Lista 2 - Transformada de Laplace

2ª Lista de Exercícios – Transformada de L aplace _____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144

Prof. Dr. Janito Vaqueiro Ferreira


QUESTÃO 1.a: gg

g

a) y − y = 2; y (0) = 0; y (0) = 2

Resposta:

Aplicando Laplace:

 s 2Y (s ) − sY (0) − y (0)  − Y (s ) = 2   s g

g

Substituindo y (0) = 0; y (0) = 2 :

 s 2Y (s ) − 2 − Y (s ) = 2 s s 2Y ( s ) − Y (s ) =

2

s

+2

2 + 2 s ( s − 1) Y ( s) = s 2

Y (s) =

Y ( s) =

2 + 2 s

s ( s 2 − 1) 2 + 2 s

s ( s − 1) ( s + 1)

Expansão em frações parciais: Y ( s) =

C1 s

+

C 2

( s− 1)

+

C 3

( s+ 1)

Os coeficientes C 1 , C 2 e C 3 , podem ser calculados utilizando-se o Matlab: % Matlab >> ny=[2 2]; >> dy=[1 0 -1 0]; >> [c p k]=residue(ny,dy) ____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



Ou ainda sem o Matlab:

C1

C2

C3

=s

2 + 2 s

s( s− 1) ( s+ 1)

= ( s − 1)

= ( s + 1)

C 1 = −2 s = 0

2 + 2 s

s ( s − 1) ( s + 1)

=2

C 3

=0

s =1

2 + 2 s

s ( s − 1) ( s + 1)

C 2

s =− 1

Assim, temos: C 1 = −2 , C 2 = 2 e C 3 = 0 . Dessa forma pode-se calcular a transformada inversa de cada termo separadamente:

Y ( s) =

f (t ) = L−1 [ Y (s )]

C1 s

+

C 2

( s− 1)

+

C 3

( s+ 1)

 2  −1  0  −2 = L−1   + L−1   + L  +1  − 1 s ( ) s   ( s )  y (t ) = −2 + 2et

QUESTÃO 1.b: g

b) y + y = sin(t ); y (0) = 3

Resposta:

Aplicando Laplace:

[ sY ( s) − Y (0)] + Y (s ) =

1

s 2 + 1

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Substituindo y (0) = 3 :

[ sY ( s) − 3] + Y (s ) = sY ( s ) + Y (s ) =

( s+ 1) Y( s) = Y (s) =

1

s

2

1

s 2 + 1

+1

+3

1 + 3( s 2 + 1)

s 2 + 1

3 s 2 + 4

( s + 1) ( s 2 + 1)

Expansão em frações parciais: Y ( s) =

Y (s) =

C1

( s + 1)

C1

( s + 1)

+

+

C 2

( s + 1)

C 2

( s − j)

2

+

C 3

( s + j)

Os coeficientes C 1 , C 2 e C 3 podem ser calculados utilizando-se o Matlab: % Matlab >> ny=[3 0 4]; >> dy=[1 1 1 1]; >> roots(dy) >> [c p k]=residue(ny,dy)

Ou ainda sem o Matlab: C1

= ( s + 1)

3 s 2 + 4

( s + 1) ( s 2 + 1) s =−1

C 1 =

7 2

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C2

C3

3 s 2 + 4

= ( s − j)

( s + 1) ( s − j ) ( s + j ) s = j 3 s 2 + 4

= ( s + j)

( s + 1) ( s − j ) ( s + j ) s =− j

7

−1 − j

2

4

Assim: C 1 = , C 2 =

e C 3 =

−1 + j 4

C 2

=

C 3

=

−1 − j 4

−1 + j 4

. Dess Dessa a form forma a pod pode-se e-se calc calcul ula ar a

transformada inversa de cada termo separadamente:

y (t ) = L−1 [ Y (s )]

=

7 2

 1  + −1 − j L−1  1  + −1 + j L−1  1  s − j  s + j  4 4  s + 1     

L−1 

y (t ) = L− [ Y (s )] 1

=

7 2

e−

t

+

−1 − j

= cos a + jsena Como: e jt = cos(t ) + jsen(t ) e − jt = cos( −t ) + jsen ( −t ) = cos(t ) − jsen (t )

4

e

jt

+

−1 + j 4

e−

jt

e ja

Substituindo: y (t ) =

y (t ) =

y (t ) =

7 2

e − t +

7 2

7 2

e − t +

e − t +

1 4

−1 − j 4

[ cos(t ) + jsen (t )] +

4

[ cos(t ) − jsen (t )]

( ( −1 − j ) [ cos(t ) + jsen (t )] + ( −1 + j ) [ cos(t ) − jsen (t )] ) `

1

( − cos(t ) − jsen (t ) − j cos(t ) − j 4 y (t ) =

−1 + j

7 2

e−

t

c os(t ) + jsen (t ) + j cos(t ) − j 2 sen (t )) sen (t ) − co

2

1

+ ( − cos(t ) − j 2 sen (t ) − cos(t ) − j 2 sen (t )) 4

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



y (t ) =

7 2

e − t +

y (t ) =

7 2

1

( −2 cos(t ) − 2 j 4

e − t −

1 2

cos(t ) +

1 2

2

sen (t ) )

sen (t )

