B A B VII Persa ersa m a a n La p l a c e
7.5 Teorem a Representas epresentasii , Si f at N i l ai R ata-R ata- R ata dan P rins ri nsii p M a ks k si m u m u nt n t uk u k Fu ng n gsi H ar a r m o ni n ik
Teorem a representa representa si. Sif Sifat at nilai nil ai rata-rata rata-rata dan prinsip prinsip m aksim aksim um untuk fungsi fungsi harm onik. onik .
Teo rem a repre sen ta si. Proper ti rata-rat a nilai nil ai dan prinsip prinsip m aksim aksim um unt uk fungsi fungsi harm onik
Teo rem a repre sen ta si. Proper ti rata-rat a nilai nil ai dan prinsip prinsip m aksim aksim um unt uk fungsi fungsi harm onik
Teo rem a repre sen ta si. Proper ti rata-rat a nilai nil ai dan prinsip prinsip m aksim aksim um unt uk fungsi fungsi harm onik
Teo rem a repre sen ta si. Proper ti rata-rat a nilai nil ai dan prinsip prinsip m aksim aksim um unt uk fungsi fungsi harm onik
Teo rem a re present present asi. asi. Prope Prope rti rata-rata nilai dan prinsip prinsip m aksi aksi m um untuk fungsi fungsi harm onik
T eo rem a
rep resent resent asi. asi. Prope Prope rti rata-rata n ilai ilai dan prinsip prinsip m aksim aksim um untuk fungsi fungsi harm onik
Teo rem a re present present asi. asi. Prope Prope rti rata-rata nilai dan prinsip prinsip m aksi aksi m um untuk fungsi fungsi harm onik
7 . 6 W e lll l - P o ss sse d u n t u k m a sa sa la la h Dirichlet
•
Te m u ka k a n f un u n gs gsi u d i C2 () ∩ C0 ( ) sehingga (6.1) ∆2 u = 0 , d i Ω (6 .2 ) u = f , p a d a ∂Ω Dimana Ω t e r b a t a s d i d o m ai a i n Rn d a n f d i b e r i k a n f u n gs gsi y a n g t e rd r d ef e f in i n is i si d an a n k o n t in i n u p ad a d a ∂Ω. U n t u k m e m b u kt k t i ka ka n m a sa l a h i n i,i , h ar a r u s d iti t u n j uk u k ka ka n : A d a se b u ah ah so l u si si M e m i lil i k i so lu l u si si y a n g t u n gg g ga l So lu l u si si t er e r ga ga n t un u n g k o n t in i n u p ad a d a d at at a f t er e r b at at as as
Te o re r e m a 6 .1 .1 (Ketu (Ketu nggal nggalan) an) M asal asalah ah Dirichlet Dirichlet (6.1) (6.1) ,(6. ,(6.2) 2) m em iliki ili ki paling pal ing banyak bany ak sa tu solusi olusi Bukti: D ib i b e ri r i ka ka n u 1 d a n u 2 m e ru r u p ak a k a n d u a so lu l u si si y a n g berbeda, ῦ= u 1 – u 2 . M a ka ῦ k o n t i n u d i , h a r m on on ik d i Ω d a n n o l d i ∂Ω. De D e n ga ga n p r in i n si si p m a k si si m u m ῦ harus m e n da d a p at at ka k a n n ili l a i m a k si m u m d an a n n ili l a i m i n im im u m d i ∂Ω. O l e h k a r en e n a i t u ῦ≡0 d i d a n u 1 ≡ u 2 d i Te o re r e m a 6 .2 .2 ( Te rg r ga n t u n g k o n t i n u p ad a d a d at a t a ) D ib i b e r ik ik a n f 1 d a n f 2 a d al a l a h d u a f u n gs gsi y a n g t e rd r d ef e f in i n is i si d an a n k o n t in i n u d i ∂Ω.
