Determinan Matriks: Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi
a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2
Misalkan A =
adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d terlet terletak ak
pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua. Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.
det A =
= ad bc
!ontoh "oal # $ %entukan determinan matriks-matriks berikut.
a. A =
b. & =
'enyelesaian $ a. det A =
b. det & =
= () × *+ (2 × + =
= ((+ × 2+ (* × (#++ = )
b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)
ika A =
adalah matriks persegi berordo * × *, determinan A dinyatakan
dengan det A = Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks berordo * × *, yaitu aturan "arrus dan metode minor-ko/aktor. Aturan Sarrus 0ntuk menentukan determinan dengan aturan "arrus, perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A3 × 3. 1ambaran perhitungannya adalah sebagai berikut.
Metode Minor-Kofaktor Misalkan matriks A dituliskan dengan aij3. Minor elemen ai4 yang dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-4 dihilangkan. Misalnya, dari matriks A3 × 3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-# sehingga $
Akan diperoleh M21 =
. M21 adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2
kolom ke-# atau M21 = minor a21. "e4alan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya $
M13 = 5o/aktor elemen ai4, dinotasikan K ij adalah hasil kali (–1)i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, ko/aktor suatu matriks dirumuskan dengan $
K ij = (–1)i+j Mij Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya ko/aktor a21 dan a13 berturut-turut adalah
52# = (#+26# M2# = M2# =
K 13 = (–1) 1+3 M13 = M13 =
5o/aktor dari matriks A3 × 3 adalah ko/(A+ =
7ilai dari suatu determinan merupakan hasil pen4umlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom+ dengan ko/aktornya. 0ntuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom+ kemudian kita gunakan aturan di atas. 'erhatikan cara menentukan determinan berikut.
Misalkan diketahui matriks A =
Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.
5ita pilih baris pertama sehingga det A = a## 5## 6 a#2 5#2 6 a#* 5#* = a## (#+#6# M## 6 a#2 (#+#62 M#2 6 a#* (#+#6* M#* =
= a##(a22 a** a*2 a2*+ a#2(a2# a** a*# a2*+ 6 a#*(a2# a*2 a*# a22+ = a## a22 a** a## a2* a*2 a#2 a2# a** 6 a#2 a2* a*# 6 a#* a2# a*2 a#* a22 a*#
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 %ampak bah8a det A matriks ordo * × * yang diselesaikan dengan cara minor ko/aktor hasilnya sama dengan det A menggunakan cara "arrus. !ontoh "oal 2 $
%entukan determinan dari matriks A =
dengan aturan "arrus dan minor-
ko/aktor. 'enyelesaian $ !ara #$ (Aturan "arrus+
det A = = (# × # × 2+ 6 (2 × × *+ 6 (* × 2 × #+ (* × # × *+ (# × × #+ (2 × 2 × 2+ = 2 6 2 6 9 : ; = ## !ara 2$ (Minor-ko/aktor+ Misalnya kita pilih perhitungan menurut baris pertama sehingga diperoleh $ det A =
= 2 2(;+ 6 *(#+ = 2 6 #9 * = ## !oba kalian selidiki nilai determinan ini dengan cara lain. Apakah hasilnya sama< c. Sifat-Sifat Determinan Matriks &erikut disa4ikan beberapa si/at determinan matriks #. ika semua elemen dari salah satu bariskolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol. Misal $ 2. ika semua elemen dari salah satu bariskolom sama dengan elemen-elemen bariskolom lain maka determinan matriks itu nol.
Misal & =
(5arena elemen-elemen baris ke-# dan ke-* sama+.
*. ika elemen-elemen salah satu bariskolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen bariskolom lain maka determinan matriks itu nol.
Misal A =
(5arena elemen-elemen baris ke-* sama dengan
kelipatan elemen-elemen baris ke-#+. . |A&| = |A| ×|&| ). |A%| = |A|, untuk A% adalah transpose dari matriks A. 9. |A –1| =
, untuk A –1 adalah in>ers dari matriks A. (Materi in>ers akan kalian pela4ari
pada subbab berikutnya+. . |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. "i/at-si/at di atas tidak dibuktikan di sini. 'embuktian si/at-si/at ini akan kalian pela4ari di 4en4ang yang lebih tinggi.
Ji kaAdanB adal ahmat r i ksper s egi ,danber l aku makadi kat akan ma t r i ksAda nB s a l i ngi nv e r s .B di s e buti nv e r sda r iA,a t a udi t ul i s .Ma t r i ksy a ng mempunyaii nver sdi sebuti nver t i bl eat au mat r i ksnonsi ngul ar ,sedangkanmat r i ks yangt i dakme mpuny aii nv er sdi sebutmat r i kssi ngul ar . Unt ukmencarii nver smat ri kspersegiber ordo2×2,cobaper hat i kanber i kuti ni . Ji ka dengan s e ba g aibe r i kut :
,makai nv er sdar imat r i ksA( di t ul i s
)adal ah
Ji ka makamat r i kst er sebutt i dakme mpunyaii nv er s,at audi sebutmat r i ks s i ng ul ar . Si f a t s i f atma t r i ksp e r s e g iy a ngme mpuny a ii nv e r s : • •
•
Cont oh:Diketahui A =
dan & =
"elidiki, apakah A dan & saling in>ers< 'enyelesaian $ Matriks A dan & saling in>ers 4ika berlaku A × & = & × A = ?. A × & = &×A= 5arena A × & = & × A maka A dan & saling in>ers, dengan A –1 = & dan B –1 = A.