QUESTÃO 1.c: g

c) y + 5 y

= 500e−2t ; y (0) = 20

Resposta:

Aplicando Laplace:

[ sY ( s) − Y (0)] + 5Y (s ) = 500

1

s + 2

Substituindo y (0) = 20 :

[ sY ( s) − 20] + 5Y ( s ) = sY ( s) + 5Y ( s) =

( s + 5) Y ( s) =

500

s + 2

1

s + 2

+ 20

500 + 20( s + 2)

s + 2

500 + 20 s + 40

Y (s) =

( s + 5 ) ( s + 2 )

Y (s) =

20 s + 540

( s + 5) ( s + 2 )

Expansão em frações parciais: Y (s) =

C1

( s + 5)

+

C 2

( s + 2)

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



Os coeficientes C 1 e C 2 podem ser calculados utilizando-se o Matlab: % Matlab >> ny=[20 540]; >> dy=[1 7 10]; >> roots(dy) >> [c p k]=residue(ny,dy)


C2

Assim: C 1 = −

440 3

= ( s + 5)

20 s + 540

( s + 5) ( s + 2 ) s =−5

= ( s + 2)

e C 2 =

500 3

C 1 = −

20 s + 540

C 2

( s + 5 ) ( s + 2 ) s =−2

=

440 3

500 3

. Dessa forma pode-se calcular a transformada inversa

de cada termo separadamente:

y (t ) = L− [ Y (s )] 1

=−

440

y (t ) = −

3

L−

440 3

1

 1  + 500 L−1  1   s + 5  3  s + 2 

e −5t

+

500 3

e−2t

QUESTÃO 1.d: gg

g

g

d) y + 2 y + 3 y = 5; y (0) = 2; y (0) = 4

Resposta:

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



Aplicando Laplace:

 s 2Y (s ) − sY (0) − y (0)  + 2 [ sY (s ) − Y (0)] + 3Y (s ) = 5   s g

Substituindo y (0) = 2 e y(0) = 4 : g

 s 2Y (s) − 2s − 4  + 2 [ sY (s ) − 2] + 3Y ( s) = 5 s s 2Y ( s ) − 2s − 4 + 2 sY ( s ) − 4 + 3Y ( s ) = s 2Y ( s ) + 2sY ( s ) + 3Y ( s ) =

( s + 2 s + 3) Y ( s ) = 2

Y (s) =

5

s

5

s

+ 2s + 8

5 + 2 s 2 + 8s

s

5 + 2 s 2 + 8s

( s + 2 s + 3) s 2


C1

 s − ( −1 + j 

+

2

C 2

)   s − ( −1 − j 2 ) 

+

C 3 s

Os coeficientes C 1 , C 2 e C 3 podem ser calculados utilizando-se o Matlab: % Matlab >> ny=[2 8 5]; >> dy=[1 2 3 0]; >> roots(dy) >> [c p k]=residue(ny,dy)

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



Ou ainda sem o Matlab:

C1

C2

=  s − ( −1 + j

2

=  s − ( −1 − j

2

Assim: C 1 =

)  

 s − ( −1 + j

2

)   s − ( −1 − j 2 )  s

C 1 = s =− 1+ j 2

5 + 2 s 2 + 8s

)  

=s

C3

5 + 2 s 2 + 8s

 s − ( −1 + j

2

)   s − ( −1 − j 2 )  s

C 2 s =− 1− j 2

5 + 2 s 2 + 8s

 s− ( −1 + 

2 − 13 j 2 12

, C 2 =

j 2

)   s− ( −1 −

2 + 13 j 2

j 2

C 3

)  s =

=

=

2 − 13 j 2 12

2 + 13 j 2 12

5 3

s 0

5

e C 3 = . Dessa forma pode-se calcular a 3

12


−1

y (t ) = L

[ Y (s ) ] =

2 − 13 j 2 12

y (t ) =

y (t ) =

−1

L

 1    s − −1 + j   (

2 − 13 j 2 ( −1+ e 12

1

( 2 − 13 j 12 

= cos a + jsena Como: e j 2t = cos( 2t ) + jsen( 2t ) e − j 2t = cos( − 2t ) + jsen ( −

)

j2

2 e−t e j

  + 2 + 13 j 12 2)   )

t

+

2t

2

2 + 13 j 2 ( −1− e 12

+ ( 2 + 13 j

−1

L

j2

)

)

2 e−t e− j

 1    s − −1 − j   ( t

+ 2t

  + 5 L−1 1   s  2)  3  

5 3

 + 5  3

e ja

2t ) = cos( 2t ) − js j sen ( 2t )