D ib i b e ri r i ka ka n u 1 solusi olusi dari da ri m asa asa lah lah Diric Di richle hlett ( 6.1) 6.1),, (6. ( 6.2) 2) d e n ga ga n f = f 1 d a n u 2 ju j u ga so l u si d e n gan ga n f = f 2 . Unt uk setiap >0, ji j i k a ( 6.3) 6.3) | f 1 ( x ) – f 2 ( x ) | < , u n t uk u k se m u a x ϵ∂Ω maka ( 6.4) 6.4) | u 1 ( x ) – u 2 ( x ) | < , u n t uk u k se m u a x ϵ Bukti: Diberikan ῦ= u 1 – u 2 . M a k a ῦ harm ha rm onic di Ω, k o n t in in u d i d an a n d en e n ga ga n ( 6 .3 .3 ) | ῦ( x ) | < , u n t uk u k se m u a x ϵ∂Ω d e n ga ga n p r in i n si si p m a k si si m u m | ῦ( x ) | < , u n t uk u k se m u a x ϵ
Pe rt r t an a n ya y a a n t e n t an a n g k e b er e r ad a d aa a a n so lu l u si si u n t u k m a sa l a h D i r ic i c h le l e t l e b ih i h su lil i t d an a n j a w a b an an t er e r g a n t u n g p ad a d a g e o m e t r i d en e n ga g a n d o m ai a i n Ω. Se b el e l u m m e n ya y a t ak a k a n k o n d is i si d i d o m a i n Ω yang m e n ja j a m i n k e b er e r ad a d aa a a n so l u si si , a k a n d i b ah a h as as se ca ca r a si n gk g k a t se b u ah a h c o n t o h , b e rd r d as a sa r ka kan H . Le b es e sg u e , m a sa l a h D i r ic i c h l et et u n t u k d o m a i n y a n g t i d ak a k m e m i l i k i so l u si si . Se b u ah a h c o n t o h i l u st st r as a si baga baga im ana i lust lust ras ra si k ebera eber a daan daa n solusi olusi y ang m u n gk g k in in ga ga l .
y x
k
x 0
k 1
Pe r m u ka k a a n k e ru r u cu c u t d ip i p er e r o le l e h d en e n ga ga n m e r o t as a si k u r va va
=
− 1
0
, untuk x > 0 , untuk x = 0
•
•
•
B a g i a n d al a l a m d ar a r i b o la l a t ad a d i a d al a l a h d o m ai a i n Ω. D i l u ar a r l i n gk g k u p b u ku k u i n i u nt n t u k m e n ya ya j i k a n secar ecaraa detail detai l has ha sil pem buktian buktia n Lebesg ebesg ue. Se b al a l i k n ya y a k i t a a k a n m e n co co b a m e m b u at at h as a si l n ya y a m a su k a k a l d e n ga ga n m e m p e r t i m b a n gk g k a n m a sa l a h i n d u ks k si p an a n as as b ag a g i t u b u h i so t ro r o p ik i k h o m o ge gen . M i sa l k a n d is i st r i b u si si t e m p e ra r a t u r p ad a d a ∂Ω d ib i b er e r ik i k a n o le l e h f u n gs g si k o n t in i n u f y a n g sa sa m a d en e n ga ga n n o l d i t iti t ik i k u ju j u n g, g , ke k e t ik i k a f sa m a d en e n ga ga n b es e sa r su h u p o si si t ifi f k o n st st an a n T0 d i t iti t ik ik – t iti t ik i k j a u h d ar a r i u ju j u ng n g u ju j u ng n g.