Menentukan Iners Matriks !erordo 2 × 2
Misalkan diketahui matriks A =
, dengan ad bc ≠ @.
"uatu matriks lain, misalnya & dikatakan sebagai in>ers matriks A 4ika A& = ?. Matriks in>ers dari A ditulis A –1 . Dengan demikian, berlaku $ AA –1 = A –1 A = ? Matriks A mempunyai in>ers 4ika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ @. "ebaliknya, 4ika A matriks singular (det A = @+ maka matriks ini tidak memiliki in>ers.
Misalkan matriks A =
dan matriks & =
sehingga berlaku A × & = & × A = ?.
5ita akan mencari elemen-elemen matriks &, yaitu p, , r, dan s. Dari persamaan A × & = ?, diperoleh $
adi, diperoleh sistem persamaan $ ap 6 br = # dan a 6 bs = @ cp 6 dr = @
c 6 ds = #
Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh $
Dengan demikian,
Matriks & memenuhi A × & = ?. "ekarang, akan kita buktikan apakah matriks & × A = ?<
5arena ad bc ≠ @, berlaku & × A =
=?
5arena A × & = & × A = ? maka & = A –1.
adi, 4ika A =
maka in>ersnya adalah $
untuk ad bc ≠ @. !ontoh "oal #; $ %entukan in>ers matriks-matriks berikut.
a. A =
b. & = a8aban$
Menentukan Iners Matriks !erordo 3 × 3 (Pengayaan) ?n>ers matriks berordo * × * dapat dicari dengan beberapa cara. 'ada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara ad4oin dan trans/ormasi baris elementer. a. Dengan Ad"oin 'ada subbab sebelumnya, telah di4elaskan mengenai determinan matriks. "elan4utnya, ad4oin A dinotasikan ad4 (A+, yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan ko/aktor-ko/aktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu $ ad4(A+ = (ko/(A++T Ad4oin A dirumuskan sebagai berikut.
?n>ers matriks persegi berordo * × * dirumuskan sebagai berikut.
Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pela4ari lebih mendalam di4en4ang pendidikan yang lebih tinggi. !ontoh "oal #: $
Diketahui matriks A =
. %entukan in>ers matriks A, misalnya kita gunakan
perhitungan menurut baris pertama. a8aban $ %erlebih dahulu kita hitung determinan A. det A =
= #(#+ 2(2+ 6 #(#+ = 2 Dengan menggunakan rumus ad4oin A, diperoleh $
ad4(A+ = adi, A –1 dapat dihitung sebagai berikut.
b. Dengan #ransformasi !aris $%ementer 0ntuk menentukan in>ers matriks An dengan cara trans/ormasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut. #+ &entuklah matriks ( An | In+, dengan ?n adalah matriks identitas ordo n. 2+ %rans/ormasikan matriks ( An | In+ ke bentuk ( In | Bn+, dengan trans/ormasi elemen baris. *+ Basil dari Cangkah 2, diperoleh in>ers matriks An adalah Bn. 7otasi yang sering digunakan dalam trans/ormasi baris elementer adalah $
a+ Bi ↔ B j $ menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-4 b+ k.Bi $ mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k c+ Bi 6 kB j $ 4umlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke 4. !ontoh "oal 2@ $
%entukan in>ers matriks A =
dengan trans/ormasi baris elementer.
'enyelesaian $
adi, diperoleh A –1 =
5eterangan $ #2 B1 $ 5alikan elemen-elemen baris ke-# dengan #2.
B2 )B1 $ 5urangkan baris ke-2 dengan ) kali elemen-elemen baris ke-#. B1 – B2 $ 5urangi elemen-elemen baris ke-# dengan elemen-elemen baris ke-2. 2B2 $ 5alikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2. !ontoh "oal 2# $
%entukan in>ers matriks A =
dengan trans/ormasi baris elementer.
a8aban $
"EAC DA7 'FM&ABA"A7 MA%G?5" LATIHAN SOAL MATRIKS DAN PEMBAHASANNYA 1. Carilah matriks tranpose dari matriks berikut ini
Pembahasan :
Matriks tranpose A dari matriks A adalah
2. Carilah matriks tranpose dari matriks berikut ini
Pembahasan :
Matriks tranpose A dari matriks A adalah
3. Hitunglah operasi matriks berikut ini a.
b.
c.
d. Pembahasan :
a.
b.
c.
d. 4. Buktikan bahwa A.II.A dimana I adalah matriks identitas
Pembahasan :
!. Berapakah hasil kali matriks A.B dan B.A "ika diketahui matriksn#a adalah a.
b. Pembahasan :
a.
b.
$.%entukan determinan dan in&ers dari matriks dibawah ini a.
b. 'embahasan ( a.cara mendapatkan determinan matriks A adalah
cara mendapatkan in&ers dari matriks A adalah
b.cara mendapatkan determinan matriks A adalah
cara mendapatkan in&ers dari matriks A adalah