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



e −t 

( 2 − 13 j 2 ) e 12 

y (t ) =

y (t ) =

y (t ) =

e− t 

13 j 2 ) ( cos( ( 2 − 13 12 

+ ( 2 + 13 j

j2 t

2t ) + jsen( 2t )

 + 5  3

)

2 e−

j2 t

13 j 2 ) ( cos( ) + ( 2 +13

2t ) − jsen( 2t )

5

)  + 3

2 e− t  2 cos( 2t ) + 2 jsen( 2t ) − 13 j 2 cos( 2t ) − 13 j 2 jsen( 2t ) + 2 cos( 2t )  5

12

  −2 jsen(

y (t ) =

e − t

2t ) + 13 j 2 cos( 2t ) − 13 j

 2 cos( 12 

2

+  3

2 jsen( 2t )

2t ) − 13 j 2 2 jsen( 2t ) + 2 cos( 2t ) −13 j2 2 jsen ( 2t )  +



y (t ) =

e− t

 4 cos( 12 

y (t ) = 4

(y) t=

e −t 12

e−t 3

2t ) − 26 j

2

cos( 2t ) + 26 2

cos( 2 ) t+

2 jsen( 2t )  +



3

5 3

e−t

5 jsen( 2t ) + 12 3

13 2e−t 6

5

5 jse(n 2 ) t+ 3

QUESTÃO 1.e: gg

g

g

d) y − 4 y + 4 y = 5t; y (0) = 1; y (0) = 6

Resposta:

Aplicando Laplace:

 s 2Y (s ) − sY (0) − y (0) − 4 [ sY (s ) − Y (0)] + 4Y (s ) = 5 1   s 2 g

Substituindo y (0) = 1 e y (0) = 6 : g

 s 2Y (s ) − s − 6 − 4 [ sY (s) − 1] + 4Y (s) = 5 12 s ____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



1 s 2Y ( s ) − s − 6 − 4sY ( s ) + 4 + 4Y ( s ) = 5 2 s 1 ( s − 4s + 4 ) Y ( s) = 5 s + s + 2 2

2

Y (s) =

5 + s 3 + 2 s 2

( s − 4s + 4 ) s 2

Y (s) =

s 3 + 2s 2

2

+5

2

( s − 2 ) s 2


C1

+

( s − 2)

C2

( s − 2 )

2

+

C 3 s

+

C 4 s2

Os coeficientes C 1 , C 2 , C 3 e C 4 podem ser calculados utilizando-se o Matlab: % Matlab >> ny=[1 2 5]; >> dy=[1 -4 4 0]; >> roots(dy) >> [c p k]=residue(ny,dy)


= ( s − 2)

2

s 3 + 2 s 2

+5

C 2

2

( s − 2 ) s 2

s = 2

 s 3 + 2s 2 + 5  C 1 =   ds  s2  s = 2 d

=

C 1

=−

21 4

1 4

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



=s

C4

2

s 3 + 2s 2

+5

2

( s − 2 ) s 2

C 4

=

5

C 3

=

5

s = 0

 s 3 + 2s 2 + 5  C 3 =   ds  ( s − 2) 2  s =0 d

1

21

4

4

Assim: C 1 = − , C 2 =

, C 3 =

5 4

4

4

5

e C 4 = . Dess Dessa a form forma a pode pode-s -se e calc calcul ular ar a 4


y (t ) = L−1 [ Y (s )]

=−

1 4

 21 −1  1  5 −1  1  5 −1  1  + L  + L  2 + 4 L  2 − 2 s ( ) −  ( s 2 )  4  s  4  s    

L−1 

1

1 y (t ) = − e 2 t 4

+

21 4

te2 t +

5 4

+

5 4

t

QUESTÃO 1.f: gg

g

g

d) y + 10 y + 24 y = 50e −2t cos(3t ); y(0) = 4; y(0) = 1

Resposta:

Aplicando Laplace:

 s 2Y (s ) − sY (0) − y (0)  + 10 [ sY (s ) − Y (0)] + 24Y ( s ) = 50e −2 t 1 e j3 t + e− j3 t     2 g

Substituindo y (0) = 4 e y(0) = 1 : g

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



 s 2Y (s ) − 4s − 1 + 10 [ sY ( s ) − 4] + 24Y ( s) = 50 e −2 t e j3 t + e−2 t e− j3 t  2 s 2Y ( s ) − 4s − 1 + 10sY ( s) − 40 + 24Y ( s) = 25 e



−( 24 ) Y ( s) = 25 e ( s + 10s + 24  2

Y( )s = 25 

2

+ e− ( 2 + j3 ) t  + 4s + 41 41

2 − j3 ) t

 1  s+ (2 −

( s + 10 s+ 24 )

j3)

