dapat ditulis menjadi
40
-1
|r-r0|
(3.8)
3
Dan fungsi ini harmonic di R dengan titik awal r0. n
Kecuali untuk translasi, semua transformasi dasar di R diberikan oleh persamaan dengan bentuk xi =
i=1,…,n
Atau dalam notasi matriks
x=Ax’
(3.9) (3.10)
-1
Dan A = [a ij] adalah matiks non singular nxn dengan invers A oleh karena itu -1
x’=A x
(3.11)
Sebuah transformasi pada bentuk (3.10), (3.11) disebut transformasi linear dari n
koordinat di R dan apabila diberikan sebuah matriks A. Pertanyaan : mana transformasi linear dari koordinat yang dapat mempertahankan keharmonikan dari sebuah fungsi? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan dalam teorema berikut. Teorema 3.1 Sebuah transformasi linear dari koordinat mempertahankan keharmonikan dari setiap fungsi harmonik jika dan hanya jika diberikan oleh matriks A dari bentuk A=λB
(3.12)
B adalah sebuah matriks orthogonal dan λ positif konstan. B dikatakan orthogonal jika
(3.12) dapat ditulis dengan
Dimana I adalah matriks kesatuan dan λI mendefinisikan transformasi kesamaan. Teorema 3.1 menegaskan bahwa transformasi linear yang mempertahankan keharmonikan adalah komposisi dari transformasi kesamaan, rotasi dan refleksi. 2
Sekarang beralih ke diskusi lain, transformasi penting dan berguna untuk R dikenal sebagai inversi sehubungan dengan lingkaran.
41
2
Misalkan S (0,a) menunjukkan batas lingkaran di R dengan pusat (0,0) dan jari-jari a. Dalam koordinat polar, titik (r,θ) dan (r,θ) dikatakan inversi sehubungan dengan
S(0,a) jika
(3.13)
Perhatikan bahwa dua titik inversi sehubungan dengan S(0,a) terletak pada garis radial yang sama. Pemetaan yang memetakan titik (r, θ) ke (r,θ) diberikan oleh (3.14)
Dengan pemetaan invers yang diberikan oleh `
(3.15)
2
Pemetaan (3.14) didefinisikan untuk semua titik (r,θ) dalam R kecuali titik (0,0). Peta dari titik di luar lingkaran S(0,a) ke titik dalam S(0,a) dan sebaliknya, sementara poin yang terletak pada lingkaran S(0,a) telah ditetapkan. Sebuah adalah domain yang terletak di luar S(0,a) dipetakan ke domain dalam S(0,a). 2
Misalkan berupa domain dalam R yang tidak mengandung titik (0,0) dan u(r,θ) harmonik di . Kemudian u(r,θ) fungsi yang diperoleh dari u(r,θ) dengan 2
mengganti r dengan a /r* dan θ dengan θ, adalah harmonik dalam . 3
Inversi sehubungan dengan bola dalam R didefinisikan dengan cara yang sama. Misalkan S(0,a) adalah permukaan bola dengan pusat (0,0) dan jari-jari a. Dalam koordinat bola, titik (r,θ,φ) dan (r,θ,φ) dikatakan Inversi sehubungan dengan S(0,a) jika
(3.16)
3
Misalkan menjadi domain dalam R yang tidak memuat titik (0,0) dan u(r,θ,φ) fungsi harmonik di . Misalkan menjadi citra omega berdasarkan inversi (3.16) dan menentukan fungsi u(r,θ,φ) di oleh rumus
(3.17)
42
Maka u harmonic di yang tergantung pada variabel r,θ,φ. Dalam invers, itu sering menggunakan notasi vektor. Jika r dan r* merupakan vektor
|| ||
posisi dari dua titik Inversi sehubungan dengan S(0,a) maka
dan karenanya,
sehingga,
2
(3.18)
(3.19)
(3.20)
Dalam R , jika u(r) adalah harmonik dalam domain , maka
3
(3.21)
harmonik di . Dalam R , jika u(r) adalah harmonik dalam domain , maka u
harmonik di .
4.
(3.22)
Masalah Nilai Batas yang Terkait dengan Persamaan Laplace Persamaan laplace muncul dalam banyak fenomena fisika. Contohnya, jika fungsi u menyatakan distribui temperatur keadaan tetap, dalam tubuh isotropik homogen, maka pada setiap titik interior untuk tubuh, u harus memenuhi persamaan Laplace. Tentu saja, fakta ini saja tidak cukup untuk menentukan u karena ada solusi tak terhingga dari persamaan laplace. Jika kita mempunyai informasi tambahan sehingga distribusi temperatur pada batas tubuh atau fluks panas diseluruh batas, maka u harus memenuhi kondisi pada batas disebut kondisi batas. Masalah dalam menentukan fungsi u yang memenuhi persamaan laplace di interior tubuh dan kondisi batas disebut masalah nilai batas. Dalam sesi ini kita menetapkan tiga dasar masalah nilai batas yang terkait dengan persamaan laplace.
Masalah Dirichlet atau masalah nilai batas pertama
Diberikan omega domain terbatas di
f fungsi yang diberikan terdefinisi dan kontinu di terdefinisi dan kontinu di akhir(penutup) dan u sama dengan f di dan dalam
pada
dengan batas mulus di . Cari fungsi u yang
, dan
sehingga u harmonik di
. Lebih eksplisitnya, cari fungsi u dimana dalam
dan memenuhi
(4.1) (4.2)
43
Persamaan (4.2) disebut kondisi batas dari masalah dan f fungsi yg diberikan disebut sebagai data batas.