M a k a k e a d an a n su hu h u u (x ( x ) d ek e k a t k e T0 u n t u k se m u a x d i Ω, t ap a p i i t u t id i d ak a k m u ng n g k i n u nt n t u k (x) m e n de d e k a t i su hu h u n ol o l d im i m a n a x m e n de d e k a t i t iti t ik ik u ju j u n g d ar a r i Ω. Ti t ik i k u ju j u n g t id i d ak a k c u ku ku p m e m i l k i a r ea e a p e rm r m u ka k a a n a g a r su su h u t e t ap a p d is i se ki k i t ar a r t i t ik ik nol. Untuk m a sa lah la h Diric Di richle hlett , keber k eberada adaaa n so l u si g a g a l k a r e n a t id i d a k k o n t in i n u d i d a r i Ω. D e n ga ga n m e n d es e sk r ip i p si si k a n k o n d i si si g e o m e t r i p ad a d a c o n t o h Le b e sg sg u e , m a k a ko n d is i si i n i m e n ja j a m i n k e b er e r a d aa a a n so lu l u si si u n t u k m a s a l a h Dirichlet.
Kondisi ondisi P. Setia Setiapp titik x ϵ∂Ω d ap a p at at d is i se n t uh u h o le l e h p ro r o be be
Te o re r e m a 6 .3 .3 (Keb (Keb era d aan , n =3) Jika Jika Ω t er e r ba b a t as a s d i d o m a in i n R3 m e m e n u h i ko n d i si si P, m a k a m a sa l a h D i r ic i c h l et et se la l a l u m e m i k i so lu l u si si
7.7 7. 7 Solusi olusi M a sa l a h Diric Di richle hlett unt uk Unit Uni t Dis Di sk Dere De rett Fourier ourie r. B esert esert a I nt egral eg ral Po iss isso n
•
•
A k a n m e ny n y e le l e sa sa i k a n m a sa l a h D i r ic i c h le let u n t u k “ u n i t b a lll l ” d i R2 ya y a n g b ia i a sa d i ke ke n al a l d e n ga ga n “ un it disk” disk” M isalk isalkan an B (0,1) (r , ) R : 0 r 1, 2
ˆ) U n t u k m e n c a r i f u n g si u (r , ) d i C () C ( Sedem ikian iki an sehingga ehingg a (7.1) u (r , ) 0, u (1, ) f ( ); (7.2) 2
0
2
D i m a n a f a d al a l a h f u n gs g si y a n g d ib i b e ri r i k a n d i C () 0
M e n co co b a m e n gk gk o n st st r u k si si so lu l u si si u n t u k m a sa l a h 7 .1 .1 d an a n 7 .2 .2 ya y a k n i d e n ga ga n su p e r p o si si si d ar a r i f u n gs gsi h ar a r m o n ik ik (7.3) r cos n r sin n ;n=0,1,2,… D a n m e n ga ga su m si k a n b ah a h w a so lu l u si si u n t u k m a sa l a h t e rs r se b u t d ap a p at a t d in i n ya y a t ak a k a n k e d al alam n
u (r , )
n
0
2
r n ( An cos n Bn sin n ) n 1
(7.4)
Perh atikan bah w a, k oef isien-k isien-koef oef isien isien An , Bn ; n 0,1,2,...
Te r b at a t a s k a r en e n a a d a k o n st st a n t a M se d em e m i k ia ia n B M n = 0 , 1 , 2 , … ( 7 . 5 ) se h i n g g a A M , M a k a b ar a r is i sa n ( 7 .4 .4 ) ko ko n ve v e r ge ge n k e f u n gs g si h a r m o ni n i k d i . N i l a i se b e n a r n y a d a r i koefis oefi sien-k ie n-koefi oefissien ie n ditentu k a n dari batas bata san (7.2) Koefisie oefisien-k n-koefis oefisie ienn dari ( 7.4) 7. 4) harus ditent ukan uka n agar agar m em enuh i ( 7.2) 7. 2),, sehingg sehinggaa n
n
f ( )
0
2
( A cos n B sin n , ) n
n 1
n
an , Bn bn ; n 0,1,2,... An Bn 0; n N 1, N 2,... n
Dan Da n solus s olusii dari ( 7.1) 7. 1) dan da n ( 7.2) 7. 2) adal a dalaa h u (r , )
a0 2
N
r n (an cos n bn sin n ) n1
Contoh: f ( ) 1 2 cos 5 sin 3 M a k a so l u si si d ar a r i ( 7 .1 .1 ) d an a n ( 7 .2 .2 ) a d al alah u (r , ) 1 2r cos 5r 3 sin 3
f ( )
se b ag a g a i b ar a r is i sa n d ar a r i f u n gs g si t r ig i go n o m e t r i
cos n , sin n ; n 0,1,2,3,...