+ e−( 2 + j3 )t 

−( 2 − j 3 ) t

+

  + 4 s+ 41 s+ ( 2 + j3)  1





s + ( 2 + j 3) + s + (2 − j 3) ( s + 10s + 24 ) Y ( s) = 25  s + (2 + j3) s + (2 − j 3)  + 4 s + 41 2

[

( s + 10 s+ 24 ) 2

Y (s) =

][

]

 2 s + 4  + 4 s+ 41 Y( s) = 25  2  s + 4s + 13 

+ ( 4 s + 41) ( s 2 + 4 s +13 ) ( s 2 + 10s + 24 ) ( s2 + 4 s + 13)

25 ( 2 s + 4 )

Y ( s) =

4 s3 + 57 s2 + 266 s+ 633

s4 + 14 s3

+ 77 s2 + 226 s+ 312

% Matlab >> ny=[4 57 266 633]; >> dy=[1 14 77 226 312]; >> roots(dy) >> [c p k]=residue(ny,dy)

A partir das raízes encontradas no Matlab, podemos expandir Y(s) em frações parciais. Y ( s) =

C1

( s + 6)

+

C2

( s + 4)

+

C 3 s + ( 2 + j 3)

+

C 4 s + ( 2 − j 3)

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



4, 5 , C 2 = 8,6538 , C3 = −0, 07 0769 − j1, 38 3846 e C4 = −0, 07 0769 + j1, 38 3846 . Dessa Assim: C 1 = −4,5

forma pode-se calcular a transformada inversa de cada termo separadamente:

  1    1 + 8, 6538L−1  + ( −0, 0769 − j1, 3846 ) L−1  +    + + + + 4 6 4 ( 2 3 ) s s s j ) )   ( (   1 + ( −0, 07 0769 − j1, 38 3846 ) L−1    s + ( 2 − j 3)  1 y( t) = − e−6t + 8, 6538 e−4t + ( −0, 0769 − j1, 3846 ) e− ( 2+ j 3)t + ( −0, 0769 + j1, 3846 ) e− ( 2− j 3)t y (t ) = L−1 [ Y (s )]

=−

1



L−1 

1

4

y( t) = −

1 4

e−6t

+ 8, 6538 e−4t + e−2t ( −0, 0769 −

j1, 3846 ) e− j 3t

= cos a + jsena Como: e j 3t = cos(3t ) + jsen(3t ) e − j 3t = cos(−3t ) + jsen( −3t ) = cos(3t ) − jsen (3t )

+ ( −0, 0769 +

j1, 3846 ) ej 3t



e ja

Substituindo temos: y( t) = −

1 4

e−6t

+ 8, 6538 e−4t +

Q ( −0, 07 0769 − 1,j38 3846 ) ( co c os(3 ) t+

0769 − j1, 38 3846 ) ( cos(3t ) + jsen(3t ) ) +  ( −0, 07  0769 + 1,j38 3846 ) ( cos(3 ) t− jse(n3 )t)  ( −0, 07

e−2t 

jse(n3 ) )t + ( −0, 07 0769 + 1,j38 3846 ) ( co c os(3 ) t−

jse(n 3 ) )t

= −0,076 ,0769co 9cos(3t ) − 0,07 ,0769 jsen (3t ) − j1,38 ,3846co 6cos(3t ) − j2 1,38 ,3846 sen(3 t) −0,07 ,0769co 9cos(3t ) + 0,076 ,0769 jsen (3t ) + j1,38 ,3846cos 6cos(3t ) − j2 1,38 ,3846sen(3 t) 8cos(3t ) − = −0,1538co

j2 2,769 ,7692sen(3t )

= −0,153 ,1538co 8cos( s(3 3t) + 2,7692 ,7692 sen(3t)

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



y( )t = −

1

y( t) = −

1

e−6t

+ 8, 6538

e−6t

+ 8, 6538 e−4t − 0,1538 e−2t cos(3 t) + 2, 7692 e−2t

4

4

e−4t

+

e−2t [ −0,1538 cos(3 )t + 2, 7692 sen(3 )t]

sen(3 t)

QUESTÃO 2.a: a) G ( s) =

1

s( s + 1)( s + 5)

Resposta:

Expansão em frações parciais: G(s) =

C1 s

+

C 2 s +1

+

C 3 s +5

Os coeficientes C 1 , C 2 e C 3 podem ser calculados utilizando-se o Matlab: % Matlab >> ny=[1]; >> dy=[1 6 5 0]; >> roots(dy) >> [c p k]=residue(ny,dy)


=s

1

s ( s + 1)( s + 5) s =0

C2

= ( s + 1)

C3

= ( s + 5)

1

s( s + 1)( s + 5) s =− 1

1

s( s + 1)( s + 5) s =− 5

C 1 =

1 5

C 2

=−

C 3

=

1 4

1 20

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



1

1

5

4

Assim: C 1 = , C 2 = −

e C 3 =

1

. Dessa forma pode-se calcular a transformada

20

inversa de cada termo separadamente:

g (t ) = L− [ G ( s )] 1

=

1 5

L−

1

g (t ) =

 1  − 1 L−1  1  + 1 L−1  1   s  4  s + 1  20  s + 5  1 5

−

1 4

e −t

+

1 20

e−5t

QUESTÃO 2.b: b) G ( s) =

10 ( s + 1) 2 ( s + 5)