,
Dalam definisi masalah Dirichlet, kondisi yang kita telah kenakan pada dan f terlalu ketat. kita melakukan ini dalam rangka untuk membuat
diskusi, setidaknya pada awalnya sesederhana mungkin. Nanti kita akan mempertimbangkan masalah dimana
domain dapat tak terbatas, batas
mungkin memiliki sudut dan fungsi f mungkin diskontinu. Ketika
adalah bagian
luar dari daerah dibatasi, maka masalah ini disebut masalah Dirichlet eksterior. Itu selalu berguna untuk diingat contoh fisika. diberikan fungsi u
menggambarkan distribusi temperatur steady state dalam tubuh isotropik homogen interior yang merupakan
domain. Dan biarkan f fungsi yang
diberikan menggambarkan distribusi temperatur pada permukaan tubuh. Dalam rangka untuk mencari u distribusi temperatur kita harus memecahkan masalah Dirichlet. Dimana diberikan.
adalah domain terbatas di
. Dan c adalah konstanta yang
Dalam masalah ini f (x) = c. Hal ini jelas bahwa fungsi konstan u(x) = c adalah solusi untuk masalah ini. Kami akan lihat nanti dalam bab ini bahwa ini adalah satu-satunya solusi untuk masalah ini. Dalam hal contoh fisika kita, ini berarti bahwa jika permukaan tubuh yang terbatas disimpan pada suhu c konstan, suhu steady state di setiap titik di dalam tubuh juga sama dengan c. Masalah Neumann atau masalah nilai batas kedua
Diberikan
menjadi domain terbatas di
dengan batas halus
, dan
biarkan n = n (x) menjadi vektor satuan luar normal doomega pada titik x.
⁄
Biarkan f menjadi fungsi terdefinisi dan kontinu pada doomega. Cari fungsi u didefinisikan dan kontinu di
sehingga luar biasa derivatif
sehingga u harmonik di pada
dan sedemikian rupa
sama dengan f.
(4.3) (4.4)
Sebuah contoh fisik yang terkait dengan masalah Neumann ini, cari distribusi temperatur steady state yang stabil dalam tubuh isotropik homogen jika hukum fluks panas di permukaannya dikenal. Jika misalnya permukaan tubuh disekat , fungsi f di kondisi batas Neumann (4.4) adalah nol.
Contoh 4.3 Selesaikan masalah Neumann
Dimana
domain terbatas di
dan jelas di semua fungsi konstan
44
Dimana c adalah setiap konstan, merupakan solusi dari masalah. Dengan demikian, masalah ini memiliki takterhingga banyaknya solusi. Dalam hal contoh fisika kita ini berarti bahwa distribusi temperatur steady state dalam tubuh dengan permukaan yang disekat adalah konstan. Dalam rangka untuk menentukan suhu konstan ini cukup untuk mengetahui suhu tubuh pada satu titik. Kombinasi kondisi batas Dirichlet dan Neumann juga muncul dalam masalah konduksi panas dan menyebabkan masalah nilai batas. Masalah Mixed (campuran) atau masalah nilai batas ketiga
Diberikan
menjadi domain terbatas di
biarkan n = n (x) menjadi vektor satuan luar normal
, dan
pada x. Biarkan , , dan
menjadi fungsi yang diberikan didefinisikan dan terus menerus pada
fungsi yang ditetapkan dan kontinu dalam
dengan batas halus
.
. Cari u
Tiga tujuan utama dari bab ini adalah sebagai berikut; 1. Untuk menentukan kondisi di mana masalah nilai batas well-posed, yakni, masalah memiliki solusi unik yang tergantung terus menerus pada data batas. 2. Untuk menggambarkan metode untuk menemukan solusi dari masalah wellposed/ 3. Untuk menentukan sifat umum dari solusi. Perlu ditekankan bahwa tidak setiap masalah yang kelihatannya masuk
akal well-posed Kita akan lihat misalnya bahwa Neumaan tidak memiliki solusi kecuali fungsi f adalah sedemikian rupa sehingga terpisahkan selama
sama
dengan nol. Bahkan saat ini kondisi yang diperlukan keberadaan solusi dipenuhi, masalahnya mungkin memiliki solusi tak terhingga banyaknya seperti dalam kasus dengan masalah contoh 4.3. Sebagai contoh lain, masalah Dirichlet eksterior dalam dua variabel saling bebas memiliki takterhingga banyaknya solusi kecuali kita memaksakan kondisi bahwa solusi tersebut harus dibatasi. Setelah kita tahu bahwa masalah well-posed kita dapat mencoba untuk menemukan solusinya. Kecuali bila masalahnya adalah khusus sederhana, kita tidak bisa berharap untuk menemukan rumus sederhana untuk so lusi. Namun, kami selalu dapat menemukan pendekatan numerik untuk solusi, m ungkin dengan bantuan komputer. Dalam studi masalah batas nilai yang berkaitan dengan persamaan
Laplace ini linearitas operator Laplacian memainkan peran yang sangat penting. Misalkan misalnya bahwa Dan
merupakan solusi dari masalah Dirichlet
merupakan solusi dari masalah Dirichlet
Kemudian untuk setiap
dan
konstan dan kombinasi linear
merupakan solusi dari masalah Dirichlet
45
Secara khusus, jika
dan
sama maka perbedaan
merupakan solusi dari masalah Dirichlet yang merupakan solusi dari masalah Dirichlet
dengan data batas nol.
(4.7)
Dengan demikian, untuk membuktikan keunikan solusi dari m asalah Dirichlet (4.1), (4.2) itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa satu-satunya solusi untuk (4.7) adalah fungsi yang identik dengan nol.
46