Harus dicari dic ari k oefisien-k oefisien-koefis oefisien ien a , b ; n 0,1,2,... se d em e m i k ia i a n se h in i n gg g g a b ar a r is i sa n t r i go go n o m e t r i n
a0 2
n
(an cos n bn sin n )
(7.7)
n1
k o n v e r g e n k e f ( ) u n t u k D a p at a t d iti t u l is is f ( )
a0 2
(an cos n bn sin ) n1
(7.8)
u (r , )
a0 2
r n (an cos n bn sin n ) n 1
(7.9)
B a r is i sa n d i ( 7 .7 .7 ) d is i se b u t d e n ga ga n b ar a r is i sa n Fo u r i er er f d i C ()t i d a k h a n y a k o n t i n u d i , , t et e t ap a p i m e r u p ak a k a n f u n gs g si g e n ap ap i n u d i i n t er e r va v a l t e rs r se b u t k e c u al ali d i f ' ( ) k o n t in t i t i k b e r h in i n gg g g a y a n g m e n ye ye b ab a b ka k a n f ' ( ) m e m p u n ya y a i f in i n i t e j u m p (8 ( 8 .1 .1 ) B erdasark erdasarkan an t eorem a 8.2, 8. 2, koefisien-k oefisien-koefis oefisien ien d er e r e t Fo u r ie i e r d ar ar i f 0
an
1
f ( ) cos n d bn
1
f ( ) sin n d (7.10)
•
Teorem eore m a 7.1 7. 1 M i sa l k a n f C () d a n f ' k o n t i n u “ se c t i o n a l l y ” d i , m a k a so l u si d a r i m a sa l a h D i r ic i c h l et e t ( 7 .1 .1 ) d an a n ( 7 .2 .2 ) a d al a l a h d e re ret ( 7.9) 7. 9) dan koefisien-k oefisien-koefis oefisien ien Fou rier (7. ( 7.10) 10) 0
contoh Seles ele saika ai kann m asal asalah ah Diric Di richlet hlet u (r , ) 0; 0 r 1; 2
(7.11)
d i m a n a f ( ) k o n t i n u d i d a n 1 0 f ' ( ) 1 0
Ko n t i n u se c t i o n a l l y d i [ , ] m a k a t e o r e m a 7 . 1 bisa bisa diterapkan diterapk an Li h at a t 8 .2 .2 6 d im im an a
2
n 1
2 ( 1)
n
n
1
2
cos n
M a k a so lu l u si si d ar ar i 7 .1 1 u (r , )
2
n 1
2 ( 1)
n
n 2
1
r n cos n
(7.12)
Teorem eore m a 7.2 7. 2 M i sa l k a n f d i C () . M a k a so l u si u (r , ) d a r i m a sa lah la h Diric Di richle hlett ( 7.1) 7. 1) dan da n ( 7.2) 7. 2) a dala dal a h a r (a cos n b sin n ) ; r 1 0
n
0
u (r , ) 2
n
n 1
f ( )
1
n
r 1 1
u (r , ) f d f ( ) cos n cos n d ( ) 2 2
0
2
n 1
0
2
f ( ) sin n sin n d 0
1
1
2
2
r f ( ) cos n( )d f ( ) d n n
1 0 2 0 1 2 n ( ) 1 2 cos n( ) d f r n1 2 0
Teorem eore m a 7.3 7. 3 M i sa l k a n f d i C (). M a k a so l u si u (r , ) d a r i m a sa lah la h Diric Di richle hlett ( 7.1) 7. 1) dan da n ( 7.2) 7. 2) a dala dal a h 0
(1 r ) f ( ) 1 d u (r , ) 2 1 r 2r cos( ) f ( ) 2
2
7.19
0
2
r 1 r 1
So lu l u si si d ar a r i m a sa l a h D i r ic i c h le l e t u n t u k l i n gk gkar an d en e n ga ga n j a r i-i - j a r i a d an a n p u sa sa t d i t iti t ik i k a sa l d ap a p at at d ip i p e ro r o le l e h d ar a r i m a sa l a h y a n g m a n a p e n ye y e se se le l e sa sa i a n n ya y a d i d ap a p at a t d ar a r i t e o r em em a sebelum ebel um nya ny a . Ya ng telah tela h dibuktika dibuktik a n di c . 3
Se ca ca r a u m u m n ya y a , d e n ga ga n m e n gg g g a n t i r = r/ r/ a m a k a so lu l u si si d e re r e t u n t u k B ( 0 ,a ,a ) a d al alah n