Resposta:

Expansão em frações parciais: G(s) =

C1 s + 1

+

C 2

( s + 1)

2

+

C 3 s +5

Os coeficientes C 1 , C 2 e C 3 podem ser calculados utilizando-se o Matlab: % Matlab >> ny=[10]; >> dy=[1 15 11 5]; >> roots(dy) >> [c p k]=residue(ny,dy)


= ( s + 1) 2 C 1 =

10

C 2

( s + 1) ( s + 5) s =− 1 2

d  10

   ds  ( s + 5)  s =−1

C 1

5

= = 2,5 2, 5 2

= −0,625

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



C3

= ( s + 5)

10

C 3

( s + 1) ( s + 5) s =− 5 2

5

= = 0,625 8

2, 5 e C 3 = 0,625 . Dessa Assim: C 1 = −0,625 , C 2 = 2,5 essa form forma a podeode-se se calc calcul ular ar a

transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente:

g (t ) = L−1 [ G ( s ) ]

 1  1  −1 −1  1  = −0, 625L−1  + + 2 , 5 0 , 6 2 5 L L   2  s + 5   s + 1   ( s + 1)  g (t ) = −0, 625e − t

+ 2, 5te−t + 0, 625e− 5t

QUESTÃO 2.c: c) G ( s ) =

2 s + 2 2 s( s + s + 2)

Resposta:

Expansão em frações parciais: C1

G(s) =

 −1 + j

s − 

2



7

+

 

C 2

 −1 − j

s −



7

2

  

+

C 3 s

Os coeficientes C 1 , C 2 e C 3 podem ser calculados utilizando-se o Matlab: % Matlab >> ny=[2 2]; >> dy=[1 1 2 0]; >> roots(dy) >> [c p k]=residue(ny,dy)


=s

2 s + 2

s( s

2

+ s + 2) s =0

C 3

=1

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



C1

 −1 + j = s −   2

7

     −1 + j  s s−     2 C1

C2

 −1 − j = s −   2

7

7

   −1 + j   s−  2   

    s = − 1+ j

7

7

2

= −0, 5 − j0, 5669

     −1 + j  s s−     2 C2

2s + 2

2s + 2 7

   −1 + j   s−  2   

   s = − 1− j

7

7

2

= −0, 5 + j0, 5669

Assim: C1 = −0, 5 − j0, 5669 , C2 = −0, 5 + j0, 5669 e C 3 = 1 . Dess Dessa a form forma a pode pode-s -se e calcular a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente: s eparadamente:   1 − −  g( t) = L 1 [ G( s) ] = ( −0, 5 − j0, 5669 ) L1   −1 + j  s −    2 g( t) = ( −0, 5 − j0, 5669 )

 2  g( t) = e ( −0, 5 −   −

e

j 7

Como:

2

−

e

7

 t 

+ ( − 0, 5+

 j 7   2  t  

t

  1 −  j0, 5669 ) L1   −1 − j s −   2

j0, 5669 ) e

j0, 5669 )

+ ( − 0, 5+

 −1− j  e 2

7

 t 

 −j 7   2  t  

j0, 5669 ) e

+1

   +1 L−1  1   s  7     

  + 1  

= cos a + jsena

ja

e

 −1+ j  2 e

   + ( −0, 5 + 7    

t

j 7 2

= cos( t

7 2

= cos( −

t ) + js jsen ( 7 2

7 2

t)

t ) + js jsen ( −

7

2

t ) = cos(

7 2

t ) − jsen (

7 2

t)

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144


2ª Lista de Exercícios – Transformada de L aplace _____________________________________________________________________________________ −

t

(g )t= e

2

 ( −0, 5 − 

 0, 0j, 5669 )  cos(  −

7 2 t

g( )t = e

)t+

2

−

jse(n

 − cos(  t

g( t) = − e cos(

7

2

2

 )t + ( − 0, 5+ 

)t − 1,1338 sen(

2 7

2

7

−

 0, 0j, 5669 )  cos( 

t) − 1,1338 e sen(

jse(n

2

)t + 1

2

t

2

)− t

7



7

2

7



7 2

t) + 1

QUESTÃO 2.d: d) G ( s) =

30( s + 3) ( s 2 + s − 12)( s + 6)2

Resposta: G(s) =

300 s + 900

s 4 + 13s3

+ 36s2 − 108s − 432

Obtemos as raízes e os coeficientes C 1 , C 2 e C 3 utilizando o Matlab: % Matlab >> ny=[2 2]; >> dy=[1 1 2 0]; >> roots(dy) >> [c p k]=residue(ny,dy) G ( s) =

