Transformada de Laplace 1. Diseñe un modelo matemático para la temperatura de un pastel mientras está dentro del horno con base en las siguientes suposiciones: en t= 0 la mezcla de pastel está a la temperatura ambiente de 70º, el horno no se precalienta por lo que en t= 0, cuando la mezcla de pastel se coloca dentro del horno, la temperatura dentro del horno tambin es 70º ! la temperatura del horno aumenta linealmente linealmente hasta t= " minutos, cuando se
alcanza la temperatura deseada de #00º! la temperatura del horno se mantiene constante en #00º para t ". a$ %se &' trans(ormada de &aplace para resol)er el problema con )alores iniciales. *. %n tanque contiene *0 galones de salmuera en el que ha+ disueltas " libras de sal. %n regulador controla la entrada de más sallmuera al tanque, por dos )ál)ulas ' + - $. i ingresa mezcla al tanque por ', lo hace a raz/n de * galones por por minuto + con una concentraci/n de una libra de sal por gal/n + si ingresa por - lo hace a raz/n de * galones por minuto + con una concentraci/n de 0, libras de sal por gal/n. upongamos que a partir de un instante t= 0, + durante mi nutos, ingresa mezcla al tanque solo por ', que en los siguientes cinco minutos ingresa s/lo por - + que de ah en adelante ingresa s/lo por '. upongase que además desde el principio de la operaci/n la mezcla, que se mantiene homognea dentro del tanque por agitadores, sale de este a raz/n de dos galones por minuto. a$ ' los quince minutos del proceso, 23uánta sal ha+ en el tanque4. b$ ' que )alor tiende la cantidad de sal en el tanque cuando el tiempo se hace grande4.
3. Una ecuación integro diferencial Determine la corriente en un circuito 5&3 de una sola malla cuando &= 0,1 henrios, 5= * ohmios, 3= 0,1 (aradios (aradios la 60$ = 0 + el )oltae aplicado es
8t$ =
120,0 , 0 1. 1
1,0,1 , 01 12 0, , 0 .
". 9allar la rans(ormada 6n)ersa usando la con)oluci/n. ;
<t$.
".rans(ormada de &aplace de una (unci/n peri/dica. 9allar &aplace de la (unci/n peri/dica todo t (uera del inter)alo.
. 9allar la rans(ormada de &aplace de ( t$ =
"# !! $$%% & & #"" $$!!!! # " " # $ !
>. %se la trans(ormada de &aplace para resol)er a$ (t$ = cos t b$ c$
t$ = 1
sen t
t$ > +t$ +t$ ?
d$ + t$ = t
, +0$ = 0
= 1 , +0$ = 0. ,
8t*$ = 8t$, para
e$ +t$ = 1 t
'( #" $) ) (!
.
7. Desarrolle en serie de potencias la función
*
F( ) =
* -+// 2 / / 3 4.
alrededor de = 0.
8. i F(t) =
+ +* +*
!alle L" F(t) #(s).
756 56 6 6
$. Utili%ando la transformada de Laplace& resol'er t f(t) =
f(t
)d
0. Un circuito en serie contiene un inductor& un resistor * un capacitador para el cu+l L=
+
,enrios& - = 0 o,mios& *
= 0&0 faradios respecti'amente. /l 'oltae
8+// ;9 :. ; ; ;% :. /(t) =
i)
!alle la intensidad de corriente (t) en el circuito en cual1uier instante t& si (0) = 0&
ii)
(0) = 0.
omo es (t) cuando t
iudad Uni'ersitaria& 2ue'es de 2ulio del 0. 4rofesora del urso5 6anc* o*a.