r (an cos n bn sin n ) u (r , ) 2 n 1 a a0
D an an so so l u si si i n t e gr g r al al p o i ss sso n u n t u k B ( 0 ,a ,a ) u (r , )
1
( a r ) f ( )
2
2 a 0
2
2
2
r 2ar cos( ) 2
d
7 .8 . 8 Pe P e n ge ge n a la l a n D e re r e t Fo u ri r ie r
f sebag eba g a i fungs fung si sa tu varia variabel bel x m e m b er e r i d ef e f in i n is i si d i inter val val [- π, π] . Ki Ki t a t e r t ar a r ik i k p ad a d a m a sa l ah ah y a n g mewakili f y a n g d i m a k su d d er e r et e t t r ig i g o n o m e t ri r i d al al a m bentuk
(8.1) U nt n t u k se m u a b ili l a n ga ga n b u la l a t p o si si t ifi f n d a n k ,
u n t u k m e n en e n t u k an an k o e fif i si si e n a f dengan k ≥ 1, kita kali kalika kann k edua sisi isi ( 8.1) 8.1) denga denga n c os k x d a n diintegral diintegralka kann [- π, π] . Se t el e l ah ah m e n u ka ka r u r u t an an penjum lahan la han dan int i nt egras eg rasi,i, kita dapatkan dapatka n
B e rd r d as a sa r ka k a n r u m u s ( 8 .2 .2 ), ), se s e m u a k e cu cu al a l i sa t u d ar ar i t e rm r m o n o lo l o gi g i d i si si k a n an a n d ar a r i p er e r sa sa m a a n a d al alah k osong, osong, jadi ja di bahw ba hw a
Sekara ek arang ng m engg eng g unakan unak an ( 8.3) 8. 3) kita dapat dapa t kan kan ≥1, r u m u s u n t u k a k , k ≥1,
Ji ka ka k =0 =0 , p r o se se d u r d i a t a s p as a st i la l a h m e n ja jad i
Pa d a b ag a g i a n ( 8 .4 .4 ) d an a n o le l e h k a r en en a i t u
u n t u k m e n da d a p at at ka k a n r um u m u s d ar ar i b k , k ≥ 1, kita k a lik li k a n k edua sisi isi dari ( 8.1) 8. 1) denga denga n k x d an a n d ip i p r o se se s se be b e lu lu m m e ne n e m u k an an
Defini De finition tion 8.1. 8. 1. Andai A ndaika kann bahw bah w a fungs fung si f terdefini terde finissi dan da n k o n t in i n u d i se t ia i a p t iti t ik i k p ad a d a i n t er e r va v a l [ a , b ] k e cu cu al a l i d i t i t ik ik akhir a , b d an a n p ad a d a b ili l a n ga ga n t e r ba b a t as a s b ag a g i a n d al al a m titik x 1 , x 2 , … , x n - 1 dimana Sela el a in itu, andai andaikk a n bahw bah w a x m e n d ek e k a t i t i t ik i k a k hi hir setiap etia p subinterval
Harus Ha rus ada ( dan da n terbatas terba tas)) . Lim it dala dalam m ( 8.11) 8.11) di k a t ak a k a n l i m i t d ar a r i k a n an a n d an a n p ad a d a ( 8 .1 .1 2) 2 ) lil i m i t d a ri ri kir i. Inte gral f a t a s [ a , b ] ad a d a d an an sa m a d en e n ga ga n j u m l ah ah integral integ ral dari da ri setiap etia p subinterval (8. ( 8.10) 10),,
Ji k a f f u n gs g si se b ag ag i a n k o n t i n u p ad a d a i n t e r va v a l [ - π, π] , lalu, lalu, unt uk setiap etia p n = 0, 1 , 2, … , fu n gsi gsi f(x) co s n x d a n si n n x ju j u ga seb se b a g i a n k o n t i n u d i [ - π, π] d an a n i n t e gr gr al al f(x) sin pada ( 8.5) 8. 5) dan ( 8.8) 8. 8) ada. ada.