C1

( s + 6)

+

C2

( s + 6 )

+ 2

C 3

( s + 4)

+

C 4

( s − 3)

Assim: C 1 = −13,8889 , C 2 = −50 , C 3 = 10,7143 e C 4 = 3,1746 . Dessa forma pode-se calcular a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente: s eparadamente:

−

g( t) = L1 [ G( s)]

 1  1  −1 −1  1  −1  1  = −13, 8889 L−1  − + + 5 0 L 1 0 , 7 1 4 3 L 3 , 1 7 4 6 L   2  + 4s  − 3 s  + 6 s  ( s + 6 )  −

g( t) = L1 [ G( s) ]

= −13, 8889 e−6 t − 50 te−6 t +10, 7143 e−4 t + 3,1746 e3 t

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144


 )t  + 1  


QUESTÃO 2.e: 400( s + 3)

e) G ( s) =

s ( s + 1 − 5 j )( s + 1 + 5 j )

Resposta:

Expansão em frações parciais: G ( s) =

C1 s

+

C 2 (s + 1 − 5 j )

+

C 3 (s + 1 + 5 j )

Obtemos as raízes e os coeficientes C 1 , C 2 e C 3 utilizando o Matlab: % Matlab >> ny=[400 1200]; >> dy=[1 2 26 0]; >> roots(dy) >> [c p k]=residue(ny,dy)

,0769 − 35,384 ,3846 j , C3 = −23,076 ,0769 + 35,384 ,3846 j e C 1 = 46,1538 . Dess Assim: C2 = −23,076 Dessa a

form forma a pode pode-s -se e calc calcul ular ar a tran transf sfor orma mada da inve invers rsa a de Lapl Laplac ace e de cada cada term termo o separadamente:

−1

g( t) = L

[

    1 1 1 = 46,1538 L−1   + ( −23, 0769 − 35, 3846 j) L−1  + ( −23, 0769 +35, 3846 j)     s  ( +s 1 − 5 ) j  ( +s 1 + 5 ) j ( −1+ 5 ) j t ( −1− 5 ) j t + ( −23, 07 g( )t = 46,1538 + ( −23, 07 0769 − 35, 38 3846 )j e 0769 +35, 38 3846 j) e

G( s) ]

− g( t) = 46,1538 + e t

e ja

Como: e e

j 5 t

( −23, 07 0769 − 35, 38 3846 j)

e5 jt

+ ( −23, 07 0769 + 35, 38 3846 j)

= cos a + jsena = cos(5t ) + jsen(5t ) = cos(−5t ) + jsen( −5t ) = cos(5t ) − jsen (5t )

− j 5 t

− 5 jt

e



____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144


2ª Lista de Exercícios – Transformada de L aplace _____________________________________________________________________________________ −

(g )t= 46,1538 + et ( − 23, 07 0769 − 35 35, 38 3846

) j( cos(5 ) t+

0769 + 35 35, 38 3846 jse(n5 ) )t + ( − 23, 07

) (jcos(5 ) −t

jse(5n ) )t

g( )t = 46,1538 + et  −46,1538 co cos(5 )t − 2j70, 76 7692 se(n5 )t −

−t

− t

g( )t = 46,1538 − 46,1538 e cos(5 )t + 70,76 ,7692 e se(n5 )t

QUESTÃO 3: Determine a resposta a um degrau de força com magnitude F para o sistema da figura ao lado usando a função de transferência. Idem para uma força com rampa de 60º.

Resposta:

Fazendo o DCL (Diagrama de Corpo Livre), o sistema pode ser expresso pela seguinte equação de primeira ordem: g

c1 y + k1 y − F = 0 g

c1 y + k1 y = F g

y +

k1 c1

y=

F c1

Aplicando Laplace:

[ sY( s) − Y(0)] +

k1 c1

Y( s) =

F (s) c1

Substituindo y (0) = 0 : sY ( s ) +

k1 c1

Y (s ) =

F ( s) c1

 k1  F ( s)  s + c  Y (s) = c  1  1 ____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



Y ( s) =

a)

F ( s ) c1

 k 1   s + c   1 

Para um degrau unitário com magnitude F, no domínio de Laplace, temos:

F ( s ) =

F s

Substituindo: 1

Y (s) =

c1

F (s)

 k 1   s + c   1  1

Y (s) =

c1

F

 k 1  s  s + c   1  F c1

Y (s) =

 

s  s +

k 1 



c1 


C1 s

+

C 2 k 1

s +

c1

Os coeficientes C 1 e C 2 podem ser calculados, sendo:

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



C1

=s

F c1

 

s  s +

C2

C 1

k 1 



c1  s

F c1

 k  =  s + 1   c1  s  s + k 1   c   1  s =− k

C 2

1

F k 1

F

e C 2 = −

k 1

F k 1

=0

c1

Assim: C 1 =

=

=

F c1 − k 1 c1

=−

F k 1

. Dessa forma pode-se calcular a transformada inversa de

cada termo separadamente:

