Trabajo Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE Pierre Simon Marquéz Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan

famoso en su tiempo que se le conocía como el Neton !e "rancia# $us principales campos !e interés fueron la %ecánica &eleste' o moimiento planetario' la teoría !e proaili!a!es' y el pro*reso personal# +l méto!o !e la transforma!a !e ,aplace es un méto!o operacional que pue!e usarse para para resol resoler er ecuaci ecuacion ones es !ifere !iferenci ncial ales es lineal lineales' es' ya que su uso ace ace posil posilee que !iersas !iersas funcione funcioness sinusoi! sinusoi!ales ales'' sinusoi! sinusoi!ales ales amorti*u amorti*ua!as a!as y e.ponen e.ponencial ciales' es' se pue!an conertir en funciones al*eraicas !e una ariale comple/a  s ' y reempla0ar  operaciones como la !iferenciación y la inte*ración' por operaciones al*eraicas en !e funciones comple/a equialentes# or tanto' una ecuación !iferencial lineal se pue!e transformar en en una ecuación ecuación al*eraica al*eraica !e la ariale ariale comple/a comple/a  s # $i esa ecuación al*eraica se resuele en  s  para la ariale !epen!iente' se otiene la solución !e la ecuación ecuación !iferenc !iferencial# ial# +ste proce!im proce!imient ientoo que implica implica la transforma transforma!a !a inersa inersa !e ,aplace !e la ariale !epen!iente' se reali0a emplean!o una tala !e transforma!as !e ,aplace' o me!iante la técnica t écnica !e e.pansión en fracciones parciales# +s característico !el méto!o !e la ransforma!a !e ,aplace' el uso !e técnicas *ráficas para pre!ecir y3o anali0ar el funcionamiento !e un sistema sin tener que resoler el sus ecuaciones !iferenciales# tra enta/a es que con este méto!o se resuele la ecuación !iferencial otenien!o' simultáneamente' las componentes !el esta!o transitorio y estacionario estacionario !e la solución#

VARIALE COMPLE!A "#$

,a ariale  s  es !e tipo comple/o con una componente ariale real y una ima*inaria5 ,a notación emplea!a para  s  se in!ica en la si*uiente ecuación5  s = σ

+ jω 

6on!e σ   es la parte real y w  es la parte ima*inaria#

F%NCI&N COMPLE!A F'#(

na función comple/a  F (s ) ' tiene una parte real y una ima*inaria5  F 8s ) = F x

 F x2 + F y2

+ jF y   6on! 6on!ee

 F  x y  F  y   son canti!a!e canti!a!ess reales# ,a ma*nitu! ma*nitu! !e  F (s ) es

 el án*ulo θ   !e  F (s )  es

  F x    F  y÷÷   

tan −1 

+l án*ulo se mi!e !e !ereca a i0quier!a a partir !el semie/e real positio# +l comple/o con/u*a!o !e  F (s )  es  F (s ) = F x

− jF y

$e !ice que una función comple/a  F (s )  es analítica en una re*ión' si  F (s )  y to!as sus !eria!as e.isten en esa re*ión# d ds

G ( s ) = lim ∆ s −0

G (s + ∆s )

∆s

= lim s

∆ −0

∆G ∆s

,os puntos !el plano  s  en los que la función  F (s )  es analítica' recien el nomre !e puntos or!inarios' mientras que los puntos !el plano  s  en los que la función  F (s )  no es ana analít lítica ica'' se !en !enomi ominan nan punto puntoss sin*ul sin*ulare ares# s#  !icos !icos pun puntos tos tam tami ién én se les !enomina polos# ,os puntos en los que la función  F (s )  es i*ual i*ual a cero' se !enominan !enominan ceros

DEFINICI&N DE LA TRANSFORMADA TRANSFORMADA $ea f una función !efini!a para como

cuan!o tal inte*ral coner*e Notas

' la transforma!a !e ,aplace !e f(t) se !efine

F%NCI&N COMPLE!A F'#(

na función comple/a  F (s ) ' tiene una parte real y una ima*inaria5  F 8s ) = F x

 F x2 + F y2

+ jF y   6on! 6on!ee

 F  x y  F  y   son canti!a!e canti!a!ess reales# ,a ma*nitu! ma*nitu! !e  F (s ) es

 el án*ulo θ   !e  F (s )  es

  F x    F  y÷÷   

tan −1 

+l án*ulo se mi!e !e !ereca a i0quier!a a partir !el semie/e real positio# +l comple/o con/u*a!o !e  F (s )  es  F (s ) = F x

− jF y

$e !ice que una función comple/a  F (s )  es analítica en una re*ión' si  F (s )  y to!as sus !eria!as e.isten en esa re*ión# d ds

G ( s ) = lim ∆ s −0

G (s + ∆s )

∆s

= lim s

∆ −0

∆G ∆s

,os puntos !el plano  s  en los que la función  F (s )  es analítica' recien el nomre !e puntos or!inarios' mientras que los puntos !el plano  s  en los que la función  F (s )  no es ana analít lítica ica'' se !en !enomi ominan nan punto puntoss sin*ul sin*ulare ares# s#  !icos !icos pun puntos tos tam tami ién én se les !enomina polos# ,os puntos en los que la función  F (s )  es i*ual i*ual a cero' se !enominan !enominan ceros

DEFINICI&N DE LA TRANSFORMADA TRANSFORMADA $ea f una función !efini!a para como

cuan!o tal inte*ral coner*e Notas

' la transforma!a !e ,aplace !e f(t) se !efine