Definit ion 8.2. Diberikan f m enjadi enj adi fungs fung si sebag eba g ian ian k o n t iu i u p ad a d a i n t er e r va v a l [ - π, π] . d er e r et e t t r i go go n o m e t r i
dimana
Cont oh 8.1. 8. 1. perhatikan perhatik an
Fu n gs gsi i n i a d al a l a h k o n t in i n u d i se t i ap ap i n t er e r va v a l ((- π, 0) dan ( 0 , π) dan O l e h k a r en e n a i t u f a d al a l a h se b ag a g i a n k o n t in i n u d i [ - π, π] . Ko e fif i si en e n f o u r ie i e r d ar a r i f a d al alah
Seri fourier fourie r terkait terkait denga denga n fungs fung si ( 8.15) 8. 15) a dala dala h
I st ilah ilah sam sam pai dengan dengan n = 3 dari deret ini adala a dalahh
Cont oh 8.2. 8. 2. Perhatikan Fu ng n g si i n i a d al al a h k o nt n t in i n u d i [ - π, π] dan O l e h k a r en e n a i t u f a d al a l a h se b ag a g i a n k o nt n t in i n u d i [ - π, π] d an a n m e m p u n ya y a i k o ef e f is i si e n f o ur u r ie ie r
•
D e re r e t f o u r ie i e r t e r ka k a i t d e ng n g a n ( 8 .1 .1 7) 7 ) a d al a l ah ah
•
I stilah tilah sa m pai pa i denga denga n n = 3 ada a dala lahh
•
Cont oh 8.3. 8. 3. perhatikan perhatik an
•
Fu ng n g si i n i a d al al a h k o nt n t in i n u d i [ - π, π] dan
•
O l e h k a r en e n a i t u f a d al a l a h se b ag a g i a n k o n t in i n u d i [ - π, π] d an a n m e m p u n ya y a i k o ef e f is i si e n f o ur u r ie ie r
•
Seri fourier fouri er terkait terkait denga denga n ( 8.19) 8.19) adal a dalaa h
•
I stilah tilah sa m pai pa i denga denga n n = 3 ad alah
Co n t o h 8 .2 .2 d an a n 8 .3 .3 m e n gg g g a m b ar a r ka ka n d u a a t u ra r a n u m u m t en e n ta t a n g d er e r e t f o ur u r i e r d ar a r i f un u n gs g si g enap ena p dan g a njil. nji l. Fungsi ungsi f dika dik a taka tak a n fungsi fungsi g e n ap a p j ik i k a f(-x) = f(x) u nt n t u k se m u a x yang m a n a u nt n t u k f adala ada lahh t erdefinis erdefi nisi;i; f dikatakan f u n gs g si g a n j ili l j ik i k a f(-x) = -f(x) . Fun Fun gsi gsi ( 8.17) 8. 17) a d al a l a h g e n ap a p d i ( - π, π) d an a n i t u a d al a l a h d er eret f o u r ie i e r ( 8 .1 .1 8 ) h an a n ya y a m e m p u n ya y a i i st i la lah cosinus osinus.. Fungs Fungsii ( 8.19) 8.19) adal a dalaa h g anji anj i l di ( -π, π) d an a n i t u a d al a l a h d er e r e t f o u ri r i e r ( 8 . 2 0 ) h an a n ya ya m e m p u n ya y a i i st i la l a h si n . U m u m n ya y a , k iti t a d ap a p at at m e n gi gi k u t i l e m m a , b u kt k t i y a n g t e rs r s i sa u n t u k soal 8.4. 8. 4.