  F  1  F  1  y (t ) = L−1 [ Y (s )] = L−1   − L−1  k1  s  k 1  s + k 1   c1  y (t ) =

b)

F k1

−

F k 1

−

e

k 1 c1

t

Para uma rampa de 60°, temos que: F ( s ) =

3 F

s 2

Substituindo: 1

Y (s) =

c1

3F

 k 1  s 2  s + c   1 

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



3 F

c1

Y (s) = s

2

 k 1   s + c   1 


C1 s

+ C 22 + s

C 3 k 1

s +

c1

Os coeficientes C 1 , C 2 e C 3 podem ser calculados, sendo: 3 F

C2

3 F

c1

= s2

 

s 2  s +

C 2

k 1 

=

 c1  s = 0

C 1 = −

3 F

C 3

1

c1

3 Fc1

k 12

, C 2 =

3 F

k 1

e C 3 =

k 1

3 Fc1 2

k 1

3 F

 k  c1 =  s + 1   c1  s 2  s + k 1   c   1  s =− k

Assim: C 1 = −

3 F

=

c1

 3 F    d  c1  C 1 = ds   k     s + 1     c1   s =0

C3

c1 k 1

3 Fc1

k 12

=

c1 2

 k 1   − c   1 

=

3 F c1 2

c1

k12

=

3Fc1

k 12

. Dessa Dessa form forma a pode pode-se -se calc calcula ularr a


____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



y( t) = L−1 [ Y( s) ]

=−

3Fc1

L−1

2 1

k

1 +  s 

3Fc1

y (t ) = −

k12

+

3 F k1

3 F

k1

 1 +  s2 

L−1

t+

3Fc1

k 12

−

e

3Fc1 2 1

k

k 1 c1

L−1

   1     s + k 1   c1 

t

QUESTÃO 4: Um sistema massa-mola é excitado por uma série de 4 pulsos. Se o sistema estava inicialmente em repouso, determine o deslocamento da massa m. Considere m = 1, K1 = 1, K2 = 2, C = 0.85. Suponha que os pulsos são impulsos de área

A.

Resposta:

Fazendo o DCL (Diagrama de Corpo Livre), o sistema pode ser expresso pela seguinte equação de primeira ordem: g

c y + k1 y + k 2 y − f gg

g

gg

=m y

m y + c y + k1 y + k2 y gg

y+

c m

g

y+

( k1 + k 2 ) m

=

y=

f f m

Aplicando Laplace: s Y (s) + 2

c m

sY (s ) +

( k1 + k 2 ) m

Y (s ) =

1

m

F (s )

____________________________________________________________________________

Disciplina: IM 144



 2 c ( k1 + k 2 )  1  s + m s + m  Y ( s ) = m F (s )   1

m

Y ( s) = s 2 +

c m

s+

( k1 + k 2 )

F (s)

m

A forç força a F(s) F(s) é cons constru truíd ída a com com impu impulso lsoss de área área A deslo desloca cado dos, s, util utiliza izand ndo o as propriedades de linearidade e translação no tempo: F ( s ) = A + Ae − as

+ Ae−2as + Ae−3as

1

m

Y (s) = s 2 +

( k + k 2 ) c1 s+ 1 m m

A  + Ae − as

+ Ae−2as + Ae−3as 

Para m= 1, K1= 1, K2 = 2, C = 0.85, teremos:

Y (s) =

A + Ae − as

+ Ae−2as + Ae−3as s 2 + 0, 85s + 3

1ª SOLUÇÂO: 425 + j1, 60 605 e s2 = −0, 42 425 − j1, 60 605 . Expandindo As raízes do polinômio são s1 = −0, 42

em frações parciais:

Y1 ( s ) =

C1 s − ( −0, 425 + j1, 605 )

+

C 2 s + ( −0, 425 − j1, 605 )

____________________________________________________________________________

Disciplina: IM 144



Os coeficientes C 1 e C 2 podem ser calculados, sendo:

C1

=  s − ( −0, 42 425 + j1, 60 605 )  C 1 =

A

 s − ( −0, 425 + j1, 605 )   s − ( −0, 425 − j1, 605 )  s =−0,425 0,425+ j1,605 ,605 A

 −0, 425 + j1, 605 − ( −0, 425 − j1, 605 )  C 1

C2

=  s − ( −0, 42 425 − j1, 60 605 ) 

C 2

=

A

[ j3,21]

 s − ( −0, 425 + j1, 605 )   s − ( −0, 425 − j1, 605 )  s =−0,425 0,425− j1,605 ,605 A

 −0, 425 − j1, 605 − ( −0, 425 + j1, 605 ) 

e C 2 = −

j 3,21

A

A

C 2

Assim: C 1 =

=

A j3,21

=−

A

[ j3,21]

. Dessa forma pode-se calcular a transformada

inversa de cada termo separadamente:

y1 (t ) = L− [ Y (s )] 1

=

A j 3, 21

L−

1

y1 (t ) =

  1  − −0, 425 + 1, 605  − j ) s ( A j 3, 21

e(

−0, 425 +

1j,605 ) t

−

A j3, 21

A j3, 21 e(

L−

−0, 425 −

1

  1  − −0, 425 − 1, 605  j ) s (

1j, 605 ) t

____________________________________________________________________________

Disciplina: IM 144



y1 (t ) = e

Como: e e

ja

A j 3, 21

e −0, 425 e

1 j , 605 t

− e− 1j ,605 t

= cos a + jsena = cos(1, 605t ) + jsen(1, 605t ) = cos( −1, 605t) + jsen( −1, 605t) = cos(1, 605t) − jsen(1, 605t)

j 1,605t

− j 1,605t

y1 (t ) =

A j3,21

e −0,425 [ cos(1, 605t ) + jsen(1, 605t ) − cos(1, 605t ) + jsen(1, 605t ) ] y1 (t ) =

A

0,425

j3,21

y1 (t ) = y1 (t ) =

e−

2 A 3,21 2 A 3,21

[ 2 jsen (1, 605t ) ]

e −0,425 sen (1, 605t ) e−

0,425

sen (1, 605t )

y1 (t ) = 0, 67 Ae −0,425 sen(1, 605t )

A resposta final é a soma de y 1(t) deslocado no tempo de a, para cada impulso aplicado: y (t ) = y1 (t )u (t ) + y1 (t − a )u (t − a ) + y1 (t − 2a )u (t

− 2a ) + y1 (t − 3a )u (t − 3a )

Sendo u(t) um degrau unitário. 2ª SOLUÇÂO: Y (s) =

A + Ae − as

+ Ae−2as + Ae−3as s 2 + 0, 85s + 3

Pode ser escrito da forma:

Y (s) =

A + Ae − as

+ Ae−2as + Ae−3as ( s + 0, 425) 2 + 2, 82

____________________________________________________________________________

Disciplina: IM 144



Como: e− at sen( wt ) =

w ( s + a ) 2 + w2

Substituindo: e− at sen( wt ) =

1,68 ( s + 0, 425)

2

+ 2, 82

= e− 0,425t sen(1, 68t )

Assim:

Y (s) =

Y (s) =

A(1 + e− as + e −2as

+ e−3as ) 1, 68

( s + 0, 425) 2 + 2, 82

A(1 + e− as + e −2 as

+ e−3as )

1, 68

1, 68 1, 68

( s + 0, 425) 2 + 2, 82

Como:

f (t ) = [ u (t ) + u (t − a ) + u (t − 2a ) + u (t − 3a )] A

Calculando a transformada inversa de Laplace:

Y (s) =

Y ( s) =

A[ u(t ) + u (t − a) + u (t − 2a) + u (t − 3a) ] 1,68

A 1,68

e−

0,425t

sen (1, 68t )

[ u (t ) + u (t − a ) + u (t − 2a ) + u (t − 3a )] e −0,425t sen (1, 68t )

e−0,425 t sen(1, 68t )u (t ) + e−0,425( t −a) sen (1, 68t − a )u (t − a ) + e−0,425( t −2 a) sen1, 68(t − 2a )u (t − 2a ) +  Y (s) =   1,68  + e−0 ,4,42 5(5( t −3 a) sen1, 68(t − 3a )u (t − 3a )  A

____________________________________________________________________________

Disciplina: IM 144



QUESTÃO QUESTÃO 5: Calcular a transformada de Laplace da forma de onda ao lado que representa a saída de um retificador de ponte completa (meia-senóides).

Um período do sinal pode ser representado por: f1 (t ) = sen ( wt ) u (t ) + sen ( wt − T ) u (t − T )

Q f =

1 2T

Q w = 2π f = 2π

1 2T

=

π

T

Substituindo:

 π t  u(t ) + sen  π t − T  u (t − T ) )   T ( T   

f1 (t ) = sen 

  π   π    T  1   T       + − senπ  e − sT F1 ( s ) = 2 2   π  s  s2 +  π  2 s +       T    T   π   π  T   T      e− sT −0T F1 ( s ) = e + 2 2 π  π    2 2 s +   s +  T   T 

 π   T    − sT F1 ( s) = ( 1 + e ) 2 π   2 s +    T 

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144



Finalmente, utilizando-se da propriedade de funções periódicas para Transformada de Laplace, temos: F ( s) =

1 1 − e− sT

F1 ( s )

Portanto:

F(

 π   T  1   − sT )s = 2 − sT ( 1 + e ) 1− e π   2 s +    T 

 π    π       T  1  T    − sT  + F (s) = e 2 2 1 − e− sT  2  π   π   2 + + s s  T   T        

____________________________________________________________________________ Disciplina: IM 144


Lista 2 - Transformada de Laplace

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