Lem m a 8.1. 8.1. Diber D iber ikan ikan f se b u ah ah se b ag a g i a n k o nt n t in in u d i [ π, π] . Jik Jikaa f a dala da lahh fungs fung si g enap, ena p, m a ka k oefis oefi sien ie n f o u r ie i e r d ib i b e r ik ik a n o l eh eh
Jika f a dala dala h fungs fung si ga njil, nji l, m a ka k oefis oefi sien ie n fourier fourie r diberik dibe rikaa n oleh ole h D e ng n ga n d em e m i k ia i a n , d er e r et e t f o ur u r ie i e r d ar a r i f u n gs gsi g e n ap ap hany ha nyaa m em punya puny a c osinus osinus (gena (genap) p) persya persyara ratan tan dan da n u n t u k a l a sa n i ni n i d ik i k a t a ka ka n deret cosi osi nus fouri four i er , se d an a n gk g k a n d er e r et e t f o ur u r ie i e r d ar a r i f u n gs gsi ga n jij i l h an a n ya ya m em ilik il ikii sinus ( ga njil) nji l) dan istila istilahh itu disebut disebut deret sinu s fou rie r.
Te o re r e m a 8 .1 . 1 . (teorem ( teorem a fourier fourie r. ) m isa isa lka lk a n bahw ba hw a fungsi f d an a n f ou o u r ie ie r d er e r iv i v a t ifi f se b ag a g i a n k o n t in in u d i [ π, π] da d a n b ah ah w a f a d al a l a h p er e r io i o d ik i k d ar a r i p er e r io i o d e 2 π. Kemudian f d ap a p at at d iw i w a k ilil i o le l e h d er e r et e t f ou o u r ie i e r ( 8 .1 .1 3) 3) denga denga n k oefis oefi sien ie n y a ng di berika beri kann oleh ole h ( 8.14) 8. 14),, dala da lam m a r t i b ah a h w a se t ia i a p t iti t ik i k x d im i m a n a f a dala da lahh k ontinu,
D an an p ad a d a se t ia i a p t i t i k x dimana f lonca lonca tan denga denga n k eadaa ea daann yang yang terput us, us,
ensy a ratka ra tkann bahw bah w a f yang yang m enjadi Te o re r e m a 8 .1 . 1 m ensy se b ag a g i a n d i [ - π, π] . Se t ia i a p f u n gs g si d al a l a m c o n t o h 8 .1 .1 , 8 .2 .2 d an a n 8 .3 .3 ad a d al alah se ba b a g i a n d i [ - π, π] . Ke si m p u la l a n d ar a r i t e o re r e m a 8 .1 .1 a d al a l a h b ah a h w a d er e r et et f o ur u r ie i e r d ar a r i f k onferg onfe rgen en k e f(x) p ad a d a se t ia i a p t iti t ik i k x dimana f a d al a l a h k o n t i n u , se m e n t ar a r a p ad a d a t i t i k x dimana f m em ilik il ikii sebuah ebua h lonca lonca tan disk disk ontinu, deret dere t f o u r ie i e r k o n ve v e rg r g e n t e r h ad ad ap a p r at at a -r -r at at a b at a t a s d ar a r i k a n an an dan da n kiri. ki ri. Dari Dari defini de finissi k ekontinuan, ekontinuan, pada pa da setiap etiap titik x dimana f adalah adalah k ont inu, f(x f( x + 0) = f(x f( x – 0 = f(x) f(x) dan k a rena itu ( 1/ 2) [f(x [f( x + 0) + f(x f( x – 0)] 0)] = f(x f(x ) , jadi ja di bahw bah w a ( 8 .2 .2 4) 4 ) b e rl r l ak ak u u n t u k se t i ap a p x , - ∞ < x < ∞.
Se b ua u a h p e r ny n y a t a an an a l t e r n at at i f d ar a r i t e o r em e m a 8 .1 .1 ,s ,se b ag ag a i berikut : jika jika f a d al a l a h p er e r io i o d ik i k d ar a r i p er e r io io d e 2 π d an se b ag a g i a n h al a l u s d i [ - π, π] , m a k a d er e r e t f o ur u r iri r d ar a r i f k onverg onve rgen en k e ( 1/ 2) [f(x [f( x + 0) + f(x f( x – 0)] 0) ] untuk setiap etiap x , ∞ < x < ∞. Jika fu ngsi ngsi f didefini dide finissika ika n hany ha nyaa pada interva inte rvall ( e m a 8 .1 .1 d ap ap at a t d i a p lil i k a si ka ka n p ad ad a π, π) , t e o r em perlua perl uassa n periodik peri odik f ~ dari f .
Sebag eba ga i contoh, sec s ecaa ra perluas perl uasaa n periodik peri odik dari fungs fung si ( 8.15) 8.15) dari c ontoh 8.1 8.1 didefini dide finissika ika n oleh ole h
D an an gr gr af af ik i k y a n g d i t u n j u ka k a n p ad a d a ga m b ar a r 8 .1 .1 . k a r en en a f a d al a l a h se b ag a g i a n h al a l u s d i [ - π, π], teorem a 8.1 8. 1 berla berl a ku d an a n d er e r et e t f o ur u r ie i e r ( 8 .1 .1 7) 7 ) ko k o n ve v e r ge ge n k e f~(x) pada se t ia i a p t iti t ik i k d im i m a n a f ~ a d al a l a h k o n t i n u , y a i t u p ad ad a se t ia i a p t i t i k x ≠ ± n π, n = 0, 1, 2, … . Pada Pada x = 0 seri k onverg onve rgen en k e Sa a t p ad a d a x = π se r i k o n ve v e rg r ge n ke G a m b ar a r 8 .2 .2 (a (a ) m e n u nj n j u ka ka n g r af af ik i k d ar a r i f u n gs g si y a n g d e re r e t f o u r ie i e r ( 8 .1 .1 6) 6 ) ko ko n ve v e rg r g e n d ar a r i se t i ap a p x . gam gam bar 8.2( 8. 2(b) b) dan ( c ) m enunjuka enunjuk a n m a sing-mas ing-masing ing g rafik ra fik dari f u n gs g si y a n g d e re r e t ( 8 ,1 ,1 8) 8 ) d an a n ( 8 .2 .2 0) 0 ) d ar ar i c o n t o h 8 .2 .2 dan 8.3 8. 3 konverg konvergen. en.
Co ro llar lla r y 8 . 1
Ki t a m e nngguu jij i k e t ig i g a d er e reett Fo u ri er e r d i a t a s . Am A m aatt i b ah a h w a k e t iiggaa d e re r e t t e rs r se b u t ko n ve v e rg r g e n k e f u n gs g si f (x ( x ) = x p ad a d a i n t e r va va l ( 0 , ) . Khususnya hususnya,, fungsi fungsi f(x)= f(x )=xx direpresentas direpresentasik ikan an pada interval tersebut tersebut o l eh e h d er e reett c o si sinn uuss Fo u ri er e r (8 (8 .2 .266 ) da d a n o l eh e h d er e reett si n us u s Fo u ri er er (8.27).
Co ro llar lla r y 8.2
Co n t o h 8 . 4
G a m b ar a r d i at a t as a s m e n u n ju j u kk k k a n g r a f ik i k f u n gs g si d er e r et et y a n g k o n ve v e r ge g e n u n t u k se m u a x
Lem m a 8.2 8. 2
maka
Untuk
Teorem eore m a 8.2 8.2
